安徽省2023中考数学 题型2 选择压轴题之几何最值问题习题.docx

1、题型二选择压轴题之几何最值问题高 分 帮 类型1线段最值问题1.利用“垂线段最短”求线段最值1.2020贵州贵阳如图,RtABC中,C=90,利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别以点D,E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧,两弧在CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点,则GP的最小值为(C)A.无法确定B.12C.1D.22.2019贵州安顺中考改编如图,在RtABC中,BAC=90,且BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DMAB于点M,DNAC于点N,连接MN,则线段MN长的最小值为(C)A.2B.52C.12

2、5D.33.如图,RtABC中,ACB=90,ABC=30,AC=6,D是线段AB上一个动点,以BD为边在ABC外作等边三角形BDE.若F是DE的中点,则CF的最小值为(C)A.6B.8C.9D.104.如图,ABC中,BAC=45,ABC=60,AB=4,D是边BC上的一个动点,以AD为直径画O分别交AB,AC于点E,F,则弦EF长度的最小值为(B)A.3B.6C.22D.235.2020山东临沂中考改编如图, 菱形ABCD的边长为1,ABC=60,点E是边AB上任意一点(端点除外),线段CE的垂直平分线分别交BD,CE于点F,G,AE,EF的中点分别为M,N,则MN+NG的最小值为(C)A

3、.13B.25C.12D.232.利用“轴对称”求线段最值6.2020四川宜宾中考改编如图,在四边形ABCD中,DAAB,CBAB,AD=3,AB=5,BC=2,点P是边AB上的一动点,则PC+PD的最小值是(C)A.4B.42C.52D.87.2019安庆模拟如图,RtABC中,C=90,AC=4,BC=3,点P为AC边上的动点,过点P作PDAB于点D,连接PB,则PB+PD的最小值为(B)A.154B.245C.5D.2038.2019合肥四十二中模拟如图,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E,F分别为边AB,BC,AC的中点,P为线段DE上一动点,连接PF,PC,则PF+PC的最小值为

4、(C)A.2B.3C.4D.59.如图,ABC中,ACB=90,AC=4,BC=6,CD平分ACB交AB于点D,点E是AC的中点,点P是CD上一动点,则PA+PE的最小值是(C)A.213B.6C.25D.510.2019合肥地区模拟如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=10,点E,F,G,H分别在边AB,AD,DC,CB上,点F,H为不动点,点E,G为动点,且AF=CH,BE=DG,则四边形EFGH的周长的最小值为(D)A.55B.103C.153D.10511.2020合肥瑶海区二模如图,菱形ABCD的边长为23,ABC=60,点E,F在对角线BD上运动,且EF=2,连接AE,AF,则AE

5、F周长的最小值是(D)A.4B.4+3C.2+23D.612.2019湖北黄冈中考改编如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8.点M为AB的中点.若CMD=120,则CD的最大值为(C)A.10B.12C.14D.163.利用圆的相关性质求线段最值13.如图,已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm,1cm,若将正方形AEFG绕点A旋转,则在旋转过程中,点C,F之间的最小距离为(D)A.3cmB.22cmC.(42-1)cmD.32cm14.2020合肥45中三模如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC=4,D为线段AC上一动点,连接BD,过点C作CHBD于

6、点H,连接AH,则AH的最小值为(D)A.22B.4C.22-2D.25-215.2020广东中考改编有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图所示,ABC=90,点M,N分别在射线BA,BC上,MN长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为(C)A.2B.52C.25-2D.23-116.2020合肥瑶海区一模如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点E为边DC上不与端点重合的一个动点,

7、连接BE,将BCE沿BE翻折得到BFE,连接AF并延长交线段CD于点G,则线段CG长度的最大值是(D)A.1B.1.5C.4-5D.4-717.2020四川绵阳中考改编如图,四边形ABCD中,ABCD,ABC=60,AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点,满足AMD=90,则点M到直线BC的距离的最小值为(C)A.2B.22C.33-2D.32-218.如图,在平面直角坐标系中,A(6,0),B(0,8),点C在y轴的正半轴上,点D在x轴的正半轴上,且CD=6,以CD为直径在第一象限内作半圆,交线段AB于点E,F,则线段EF的最大值为(B)A.3.6B.4.8C.32D.331

8、9.如图,在RtABC中,ACB=90,BC=4,AC=10,点D是AC上的一个动点,以CD为直径作O,连接BD交O于点E,连接AE,则AE的最小值为(A)A.226-2B.8C.82-3D.221-120.2020安庆模拟如图,在边长为23的等边三角形ABC中,点D,E分别是边BC,AC上的动点,且AE=CD,连接BE,AD相交于点P,连接CP,则线段CP的最小值为(B)A.1B.2C.3D.23-121. 如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点,且EF=2,点G为EF的中点,点P为BC上一动点,则PA+PG的最小值为(B)A.3B.4C.25D.522

9、.2019合肥瑶海区一模如图,在RtABC中,ACB=90,B=30,AB=4,点D,F分别是边AB,BC上的动点,连接CD,过点A作AECD交BC于点E,垂足为G,连接GF,则GF+12FB的最小值是(C)A.3-1B.3+1C.332-1D.332+123.2020四川成都中考改编如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点E,F分别为AB,CD边的中点.动点P从点E出发沿EA向点A运动,同时,动点Q从点F出发沿FC向点C运动,连接PQ,过点B作BHPQ于点H,连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍,在点P从点E运动至点A的过程中,线段DH长度的最小值为(B)A.2B.13-2C.3D

10、.5-1 类型2面积最值问题24.如图,在RtABC中,C=90,AC=8cm,BC=6cm,点P在边AC上,从点A向点C移动,点Q在边CB上,从点C向点B移动,若点P,Q均以1cm/s的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,连接PQ,则PCQ面积的最大值为(C)A.4cm2B.6cm2C.8cm2D.10cm225.2019宿州一模如图,在ABC中,AB=AC=2,BC=23,点D是ABC所在平面内的一个动点,且BDC=60,则DBC的面积的最大值是(A)A.33B.3C.3D.2326.2020江苏无锡中考改编如图,在RtABC中,ACB=90,AB=4,点D,E分别在边A

11、B,AC上,且DB=2AD,AE=3EC,连接BE,CD交于点O,连接AO,则ABO面积的最大值为(B)A.2B.83C.52D.3参考答案题型二选择压轴题之几何最值问题1.C根据题中的作图步骤可知,BG平分ABC,易知当GPAB时,GP的值最小.BG平分ABC,GPAB,GCBC,GP=GC=1,故选C.2.CBAC=90,BA=3,AC=4,BC=32+42=5.连接AD,DMAB,DNAC,DMA=DNA=BAC=90,四边形DMAN是矩形,MN=AD.当ADBC时,AD的长最小,此时由三角形的面积公式,得12ABAC=12BCAD,AD=ABACBC=125,MN的长的最小值为125.

12、3.C连接BF.等边三角形BDE中,F是DE的中点,BF平分DBE,DBF=30,即点F在DBE的平分线上运动,根据垂线段最短可知,当CFBF时,CF最短,如图.易知CBF=60.在RtABC中,ACB=90,ABC=30,AC=6,BC=3AC=63,在RtBCF中,CF=BCsinCBF=6332=9,故选C.4.B设DC与O的另一个交点为点H,连接OE,OF,AH,如图,则AHD=90.EOF=2EAF=245=90,OE=OF=12AD,EF=2OE,当OE的值最小时,EF的值最小,此时AD最小.易知AD的最小值为AH的长.在RtABH中,sinABH=AHAB=sin60,AH=32

13、AB=23,OE的最小值为3,EF的最小值为32=6.故选B.5.C连接AF,CF,AC.由菱形性质可知AF=CF.FG垂直平分线段CE,CF=EF,AF=EF.点M,N分别为AE,EF的中点,MN是AFE的中位线,NG是RtFGE斜边上的中线,MN=12AF,NG=12EF,MN+NG=AF,即AF的最小值为MN+NG的最小值,易知AF的最小值是菱形对角线AC的一半.ABC=60,AB=CB,ABC是等边三角形,AC=AB=1,AFmin=12AC=12,故MN+NG的最小值为12.6.C作点D关于AB的对称点H,连接CH.易知当点P为CH与AB的交点时,PC+PD的值最小,为CH的长.过点

14、H作HEBC,交CB的延长线于点E,则四边形ABEH为矩形,HE=AB=5,BE=AH=AD=3,CE=BC+BE=2+3=5,HC=HE2+CE2=52.7.B如图,作ABC关于直线AC对称的三角形,得到ABC,又ACB=90,B,C,B三点共线.设点D的对称点为D,则PD=PD.当点B,P,D三点共线时,PB+PD的值最小,即PB+PD的值最小,此时BDAB.易得SABB=12BBAC=12(3+3)4=12,AB=AB=BC2+AC2=5,SABB=12ABBD=125BD=12,BD=245,故PB+PD的最小值为245.故选B.8.C如图,连接BP,BF.ABC是等边三角形,D,E,

15、F分别为边AB,BC,AC的中点,DEAC,BFAC,BFDE.易知DE垂直平分线段BF,PB=PF,PF+PC=PB+PC.PB+PCBC=4,PF+PC4,PF+PC的最小值为4.故选C.9.C点E是AC的中点,CE=2.如图,在CB上截取CM=CA,连接DM.易证CDACDM,AD=DM,点A,M关于CD对称.连接ME,当点P为ME与CD的交点时,PA+PE的值最小,此时PA+PE=PM+PE=ME=22+42=25.10.D作点F关于CD的对称点F,连接FH交CD于点G,根据BE=DG作出点E,此时四边形EFGH的周长取最小值,为2FH.过点H作HNAD于点N.易知AF=CH=DN,D

16、F=DF,NF=DN+DF=AF+DF=AD=10.HN=AB=5,FH=52+102=55,故此时四边形EFGH的周长为105.11.D如图,连接CF.易知直线BD是菱形ABCD的对称轴,则AF=CF.过点A作BD的平行线,过点F作AE的平行线,两直线交于点H,连接CH交BD于点G,则四边形AEFH是平行四边形,AE=FH,AH=EF=2,AE+AF=FH+CF.易知点H是定点,故当H,F,C三点共线时,AE+AF取最小值,且最小值等于CH的长,此时AEF的周长最小.连接AC交BD于点O,易知ABC是等边三角形,故AC=AB=23.AHBD,HAC=DOC=90,CH=AC2+AH2=(23

17、)2+22=4,故AEF的周长的最小值为4+2=6.12.C如图,将AMC,BMD分别沿直线CM,DM进行翻折,点A落在点E处,点B落在点F处,连接FE,CF,则CE+EF+DFCF+DFCD,且当C,E,F,D四点共线时,等号成立.CMD=120,AMC+BMD=60,即CME+DMF=60,EMF=60,又点M是AB的中点,AM=EM=BM=FM,EFM是等边三角形,EF=EM.CE+EF+FD=2+4+8=14,CD的最大值是14.13.D如图,连接AF,CF,AC.由正方形的性质可知AF=2cm,AC=42cm.由旋转可知点F在以点A为圆心,AF为半径的圆上运动,当点F在线段AC上时,

18、CF的值最小,此时CF=AC-AF=32cm.故选D.14.DCHBD,CHB=90,点H在以BC的中点为圆心,12BC的长为半径的圆上.设BC的中点为O,连接OH,AO.如图,易知当点A,H,O三点共线时,AH的长最小,最小值为OA-OH=42+22-2=25-2.15.C如图,连接BE.MBN是直角三角形,E是斜边MN的中点,BE=12MN=2.以点B为圆心,BE的长为半径作圆,分别交射线BA,BC于点P,Q,劣弧PQ即为点E的运动轨迹.连接BD交B于点E,则当点E与点E重合时,DE的长度最小.过点D作DHBC于点H,点D到BA,BC的距离分别为4和2,BH=4,DH=2,BD=BH2+D

19、H2=25,DE=25-2,猫与老鼠的距离DE的最小值为25-2.16.D由题意可知点F在以点B为圆心、BC的长为半径的圆上,如图.易知当AG与B相切时,CG取得最大值,此时AFB=BFG=90=BFE,点E,G重合.易知ABCD,ABE=BEC.由折叠的性质可知,BEF=BEC,BEF=ABE,AG=AB=4,DG=AG2-AD2=42-32=7,CG=CD-DG=4-7,即线段CG的最大值为4-7.17.C易得点M在以AD为直径的圆上运动,如图,取AD的中点O,连接OM,过点M作MEBC交BC的延长线于点E,过点O作OFBC交BC的延长线于点F,交CD于点G,则OM+MEOF.AMD=90

20、,AD=4,OA=OD,OM=12AD=2.ABCD,GCF=B=60,BCD=180-B=120,DGO=CGF=30.由AD=BC,易得DAB=B=60,ADC=BCD=120,DOG=30=DGO,DG=DO=2,由此易得OG=23.CD=4,CG=2,GF=3,OF=33,MEOF-OM=33-2,即ME的最小值为33-2.18.B设CD的中点为M,连接OM,则OM=12CD=3,点M在以点O为圆心、3为半径的圆上.易得当点M到AB的距离最小时,EF的值最大.过点O作ONAB于点N,当点M在线段ON上时,点M到AB的距离最小,此时MN=ON-OM=OAOBAB-OM=6810-3=95

21、,EF=2FN=2FM2-MN2=232-(95)2=245=4.8.19.A如图,连接CE.CD为O的直径,DEC=90,CEB=90,点E在以BC为直径的圆上.取BC的中点F,连接AF,EF.BC=4,EF=CF=2.又ACB=90,AC=10,AF=AC2+CF2=226.在点D的运动过程中,AEAF-EF,且A,E,F三点共线时取等号,此时AE=AF-EF=226-2,即AE的最小值为226-2.20.B在ABE和CAD中,AB=AC,BAE=ACD,AE=CD,ABECAD,ABE=CAD.又BAP+CAD=60,BAP+ABE=60,APB=120,点P在如图所示的定圆O中的AB上

22、.连接OC交AB于点F,交O于点P,此时CP的长最短,连接OA,OB,则OA=OB.又CA=CB,OC垂直平分线段AB,PA=PB,CF=32AC=3223=3,BAP=ABP=30,FP=33AF=3312AB=1,CP=CF-FP=3-1=2.故选B.21.B如图,连接DG,DG是RtDEF的斜边EF上的中线,DG=12EF=1,故点G在以点D为圆心、1为半径的圆上.作点A关于BC的对称点A,连接AD,交BC于点P,交D于点G,此时PA+PG的值最小,为AG的长.在RtADA中,AA=4,AD=3,AD=AD2+AA2=5,AG=AD-DG=5-1=4,故PA+PG的最小值为4.22.C如

23、图,过点F作FMAB于点M,设AC的中点为O,则点G在以AC为直径的圆上,连接OG.以BC为对称轴作ABC的对称图形,得到ABC,过点F作FNAB于点N,则FM=FN.又ABC=30,FN=FM=12FB,GF+12FB=GF+FN.当点O,G,F,N共线时,GF+FN的值最小,此时ON=OAsinA=332,GF+FN=ON-OG=332-1.故GF+12FB的最小值为332-1.23.B连接EF交PQ于点M,易得ME=2FM,ME=2,MF=1.连接BM,设BM的中点为点N,连接HN.BHM=90,HN=MN=BN,点H在以BM为直径的N上,连接DN,则当点H在DN上时,DH最短,如图.易

24、得BE=2,BM=22+22=22,HN=2.过点N作NKCD于点K,易得NK=2,DK=3,DN=22+32=13,线段DH长度的最小值为DN-HN=13-2.24.C设点Q的运动时间为ts,则AP=CQ=t,CP=8-t.SPCQ=12(8-t)t=-12(t-4)2+8.0t6,当t=4时,PCQ的面积最大,为8cm2.25.A如图,过点A作AHBC于点H.AB=AC=2,BC=23,BH=12BC=3,AH=AB2-BH2=4-3=1,sinABC=AHAB=12,ABC=30,ACB=30,BAC=120,BDC=12BAC,点D在以点A为圆心,AB为半径的圆上.延长HA交A于点P,当点D与点P重合时,DBC的面积最大,最大值为1223(1+2)=33.故选A.26.B如图(1),过点D作DFAC交BE于点F,则BDFBAE,DFAE=BDAB=23.AE=3EC,DF=2EC.ACDF,COEDOF,COOD=CEDF=12,ODCD=23,SAOB=23SABC.易知点C在以AB为直径的圆弧上运动,如图(2),设AB的中点为M,当CMAB,即点C在圆弧最高处时,ABC面积最大,最大值为1242=4,ABO面积的最大值为234=83.图(1)图(2)