安徽省2023中考数学 题型3 选择压轴题之几何最值问题习题.docx

1、题型三选择压轴题之几何最值问题高分帮类型1利用“垂线段最短”求最值1.2020贵州贵阳如图,RtABC中,C=90,利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别以点D,E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧,两弧在CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点,则GP的最小值为(C)A.无法确定B.12C.1D.2(第1题)(第2题)2.2021四川凉山州中考改编如图,等边三角形ABC的边长为4,C的半径为3,P为AB边上一动点,过点P作C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为(C)A.1B.2C.3D.43.如图,在RtABC中,C=90,B=30,点

2、D,E分别在边AC,AB上,AD=14,点P是边BC上一动点,当PD+PE的值最小时,AE=15,则BE的长为(B)A.30B.29C.28D.27(第3题)(第4题)4.如图,ABC中,BAC=45,ABC=60,AB=4,D是边BC上的一个动点,以AD为直径画O分别交AB,AC于点E,F,则弦EF长度的最小值为(B)A.3B.6C.22D.235.2021合肥45中三模如图,在边长为4的正方形ABCD中,E为边AD上一点,且AE=1,F为边AB上一动点,将线段EF绕点F顺时针旋转90得到线段GF,连接DG,则DG的最小值为(A)A.522B.4C.22D.322(第5题)(第6题)6.20

3、21湖南郴州中考改编如图,在ABC中,AB=5,AC=4,sinA=45,BDAC交AC于点D.点P为线段BD上的动点,则PC+35PB的最小值为(D)A.95B.115C.135D.165类型2利用“轴对称”求最值7.如图,在菱形ABCD中,M,N分别是边BC,CD的中点,P是对角线BD上一动点,已知菱形边长为5,对角线AC长为6,则PMN周长的最小值是(C)A.11B.10C.9D.8(第7题)(第8题)8.2021黑龙江佳木斯中考改编如图,在RtAOB中,AOB=90,OA=4,OB=6,以点O为圆心,3为半径的O,与OB交于点C,过点C作CDOB交AB于点D,点P是边OA上的动点,则P

4、C+PD的最小值为(B)A.4B.210C.43D.2159.如图,在矩形ABCD中,点E是AB边的中点,点F在AD边上,点M,N分别是CD,BC边上的动点.若AB=AF=2,AD=3,则四边形EFMN周长的最小值是(C)A.2+13B.22+25C.5+5D.8(第9题)(第10题)10.如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若在AB,AC上分别取点N,M,使得BM+MN的值最小,则最小值为(C)A.12B.102C.16D.2011.2021江苏连云港如图,正方形ABCD内接于O,线段MN在对角线BD上运动,若O的面积为2,MN=1,则AMN周长的最小值是(B)A.3B.4C.5D

5、.6(第11题)(第12题)12.如图,四边形ABCD是矩形,AB=6,BC=8,点M,N是对角线AC上的点,且AM=CN=14AC.点P是矩形ABCD边上的动点,则满足PM+PN=10的点P的个数是(C)A.2B.4C.6D.8类型3利用“隐形圆”求最值13.如图,在RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,点F在边AC上,且CF=2,点E为边BC上的动点,将CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是(D)A.0.9B.1C.1.1D.1.2(第13题)(第14题)14.2021湖北鄂州如图,在RtABC中,ACB=90,AC=23,BC=3.点P为ABC内一点,且

6、满足PA2+PC2=AC2.当PB的长度最小时,ACP的面积是(D)A.3B.33C.334D.33215.2021湖北十堰中考改编如图,在RtABC中,ACB=90,AC=8,BC=6,点P是平面内一个动点,且AP=3,Q为BP的中点,在P点运动过程中,设线段CQ的长度为m,则m的取值范围是(B)A.1m7B.72m132C.2m8D.72m6(第15题)(第16题)16.2021山东威海中考改编如图,在正方形ABCD中,AB=2,E为边AB上一点,F为边BC上一点.连接DE,AF交于点G,连接BG.若AE=BF,则BG的最小值为(A)A.5-1B.2C.3D.3+117.2020合肥瑶海区

7、一模如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点E为边DC上不与端点重合的一个动点,连接BE,将BCE沿BE翻折得到BFE,连接AF并延长交线段CD于点G,则线段CG长度的最大值是(D)A.1B.1.5C.4-5D.4-7(第17题)(第18题)18.如图,RtABC中,ACB=90,B=30,AC=2,D为BC上一动点,AD的垂直平分线交AC于点E、交AB于点F,则BF的最大值为(D)A.226-2B.8C.43D.8319.2021淮南地区一模如图,已知正方形ABCD的边长为8,点E是正方形内部一点,连接BE,CE,且ABE=BCE,点P是AB边上一动点,连接PD,PE,则PD+PE

8、的最小值为(D)A.82B.410C.85-4D.413-4(第19题)(第20题)20.如图,在RtABC中,ACB=90,BC=4,AC=10,点D是AC上的一个动点,以CD为直径作O,连接BD交O于点E,连接AE,则AE的最小值为(A)A.226-2B.8C.82-3D.221-121.2020安庆模拟如图,在边长为23的等边三角形ABC中,点D,E分别是边BC,AC上的动点,且AE=CD,连接BE,AD相交于点P,连接CP,则线段CP的最小值为(B)A.1B.2C.3D.23-1类型4利用“旋转”求最值22.如图,RtABC中,ACB=90,A=30,AB=16,点P是AC边上的一个动

9、点,将线段BP绕点B顺时针旋转60得到线段BQ,连接CQ,则在点P运动过程中,CQ长的最小值为(C)A.2B.3C.4D.5(第22题)(第23题)23.2021山东滨州中考改编如图,在ABC中,ACB=90,BAC=30,AB=2.若点P是ABC内一点,则PA+PB+PC的最小值为(D)A.3B.2+1C.6D.7类型5利用二次函数的性质求最值24.如图,在RtABC中,C=90,AC=8cm,BC=6cm,点P在边AC上,从点A向点C移动,点Q在边CB上,从点C向点B移动,若点P,Q均以1cm/s的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,连接PQ,则PCQ面积的最大值为(C)

10、A.4cm2B.6cm2C.8cm2D.10cm2(第24题)(第25题)25.2021四川自贡如图,直线y=-2x+2与坐标轴交于A,B两点,点P是线段AB上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线y=-x+3于点Q,OPQ绕点O顺时针旋转45,边PQ扫过区域(阴影部分)面积的最大值是(A)A.23B.12C.1116D.2132【参考答案】题型三选择压轴题之几何最值问题1.C根据题中的作图步骤可知,BG平分ABC,易知当GPAB时,GP的值最小.BG平分ABC,GPAB,GCBC,GP=GC=1,故选C.2.C连接CP,CQ,过点C作CHAB于点H,则CH=23.由切线的性质可得PQCQ,P

11、Q=CP2-CQ2=CP2-3,CP最短时,PQ最短.根据“垂线段最短”可知,当点P与点H重合时,CP最短,此时CP=CH=23,PQ长的最小值为(23)2-3=3.3.B作点D关于BC的对称点G,连接PG,则PD+PE=PG+PE,根据“两点之间,线段最短”及“垂线段最短”可知,当G,P,E共线,且GEAB时,PD+PE的值最小,如图.ACB=90,B=30,A=60,AG=2AE=30,DG=2CD=30-14=16,CD=8,AC=22,AB=2AC=44,BE=44-15=29.(第3题)(第4题)4.B设DC与O的另一个交点为点H,连接OE,OF,AH,如图,则AHD=90.EOF=

12、2EAF=245=90,OE=OF=12AD,EF=2OE,当OE的值最小时,EF的值最小,此时AD最小.易知AD的最小值为AH的长.在RtABH中,sinABH=AHAB=sin 60,AH=32AB=23,OE的最小值为3,EF的最小值为32=6.故选B.5.A如图(1),过点G作GHAB,垂足为H.由旋转可知EFG=90,EF=FG,根据“一线三直角”模型易证AEFHFG,FH=AE=1,AF=HG.在AB上取一点P,使得AP=1,连接PG.AP=FH=1,AP+PF=FH+PF,即AF=PH,PH=HG.又GHP=90,HPG=45,点G在过点P且与AB所夹锐角为45的直线上,故当DG

13、PG时,DG的长最小,如图(2),连接BG,易知此时点D,G,B共线,易知BD=42,BP=3,BG=22BP=322,DG=BD-BG=42-322=522,即DG的最小值为522.图(1)图(2)6.D如图,过点P作PEAB于点E,过点C作CHAB于点H.BDAC,ADB=90.sin A=BDAB=45,AB=5,BD=4,AD=3,sinABD=PEBP=ADAB=35,PE=35BP,PC+35PB=PC+PE.易知当C,P,E三点共线时,PC+PE最小,即PC+35PB最小,最小值为CH的长.SABC=12ACBD=12ABCH,44=5CH,CH=165,PC+35PB的最小值为

14、165.(第6题)(第7题)7.C设AC,BD交于点O,四边形ABCD是菱形,ACBD,OA=OC=12AC=3.在RtDOC中,OD=CD2-OC2=52-32=4,BD=2OD=8.易知MN是CBD的中位线,MN=12BD=4,PMN的周长=PM+PN+MN=PM+PN+4,PM+PN的值最小时,PMN的周长也最小.如图,作点N关于BD的对称点E,则点E为AD的中点,连接EM,则EM=CD=5.根据“将军饮马”模型可知EM的长即为PM+PN的最小值,PM+PN的最小值为5,PMN的周长的最小值为5+4=9.8.B如图,延长CO交O于点E,连接ED,与OA交于点P,此时PC+PD的值最小,最

15、小值为线段DE的长.易知BC=CO,CDOA,CD是OAB的中位线,CD=2.又CE=6,DE=22+62=210,PC+PD的最小值为210.9.C作点E关于直线BC的对称点E,点F关于直线CD的对称点F,连接EF,分别交CD,BC于点M,N,此时四边形EFMN的周长最小,如图.在RtAEF中,A=90,AE=12AB=1,AF=2,EF=12+22=5.在RtAEF中,AE=2+1=3,AF=3+1=4,EF=32+42=5,故四边形EFMN周长的最小值为5+5.10.C易知AC=202+102=105.作点B关于AC的对称点B,连接BM,则BM+MN=BM+MN,根据“两点之间线段最短”

16、及“垂线段最短”可知,当B,M,N共线,且BNAB时,BM+MN的值最小,最小值为BN的长,如图.易证BBNCAB,BBAC=BNAB.根据三角形面积公式可知,ABBC=AC12BB,即2010=10512BB,BB=85,85105=BN20,BN=16,即BM+MN的最小值为16.11.B由O的面积为2,易得O的半径为2.MN=1,当AN+AM最小时,AMN的周长最小.方法一:如图(1),连接CM,作CSBD,在CS上截取CT=MN,连接NT,则CM=AM,四边形NTCM是平行四边形,NT=CM,AN+AM=AN+NT.连接AT交BD于点E,易知当点N与点E重合时,AN+AM最小,最小值为

17、AT的长.连接AC.在RtATC中,AC=22,CT=MN=1,AT=AC2+CT2=3,AMN周长的最小值为4.方法二:由对称性可知,当AM+AN最小时,点O在MN上.如图(2),连接OA,则OABD.设ON=a,则OM=1-a.根据勾股定理,得AN=(2)2+a2=2+a2,AM=(2)2+(1-a)2=2+(1-a)2.易知2+a2可表示平面直角坐标系中点(2,0)与点(0,a)之间的距离,2+(1-a)2可表示平面直角坐标系中点(2,1)与点(0,a)之间的距离,AN+AM的最小值即为点(0,a)到点(2,0),(2,1)的距离之和的最小值.在如图(3)所示的平面直角坐标系中,已知点P

18、(2,0),Q(2,1),作点Q关于y轴的对称点Q,连接QP,则QP的长即为AN+AM的最小值.易知PQ=(22)2+12=3,AN+AM的最小值为3,AMN周长的最小值为4.图(1)图(2)图(3)12.C当点P与点A或点C重合时,易求得PM+PN=10.如图(1),当点P与点B重合时,分别过点M,N作MEAB于点E,NFBC于点F.易知EM=2,BE=92,BF=6,FN=32,BM=EM2+BE2=972,BN=BF2+FN2=1532,BM+BN=97+153210.如图(2),当点P位于AB边上时,以AB为对称轴作点M的对称点M,连接MN,当点P,M,N共线时,PM+PN的值最小.过

19、点M作AB的平行线,过点N作BC的平行线,两线交于点G,则MGN是直角三角形,易求得MG=3,GN=8,MN=MG2+GN2=73,即PM+PN的最小值为7310.同理,当点P位于BC(或AD)边上时,求得PM+PN的最小值为21310.根据矩形的对称性及上述分析,可知在矩形ABCD的四条边上(不含端点)各有1个点P使得PM+PN=10.综上所述,符合条件的点P有6个.图(1)图(2)13.DC=90,AC=6,BC=8,CF=2,AB=10,AF=4.由折叠可知FP=CF=2,点P在以点F为圆心,2为半径的F上,如图,过点F作AB的垂线,垂足为点G,当点P为F与线段FG的交点时,点P到AB的

20、距离最小.易证AFGABC,AFAB=FGBC,即410=FG8,FG=165,点P到AB的最小距离为165-2=65=1.2.(第13题)(第14题)14.DPA2+PC2=AC2,APC=90,点P在以AC为直径的圆上.如图,取AC的中点O,连接OP,BO,则BPBO-OP.当点P在线段BO上时,BP最小.点O是AC的中点,APC=90,PO=AO=CO=3,tanBOC=BCCO=3,BOC=60,COP是等边三角形,SCOP=34OC2=334.OA=OC,SACP=2SCOP=332,故选D.15.B如图,取AB的中点M,连接QM,CM.易知MQ是ABP的中位线,则MQ=12AP=1

21、23=32,点Q在以点M为圆心,32为半径的圆上.在RtABC中,CM是斜边AB上的中线,CM=12AB=12AC2+BC2=5.易知CM-MQCQCM+MQ,当点C,M,Q三点共线,且点Q在线段CM上时,m取得最小值,最小值为5-32=72;当点C,M,Q三点共线,且点Q在线段CM的延长线上时,m取得最大值,最大值为5+32=132.综上所述,m的取值范围为72m132.(第15题)(第16题)16.A易证ABFDAE,ADE=FAB.又FAB+DAG=90,ADE+DAG=90,AGD=90,点G在以AD为直径的圆上,如图,取AD的中点M,连接MG,BM,则MG=12AD=1,BM=5.易

22、知当点G在线段BM上时,BG的长最小,此时BG=BM-MG=5-1,即BG的最小值为5-1.17.D由题意可知点F在以点B为圆心、BC的长为半径的圆上,如图.易知当AG与B相切时,CG取得最大值,此时AFB=BFG=90=BFE,点E,G重合.易知ABCD,ABE=BEC.由折叠的性质可知,BEF=BEC,BEF=ABE,AG=AB=4,DG=AG2-AD2=42-32=7,CG=CD-DG=4-7,即线段CG的最大值为4-7.(第17题)(第18题)18.D连接DF,则AF=DF,故点D在以点F为圆心,AF的长为半径的F上.分析可知,当F与BC相切时,AF的长最短,此时BF最长,如图,易知此

23、时FDBC,BF=2FD.在RtABC中,AC=2,ACB=90,B=30,AB=4,AF+2FD=4,FD=43,BF=83.19.D四边形ABCD是正方形,ABC=90,ABE+CBE=90.ABE=BCE,BCE+CBE=90,BEC=90,点E在以BC为直径的半圆上运动,如图,设BC的中点为O,作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形ABGF,则点D的对应点是F,连接FO交AB于点P,交半圆O于点E,此时线段EF的长即为PD+PE的最小值.OE=4,FG=BG=AB=8,OG=12,又G=90,OF=FG2+OG2=413,EF=413-4,PD+PE的最小值为413-4.(第19题)

24、(第20题)20.A如图,连接CE.CD为O的直径,DEC=90,CEB=90 ,点E在以BC为直径的圆上.取BC的中点F,连接AF,EF.BC=4,EF=CF=2.又ACB=90,AC=10,AF=AC2+CF2=226.在点D的运动过程中,AEAF-EF,且A,E,F三点共线时取等号,此时AE=AF-EF=226-2,即AE的最小值为226-2.21.B在ABE和CAD中,AB=AC,BAE=ACD,AE=CD,ABECAD,ABE=CAD.又BAP+CAD=60,BAP+ABE=60,APB=120,点P在如图所示的定圆O中的AB上.连接OC交AB于点F,交O于点P,此时CP的长最短,连

25、接OA,OB,则OA=OB.又CA=CB,OC垂直平分线段AB,PA=PB,CF=32AC=3223=3,BAP=ABP=30,FP=33AF=3312AB=1,CP=CF-FP=3-1=2.故选B.(第21题)(第22题)22.C如图,将RtABC绕点B顺时针旋转60得到RtEBD,则E,C,B三点在同一直线上,点Q在线段ED上运动.易知当CQED时,CQ的长度最小.在RtABC中,ACB=90,A=30,AB=16,BC=8,EC=BE-BC=8.E=A=30,CQ=12EC=4.23.D如图,将APB绕点A顺时针旋转60,得到APB,连接PP,易知APP是等边三角形,AP=PP,PA+P

26、B+PC=PP+PB+PC.当点C,P,P,B共线时,PA+PB+PC取最小值,最小值即为CB的长,此时CAB=90,AB=2,AC =3,CB=(AC)2+(AB)2=(3)2+22=7.24.C设点Q的运动时间为t s,则AP=CQ=t,CP=8-t.SPCQ=12(8-t)t=-12(t-4)2+8.0t6,当t=4时,PCQ的面积最大,为8 cm2.25.A如图,由旋转可知,OPQ与OPQ全等,则SOPQ=SOPQ.延长PP交OQ于点M,设OQ与PP的交点为N.易得S扇形OPN=S扇形OPM,S阴影部分=S扇形OQQ-S扇形ONM.当点P在其他位置上时,同样可以得到S阴影部分=S扇形OQQ-S扇形ONM.设点P的横坐标为m(0m1),则P(m,-2m+2),Q(m,-m+3),OP=m2+(-2m+2)2,OQ=m2+(-m+3)2,S阴影部分=S扇形OQQ-S扇形ONM=45OQ2360-45OP2360=45m2+(-m+3)2360-45m2+(-2m+2)2360=-38(m-13)2+23.0m1,当m=13时,阴影部分面积最大,最大面积为23.