2014-2015学年高中数学（人教A版选修2-2）课件：2.ppt

1、2.1.2演绎推理问题引航1.什么是演绎推理?它有什么特点?2.什么是三段论?一般模式是什么?3.合情推理与演绎推理有什么区别与联系?1.演绎推理(1)含义:从一般性的原理出发,推出某个_下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.(2)特点:演绎推理是由_到_的推理.特殊情况一般特殊2.三段论一般模式常用格式大前提_M是P小前提_S是M结论根据一般原理,对_做出的判断S是P已知的一般原理所研究的特殊情况特殊情况1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)“三段论”就是演绎推理.()(2)演绎推理的结论是一定正确的.()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.()【解析】(1)错误.“三段论”

2、是演绎推理的一般模式,却不是演绎推理.(2)错误.在演绎推理中,只有“大前提”“小前提”及推理形式都正确的情况下,其结论才是正确的.(3)错误.演绎推理是由一般到特殊的推理.答案:(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)用演绎推理证明“y=sinx是周期函数”时的大前提是,小前提是.(2)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理中“三段论”中的是错误的.(3)推理某一“三段论”,其前提之一为肯定判断,结论为否定判断,且推理形式正确,由此可以推断,该三段论的另一前提必为判断(选填“肯定”或“否定”)【解析】

3、2.(1)y=sinx是三角函数,而三角函数是周期函数,因此大前提为三角函数为周期函数、小前提应该为y=sinx是三角函数.答案:三角函数是周期函数 y=sinx是三角函数(2)小前提错误.因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数.答案:小前提(3)演绎推理在大、小前提和推理形式都正确的前提下,得到结论一定正确.答案:否定【要点探究】知识点演绎推理1.演绎推理的三个特点(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因

4、而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是由一般到特殊的推理.2.对“三段论”的三点说明(1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系,从而得到了第三个命题结论.(2)若集合M的所有元素都具有性质P,S是M中的一个子集,那么S中的元素也具有性质P;若M中的元素都不具有性质P,则S中的元素也不具有性质P.(3)从以上两点可以看出:三段论推理的结论正确与否,取决于两个前提是否正确,推理形式(即S与M的包含关系)是否正确.【知识拓展】合情推理与演绎推理的区别与联系合情推理演绎推理区别常用形式归纳、类比三段论思维运动

5、过程的方向归纳推理是从部分到整体,从个别到一般的推理;类比推理是从特殊到特殊的推理从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论,即从一般到特殊的推理前提与结论联系的性质结论超过了前提所断定的范围,其结论具有或然性结论不超过前提所断定的范围,前提和结论的联系是必然的应用不能作为数学证明的工具,但它具有创造性思维,对于数学发现很有意义可以作为数学证明的工具,较少具有创造性,但它严密的论证有助于数学的理论化和系统化合情推理演绎推理联系两者紧密联系,互为依赖,互为补充.(1)演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来.从这个意义上可以说,没有归纳推理就没有演绎推理.(2)合

6、情推理也离不开演绎推理,合情推理活动的目的、任务和方向必须借助于理论思维,依靠人们先前积累的一般性理论知识作指导.这本身就是一种演绎活动,并且合情推理得到的结论正确与否,必须借助于演绎推理去论证,从这个意义上说,没有演绎推理也就没有合情推理【微思考】合情推理与演绎推理的作用分别是什么?提示:合情推理的作用是探索方法,寻求思路,发现规律,得到猜想,而演绎推理的作用在于对由合情推理得到的结论,进行严格的证明.【即时练】1.(2014厦门高二检测)已知幂函数f(x)=x是增函数,而y=x-1是幂函数,所以y=x-1是增函数,上面推理错误是()A.大前提错误导致结论错B.小前提错误导致结论错C.推理的

7、方式错误导致错D.大前提与小前提都错误导致错【解析】选A.大前提为:f(x)=x是增函数,在f(x)=x中当0时f(x)为增函数,显然大前提是错误的.2.函数y=2x+5的图象是一条直线,用三段论表示为:大前提.小前提.结论.【解析】根据三段论模式分析题意可知:一次函数y=kx+b(k0)的图象是一条直线,大前提y=2x+5是一次函数,小前提函数y=2x+5的图象是一条直线.结论答案:一次函数y=kx+b(k0)的图象是一条直线y=2x+5是一次函数函数y=2x+5的图象是一条直线【题型示范】类型一用三段论证明几何问题【典例1】(1)(2014湛江高二检测)推理:“矩形是平行四边形;正方形是矩

8、形;所以正方形是平行四边形”中的小前提是.(2)证明:如果梯形的两腰和一底相等,那么它的对角线必平分另一底上的两个角.【解题探究】1.题(1)中的推理是什么形式?2.题(2)中证明的方法和步骤是什么?【探究提示】1.题中的推理是三段论的形式.2.先将文字语言转化为几何语言,利用平行线的性质去寻求角的关系.【自主解答】(1)推理:“矩形是平行四边形,正方形是矩形,所以正方形是平行四边形”中:矩形是平行四边形,大前提正方形是矩形,小前提所以正方形是平行四边形.结论答案:(2)已知在梯形ABCD中(如图所示),AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线,求证:CA平分BCD,BD平分CBA.证明:等腰

9、三角形的两底角相等,大前提DAC是等腰三角形,DC=DA,小前提1=2.结论两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,大前提1和3是平行线AD,BC被AC所截的内错角,小前提1=3.结论等于同一个量的两个量相等,大前提2,3都等于1,小前提2和3相等.结论即CA平分BCD.同理BD平分CBA.【方法技巧】1.用三段论证明命题的步骤(1)理清楚证明命题的一般思路.(2)找出每一个结论得出的原因.(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.2.三段论中的三个判断三段论是由三个判断组成的,其中的两个为前提,另一个为结论.第一个判断是提供性质的一般判断,叫做大前提,通常是已知的公理、定理、定义等;第

10、二个判断是和大前提有联系的特殊情况,叫做小前提,通常是已知条件或前面证明过程中推理的第三个判断;第三个判断为结论.在推理论证的过程中,一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成,而大前提通常省略不写,或者写在结论后面的括号内,小前提有时也可以省去,而采取某种简明的推理格式.【变式训练】如图,ABC中,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,BFD=A,DEBA.求证ED=AF,写出“三段论”形式的演绎推理.【解题指南】只需证明四边形AEDF为平行四边形即可.【证明】因为同位角相等,两直线平行,大前提BFD与A是同位角,且BFD=A,小前提所以FDAE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平

11、行四边形,大前提DEBA,且FDAE,小前提所以四边形AFDE为平行四边形.结论因为平行四边形的对边相等,大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边,小前提所以ED=AF.结论【补偿训练】已知在空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB,AD的中点,如图所示,求证:EF平面BCD(指出大前提,小前提及结论).【证明】因为三角形中位线与第三边平行,大前提点E,F分别是AB,AD的中点,EF是ABD的中位线,小前提所以EFBD.结论因为平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与平面平行,大前提EF平面BCD,BD平面BCD,EFBD,小前提所以EF平面BCD.结论类型二演绎推理在代数证明中的应用

12、【典例2】(1)(2014温州高二检测)由“(a2+a+1)x3,得x ”的推理过程中,其大前提是.(2)已知函数f(x)=ax+(a1),证明:函数f(x)在(-1,+)上为增函数.【解题探究】1.题(1)中的大前提怎样找?2.题(2)中证明的方法是什么?【探究提示】1.将推理过程写成三段论的形式.2.利用增函数的定义或利用f(x)0证明.【自主解答】(1)该推理过程写成三段论形式:不等式两边同除以一个正数,不等号的方向不变,大前提(a2+a+1)x3,a2+a+1大于0,小前提x .结论答案:不等式两边同除以一个正数,不等号方向不变(2)方法一:(定义法)任取x1,x2(-1,+),且x1

13、0,且a1,所以1.而-1x10,x2+10,所以f(x2)-f(x1)0,所以f(x)在(-1,+)上为增函数.方法二:(导数法)f(x)=所以f(x)=axlna+.因为x-1,所以(x+1)20,所以0.又因为a1,所以lna0,ax0,所以axlna0.所以f(x)0.于是得f(x)=ax+在(-1,+)上是增函数.【方法技巧】代数问题中的常见的利用三段论证明的命题(1)函数类问题:比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.(2)导数的应用:利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和最值,证明与函数有关的不等式等.(3)三角函数的图象与性质.(4)数列的通项公式、递推公式以及求和,数

14、列的性质.(5)不等式的证明.【变式训练】证明f(x)=x3+x在R上为增函数,并指出证明过程中所运用的“三段论”.【证明】在R上任取x1,x2,且x10.因为f(x)=x3+x,所以f(x2)-f(x1)=(+x2)-(+x1)=(-)+(x2-x1)=(x2-x1)(+x2x1+1)=(x2-x1)因为所以f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以f(x)=x3+x在R上是增函数.在证明过程中所用到的“三段论”:大前提是“增函数的定义”,小前提是“题中的f(x)经过正确的推理满足增函数的定义”,结论是“f(x)是增函数”.【补偿训练】已知数列an满足a1=1,a2=3,an+2

15、=3an+1-2an(nN*).(1)证明:数列an+1-an是等比数列.(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)因为an+2=3an+1-2an,所以an+2-an+1=2an+1-2an=2(an+1-an),所以=2(nN*)而a2-a1=2.所以数列an+1-an是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+22+21+1=+1=2n-1.【拓展类型】拓展类型演绎推理与合情推理的关系【备选典例】1.(2013东莞高二检测)下列推理过程是演绎推理的为()A.人们通过大量试验得出抛硬币出

16、现正面的概率为B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C.我们由a1=1,a2=3,a3=5,推测得an=2n-1(nN*)D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数2.用三段论写出求解下题的主要解答过程.若不等式|ax+2|6的解集为(-1,2),求实数a的值.【解析】1.选D.根据题意,对于A人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为,这是归纳推理.B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼,根据其原理来制造相同的物体,这是类比推理.C.由a1,a2,a3,归纳得出an的通项,是归纳推理.D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数,是演绎推理,故选D.2.推理的第一个关键

17、环节:大前提:如果不等式f(x)0的解集为(m,n),且f(m),f(n)有意义,则m,n是方程f(x)=0的实数根,小前提:不等式|ax+2|0,那么x=a,小前提:|-a+2|=6且|2a+2|=6,结论:-a+2=6且2a+2=6.可得出结论a=-4.【方法技巧】应用演绎推理的一般思路 在运用演绎推理,即三段论证明问题时要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提),并保证每一步的推理都是正确的、严密的,才能得出正确的结论.【易错误区】忽略大前提而致误【典例】(2014深圳高二检测)已知2sin2+sin2=3sin,则sin2+sin2的取值范围为

18、.【解析】由2sin2+sin2=3sin得sin2+sin2=-sin2+3sin因为0sin21,sin2=3sin-2sin2,所以03sin-2sin21.解之得sin=1或0sin ,令y=sin2+sin2,当sin=1时,y=2.当0sin 时,0y .所以sin2+sin2的取值范围是0,2.答案:0,2【常见误区】错解错因剖析忽略处sin的范围,误认为sinR忽略处的sin的取值而漏掉y=2致误【防范措施】1.正确理解大前提解题过程中,要对大前提把握好,正确认识大前提是解题的关键,如本例中sin的取值范围.2.挖掘题中的隐含条件解题时要对题目中的隐含条件挖掘到位,不能遗漏,否则会出现失误,如本例中sin=1易漏掉.【类题试解】设,(0,)，且tan=tan=tan=则+=_.【解析】tan(+)=由tan=且(0,)得0,tan=知(0,).由tan=得(0,)，所以+(0,)，所以+=.答案：