2014年北师版数学文（陕西用）配套课件：第七章 第二节空间图形的基本关系与公理.ppt

1、第二节 空间图形的基本关系与公理1.空间中点与直线、点与平面的位置关系(1)空间点与直线的位置关系有两种:_和_.(2)空间点与平面的位置关系有两种:_和_.点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外2.空间中线与线、线与面及面与面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言_交点个数_个_个_个aba000直线与直线直线与平面平面与平面相交关系图形语言符号语言ab=Aa=A=l交点个数_个_个_个11无数直线与直线直线与平面平面与平面独有关系图形语言符号语言a,b是异面直线a交点个数0个无数个3.空间图形的公理及等角定理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的_在

2、一个平面内,那么这条直线上_都在这个平面内(即直线_)若Al,Bl,A,B,则_公理2经过不在同一条直线上的三点,_一个平面(即可以确定一个平面)若A,B,C三点不共线,则_一个平面使A,B,C两点所有的点在平面内l有且只有有且只有文字语言图形语言符号语言公理3如果两个不重合的平面_,那么它们_一条通过这个点的公共直线若A,A,则_公理4平行于同一条直线的两条直线_若ab,bc,则_等角定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补若AOAO,BC_,则AOB=AOB,AOC和AOB互补有一个公共点有且只有平行=l且AlacBO4.异面直线所成的角(1)定义:过空间任意一点

3、P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2,这两条相交直线所成的_就是异面直线a,b所成的角.如果两条异面直线所成的角是_,则称这两条直线互相垂直.(2)范围:_.锐角(或直角)直角判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a.()(2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于过A点的任意一条直线.()(3)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,并记作=A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(5)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.()【解析】根据平面的性质公理3可知(1)对;对于(2)

4、,其错误在于“任意”二字上;对于(3),错误在于=A上;对于(4),应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC;命题(5)中没有说清三个点是否共线,(5)不正确.答案:(1)(2)(3)(4)(5)1.有以下命题:若平面与平面相交,则它们只有有限个公共点;经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;经过两条相交直线有且只有一个平面;两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.其中,真命题的个数是()(A)4(B)3 (C)2 (D)1【解析】选B.若平面与平面相交,则它们有无数个公共点,结合公理可知均正确.2.若三条不同的直线a,b,c满足ab,a,c异面,则b与c()(A)一定是异面直线(B

5、)一定是相交直线(C)不可能是平行直线(D)不可能是相交直线【解析】选C.ab,a,c异面,b与c相交或异面.3.下列命题:两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行;两条直线不异面,则这两条直线相交;分别在两个平面内的直线是异面直线;一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行.其中正确命题的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】选A.两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行、相交或异面,故错误;两条直线不异面,则相交或平行,故错误;不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线,故错误;一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行、相

6、交或直线在平面内,故错误.4.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()(A)l1l2,l2l3l1l3(B)l1l2,l2l3l1l3(C)l1l2,l2l3l1,l2,l3共面(D)l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面【解析】选B.对于A:空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,如图,l1,l3可以相交或异面,故命题错误.对于B:由异面直线所成的角可知,l2l3,则l1与l3所成的角与l1与l2所成的角相等,故l1l3,故命题正确.对于C:空间中三条互相平行的直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱不共面,故命题错误.对于D:空间中共点的三条直线不一定共面,如三棱锥中共

7、顶点的三条棱所在直线不共面.5.下列命题中不正确的是(填序号).没有公共点的两条直线是异面直线;分别和两条异面直线都相交的两直线异面;一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行;一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.【解析】没有公共点的两直线平行或异面,故错;命题错,此时两直线有可能相交;命题正确,因为若直线a和b异面,ca,则c与b不可能平行,用反证法证明如下:若cb,又ca,则ab,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能平行;命题也正确,若c与两异面直线a,b都相交,由公理3可知,a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面,这样a,b,c共确定两个平面.答

8、案:考向 1平面的基本性质及其应用【典例1】(1)给出以下命题:不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)如图,平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90,BCAD且BC=AD,BEAF且BE=AF,G,H分别为FA,FD的中点.证明:四边形BCHG是平行四边形.C,D,F,E四点是否共面?为什么?【思路点拨】(1)根据相应的公理及推论进行判断.(

9、2)证明BC,GH平行且相等即可;证明EFCH,由此构成平面,再证点D在该平面上.【规范解答】(1)选B.假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以正确.从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,但是若A,B,C共线,则结论不正确.对于,b与c可能异面,不正确.不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形.(2)由题设知,FG=GA,FH=HD,所以GHAD且GH=AD.又BCAD且BC=AD,故GHBC且GH=BC,所以四边形BCHG是平行四边形.C,D,F,E四点共面.理由如下:由BEAF且BE=AF,G是

10、FA的中点知,BEGF且BE=GF,所以四边形EFGB是平行四边形,所以EFBG.由知BGCH,所以EFCH,故EC,FH共面.又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.【互动探究】本例第(2)题的条件不变,如何证明“FE,AB,DC交于一点”?【证明】由例题可知,四边形EBGF和四边形BCHG都是平行四边形,故可得四边形ECHF为平行四边形,ECHF,且EC=DF,四边形ECDF为梯形,FE,DC交于一点,设FEDC=M.MFE,FE 平面BAFE,M平面BAFE.同理M平面BADC.又平面BAFE平面BADC=BA,MBA,FE,AB,DC交于一点.【拓展提升】1.证明三点共线的两种

11、方法(1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,于是可得这三点都在交线上,即三点共线.(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在这条直线上,从而得三点共线.2.证明三线共点的思路先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题化归到证明点在直线上的问题.通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的交线.【变式备选】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是A1A的中点,求证:(1)E,C,D1,F四点共面.(2)CE,D1F,DA三线共点.【证明】(1)如图,连接A1B,CD1.因为E是AB的中点,F是A1A的中点

12、,则EFA1B.又在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1BD1C,所以EFD1C,故E,C,D1,F四点共面.(2)由(1)知,EFD1C且EF=D1C,故四边形ECD1F是梯形,两腰CE,D1F相交,设其交点为P,则PCE.又CE平面ABCD,所以P平面ABCD.同理,P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=AD,所以PAD,所以CE,D1F,DA三线共点.考向 2空间中两直线的位置关系【典例2】(1)(2013咸阳模拟)在空间中有不共线的三条线段AB,BC和CD,且ABC=BCD,那么直线AB与CD的位置关系是()(A)ABCD(B)AB与CD异面(C)AB与CD相交(D)

13、ABCD或AB与CD异面或AB与CD相交(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:AM和CN是否是异面直线?说明理由.D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.【思路点拨】(1)可分线段AB,BC,CD共面和不共面两种情况讨论.(2)由于MNAC,因此M,N,A,C四点共面,故AM与CN不异面.由图易判断D1B和CC1是异面直线,可用反证法证明.【规范解答】(1)选D.若三条线段共面,则直线AB与CD相交或平行;若三条线段不共面,则直线AB与CD是异面直线,故选D.(2)不是异面直线.理由:连接MN,A1C1,AC.M,N分别是A1B1,B1C

14、1的中点,MNA1C1.又A1A C1C,A1ACC1为平行四边形,A1C1AC,MNAC,A,M,N,C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.是异面直线.理由:ABCD-A1B1C1D1是正方体,B,C,C1,D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面,使D1B平面,CC1平面,D1,B,C,C1,这与B,C,C1,D1不共面矛盾.假设不成立,即D1B和CC1是异面直线.【拓展提升】判定空间直线位置关系的三种类型及方法(1)异面直线:可采用直接法或反证法.(2)平行直线:可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理.(3)垂直关系:往往利用线面垂直的性

15、质来解决.【提醒】在空间两直线的三种位置关系中,验证异面直线及其所成角是考查的热点.【变式训练】设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是(填序号).若AC与BD共面,则AD与BC共面;若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线;若AB=AC,DB=DC,则AD=BC;若AB=AC,DB=DC,则ADBC.【解析】对于,由于点A,B,C,D共面,显然结论正确.对于,假设AD与BC共面,由正确得AC与BD共面,这与题设矛盾,故假设不成立,从而结论正确.对于,如图,当AB=AC,DB=DC,使二面角A-BC-D的大小变化时,AD与BC不一定相等,故不正确.对于,如图,取BC的

16、中点E,连接AE,DE,则由题设得BCAE,BCDE.根据线面垂直的判定定理得BC平面ADE,从而ADBC.答案:考向 3 异面直线所成的角【典例3】正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求AC与A1D所成角的大小.(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.【思路点拨】(1)平移A1D到B1C,找出AC与A1D所成的角,再计算.(2)可将A1C1平移到AC,将EF平移到BD再求解.【规范解答】(1)如图所示,连接AB1,B1C,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,易知A1DB1C,从而B1C与AC所成的锐角或直角就是AC与A1D所成的角.AB1=AC=B1C,B

17、1CA=60,即AC与A1D所成的角为60.(2)如图所示,连接AC,BD,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,ACBD,ACA1C1,E,F分别为AB,AD的中点,EFBD,EFAC,EFA1C1,即A1C1与EF所成的角为90.【拓展提升】1.找异面直线所成的角的三种方法(1)利用图中已有的平行线平移.(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.(3)补形平移.2.求异面直线所成角的三个步骤(1)作:通过作平行线,得到相交直线.(2)证:证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角.(3)算:通过解三角形,求出该角.【变式训练】在三棱锥S-ACB中，SAB=SAC=ACB=90，

18、AC=2，BC=SB=则SC与AB所成角的余弦值为_.【解析】如图,取BC的中点E,分别在平面ABC内作DEAB,在平面SBC内作EFSC,则异面直线SC与AB所成的角为FED(或其补角),过F作FGAB,连接DG,DF,则DFG为直角三角形.由题知AC=2，BC=SB=可得DE=EF=2，DF=在DEF中，由余弦定理可得答案：【满分指导】求异面直线所成角主观题的规范解答【典例】(12分)(2012上海高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=PA=2.求:(1)三角形PCD的面积.(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.【思

19、路点拨】已知条件条件分析ABCD是矩形可得结论CDADPA底面ABCD可得CDPD,从而可判断PDC为直角三角形E是PC的中点可作出PBC的中位线将BC平移,并找到异面直线BC与AE所成的角【规范解答】（1）因为PA底面ABCD，所以PACD.又ADCD，所以CD平面PAD，从而CDPD.3分因为CD=2，所以三角形PCD的面积为6分（2）取PB的中点F，连接EF，AF，则EFBC，从而AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角.8分在AEF中，由EF=AF=AE=2知AEF是等腰直角三角形，所以AEF=因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是12分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(

20、2013池州模拟)如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2()(A)互相平行(B)异面且互相垂直(C)异面且夹角为(D)相交且夹角为【解析】选D.将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合,故l1与l2相交.连接AD,ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为故选D.2.(2013西安模拟)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是()【解析】选D.在A图中分别连接PS,QR,易证PSQR,P,S,R,Q共面.在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,如图,故P,Q,R,S四点共面.在C图中分别连接PQ,RS,

21、易证PQRS,P,Q,R,S共面.D图中PS与RQ为异面直线,P,Q,R,S四点不共面,故选D.3.(2012浙江高考)已知矩形ABCD,AB=1,BC=将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()(A)存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直(B)存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直(C)存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直(D)对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直【解析】选B.找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.对于选项A,过点A作AEBD,垂足为E,过点C作CFBD,垂足为F,在图(1)中,由边AB,BC不相等可知点E,F不

22、重合.在图(2)中,连接CE,若直线AC与直线BD垂直,又ACAE=A,BD平面ACE,BDCE,与点E,F不重合相矛盾,故A错误.对于选项B,若ABCD,又ABAD,ADCD=D,AB平面ADC,ABAC,由ABAB,不存在这样的直角三角形.C错误.由上可知D错误,故选B.4.(2013宝鸡模拟)给出命题:异面直线是指空间既不平行又不相交的直线;两异面直线a,b,如果a平行于平面,那么b不平行于平面;两异面直线a,b,如果a平面,那么b不垂直于平面;两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.上述命题中,真命题的序号是.【解析】易知正确;两条异面直线可以平行于同一个平面;若b,则ab,

23、这与a,b为异面直线矛盾;两条异面直线在同一个面内的射影可以是:两条平行直线、两条相交直线、一点一直线.答案:5.(2013铜川模拟)对于空间三条直线,有下列四个条件:三条直线两两相交且不共点;三条直线两两平行;三条直线共点;有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.其中,使三条直线共面的充分条件有.【解析】中两相交直线确定一个平面,则第三条直线在这个平面内;中可能有一条直线和另外两条直线确定的平面平行;中直线最多可确定3个平面;同.答案:1.如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列命题:过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;过M点有且只有一条直线与

24、直线AB,B1C1都垂直;过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.其中真命题是()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.由于两相交直线可确定一个平面,设l过M点,与AB,B1C1均相交,则l与AB可确定平面,l与B1C1可确定平面,又AB与B1C1为异面直线,l为面与面的交线,如图所示.GE即为l,又平面与平面有唯一交线,故正确.由于DD1过点M,DD1AB,DD1B1C1,BB1为AB,B1C1的公垂线,DD1BB1,又过点M有且只有一条直线与BB1平行,故正确.显然正确.过M点有无数个平面与AB,B1C1都相交,故错误.2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为.【解析】设正方体的棱长为a.连接A1E,EF,可知D1FA1E,异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角,在AEA1中,答案：