五年高考2022届高考数学复习第八章第五节直线平面垂直的判定与性质文全国通用.docx

1、第五节直线、平面垂直的判定与性质考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2022浙江，6)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A.若mn，n，则mB.若m，则mC.若m，n，n，则mD.若mn，n，则m解析选项A、B、D中m均可能与平面平行、垂直、斜交或平面内，故选C.答案C2.(2022浙江，4)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A.若m，n，则mnB.若m，m，则C.若mn，m，则nD.若m，则m解析A选项中直线m，m可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B选项中，与也可能相交，此时直线m平行于，的交线；D选项中，m也可能平行于.故选C.答案C3.(202

2、2大纲全国，11)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B. C. D.解析如图，设AA12AB2，AC交BD于点O，连接OC1，过C作CHOC1于点H，连接DH.BDAC，BDAA1，BD平面ACC1A1.CH平面ACC1A1，CHBD.CH平面C1BD.CDH为CD与平面BDC1所成的角.OC1.由等面积法得OC1CHOCCC1，CH2.CH.sinCDH.故选A.答案A4.(2022浙江，5)设l是直线，是两个不同的平面()A.若l，l，则B.若l，l，则C.若，l，则lD.若，l，则l解析A选项中由l，l不能确定与的位置关

3、系，C选项中由，l可推出l或l，D选项由，l不能确定l与的位置关系.答案B5.(2022全国，8)已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足.若AB2，ACBD1，则CD()A.2 B. C. D.1解析由题意得AB2AC2CD2BD2，即41CD21，解得CD，故选C.答案C6.(2022湖北，4)用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a，b，则ab.其中真命题的序号是()A. B. C. D.解析由公理4知是真命题.在空间内ab，bc，直线a、c的关系不确定，故是假命题.由a，b，不能判定

4、a、b的关系，故是假命题.是直线与平面垂直的性质定理.故选C.答案C7.(2022辽宁，16)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形.若PA2，则OAB的面积为_.解析将直四棱锥补成长方体如图：球O的直径2R4，R2.SOAB233.答案38.(2022新课标全国，18)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.解(1)因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面B

5、ED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在Rt AEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3.故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.9.(2022安徽，19)如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值.(1)解

6、由题设AB1，AC2，BAC60，可得SABCABACsin 60.由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高，又PA1.所以三棱锥PABC的体积VSABCPA.(2)证明在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN，又BM平面MBN，所以ACBM.在RtBAN中，ANABcosBAC，从而NCACAN，由MNPA，得.10.(2022湖北，20)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图

7、所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.(1)证明：DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值.解(1)因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.而DE平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四

8、面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB.(2)由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1SABCDPDBCCDPD；由(1)知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以V2SBCEDEBCCEDE.在RtPDC中，因为PDCD，点E是PC的中点，所以DECECD，于是4.11.(2022浙江，18)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.(1)证明设E为BC的中点，由题意得A1E平面ABC，

9、所以A1EAE，因为ABAC，所以AEBC.故AE平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以AA1DE为平行四边形.于是A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)解作A1FDE，垂足为F，连接BF.因为A1E平面ABC，所以BCA1E.因为BCAE，所以BC平面AA1DE.所以BCA1F，A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角.由ABAC2，CAB90，得EAEB.由A1E平面ABC，得A1AA1B4，A1E.由DEBB14.DA1EA，DA1E90，得A1F.所以si

10、n A1BF.12.(2022天津，17)如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证：EF平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.(1)证明如图，连接A1B，在A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EFBA1.又因为EF平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)证明因为ABAC，E为BC中点，所以AEBC，因为AA1平面ABC，BB1AA1，所以BB1平面ABC，从而BB1AE.又因为BCBB1B，所以AE平面BCB1，又因为A

11、E平面AEA1，所以平面AEA1平面BCB1.(3)解取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NEB1B，NEB1B，故NEA1A且NEA1A，所以A1NAE，且A1NAE.又因为AE平面BCB1，所以A1N平面BCB1，从而A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.在ABC中，可得AE2，所以A1NAE2.因为BMAA1，BMAA1，所以A1MAB，A1MAB，又由ABBB1，有A1MBB1.在RtA1MB1中，可得A1B14.在RtA1NB1中，sinA1B1N，因为A1B1N30.所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为

12、30.13.(2022重庆，20)如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM.(1)证明：BC平面POM；(2)若MPAP，求四棱锥PABMO的体积.(1)证明如图，因四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连接OB，则AOOB.因BAD，故OBABsinOAB2sin1，又因BM，且OBM，在OBM中，OM2OB2BM22OBBMcosOBM12()221cos .所以OB2OM2BM2，故OMBM.又PO底面ABCD，所以POBC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC平面POM.(2)解由(1)可得，OAA

13、BcosOAB2cos .设POa，由PO底面ABCD知，POA为直角三角形，故PA2PO2OA2a23.由POM也是直角三角形，故PM2PO2OM2a2.连接AM，在ABM中，AM2AB2BM22ABBMcosABM2222cos.由已知MPAP，故APM为直角三角形，则PA2PM2AM2，即a23a2，得a，a(舍去)，即PO.此时S四边形ABMOSAOBSOMBAOOBBMOM1.所以四棱锥PABMO的体积VPABMOS四边形ABMOPO.14.(2022新课标全国，19)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.(1)证明：B1

14、CAB；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高.(1)证明连接BC1，则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，又因为BC1AOO，所以B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)解作ODBC，垂足为D，连接AD.作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，AOODO，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，所以OH平面ABC.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形，又BC1，可得OD.由于ACAB1，所以OAB1C.由OHADODOA，且AD，得OH.又O为B1C

15、的中点，所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABCA1B1C1的高为.15.(2022江西，19)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3.(1)证明：BE平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离.(1)证明过B作CD的垂线交CD于F，则BFAD，EFABDE1，FC2.在RtBFE中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因为BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1，又BCBB1B，所以BE平面BB1C1C.(2)解连接B1E，则三棱锥EA1B1C1的体积VAA1SA1B

16、1C1.在RtA1D1C1中，A1C13.同理，EC13，A1E2.故SA1C1E3.设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1A1C1E的体积VdSA1C1Ed，从而d，d.16.(2022北京，17)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD平面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.且PAADA，所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.又CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF.且CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.10