《名校推荐》福建省泉州市第五中学高二数学学案：选修2-3 1-3 二项式定理.doc

1、“杨辉三角”中的一些秘密班级_姓名_阅读材料：杨辉三角的历史易系辞上：“河出图，洛出书，圣人则之。”相传，伏羲在黄河边思考天地的至理，突然，一匹龙马从黄河中奔腾而出，伏羲发现，龙马的身上又一幅图画，伏羲从图中领悟了八卦，这幅图就是传说中的河图。大禹在治理洪水时，有一只大乌龟从洛水中浮出，背上刻有纹理，大禹依据这些纹理划分了九州，这些纹理就是洛书。河图，洛书是我们华夏文化的起源，同时，他们也是世界上最古老的数阵。数阵的概念与数列很相似，我们将数字按一定的顺序排列成图形就构成了数阵。 杨辉三角就是一个特殊的数阵，其最早出现在北宋贾宪的“开方作法本源图”中，南宋时期的杨辉在他的著作详解九章算术中引用

2、了这幅图，并注明了“出释锁算书，贾宪用此术”。元朝的朱世杰对杨辉三角作了进一步研究，从中推导出了高阶差分数列的求和。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了这个三角,所以“杨辉三角”在国外又被称为“帕斯卡三角”。世界著名数学家华罗庚在他的从杨辉三角谈起中将其称为“杨辉三角” ，于是才有了“杨辉三角”的说法。近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色，宋朝的贾宪用它手算高次方根，元朝的朱世杰用它研究高阶差分数列（垛积术），牛顿用它算微积分。,华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷

3、级数都谈到了。同学们，我们又能发现杨辉三角的哪些秘密呢？一:回顾杨辉三角第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10 10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第8行_.我们已经学习过杨辉三角的哪些性质？_三:初探杨辉三角研究角度一： 第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10 10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1第 9行 1 8 28 56 70 56 28

4、8 1第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1第14行_.第n+1行_归纳：用组合数表示杨辉三角：猜想：结论1：_结论2：_结论3：_结论4：_结论5：_证明：_四:再探杨辉三角研究角度二第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10

5、10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1提示：将杨辉三角摆放成直角三角形，谈谈你们组的发现_研究角度三1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4

6、5 6 7 8 91 3 6 10 15 21 28 361 4 10 20 35 56 841 5 15 35 70 1261 6 21 56 1261 7 28 841 8 361 91提示：将杨辉三角摆放成以上形状，谈谈你们组的发现_五:三探杨辉三角11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 11 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1提示：将杨辉三角中的奇数涂黑，又会有怎样的发现？_六:小结与收获：通过本节课，你对数阵的研究有什么心得？_七:课后探索1查找资料，并阅读华罗庚的从杨辉三角说起，看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密。2用我们今天所学的探究方法，研究莱布尼茨三角，你能从个数阵中发现哪些秘密呢？