2022高三全国统考数学北师大版（理）一轮复习学案：8-4　平行关系 WORD版含解析.docx

1、8.4平行关系必备知识预案自诊知识梳理1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件结论ab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件,a结论aba1.平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.2.判断两个平面平行的三个结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误

2、的画“”.(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.()(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.()(3)若直线a与平面内无数条直线平行,则a.()(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()2.已知平面,直线m,n,满足n,则“mn”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.(2020广东湛江高三一模)已知直线a,b,平面,a,b,则a,b是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件

3、C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.(2020安徽宣城高三模考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱AA1,BB1的中点,过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC,AC于点E,F,则下列说法正确的是()A.MFNEB.四边形MNEF为梯形C.四边形MNEF为平行四边形D.A1B1NE5.(2020辽宁朝阳模拟)如图,平面平面,PAB所在的平面与平面,分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB=.关键能力学案突破考点证明空间直线与平面平行【例1】(一题多解)如图,在四棱锥E-ABCD中,ABCD,ABC=90,CD=2AB=2CE=4,点F为棱DE的中

4、点.证明:AF平面BCE.思考判断或证明线面平行的常用方法有哪些?解题心得1.判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性质(,aa).2.证明线面平行往往先证明线线平行,证明线线平行的途径有:利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.对点训练1(2020河北唐山模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为线段A1B,AC1的中点.求证:MN平面BB1C1C.考点证明空间两条直线平行【例2】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面A

5、BCD是菱形且ABC=120,点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证:EFCD;(2)略.思考空间中证明两条直线平行的常用方法有哪些?解题心得空间中证明两条直线平行的常用方法(1)利用线面平行的性质定理,即a,a,=bab.(2)利用平行公理推论:平行于同一直线的两条直线互相平行.(3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行.对点训练2(2020湖南岳阳模拟)如图,平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90,BC12AD,BE12FA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)求证:四边形BCHG是平行四边形;(2)求证:C,D,E,

6、F四点共面.考点证明空间两平面平行【例3】(2020浙江温州模拟)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,BF平面ABCD,DE平面ABCD,BF=DE,M为棱AE的中点.(1)求证:平面BDM平面EFC;(2)若AB=1,BF=2,求三棱锥A-CEF的体积.思考判断或证明面面平行的方法有哪些?解题心得判定面面平行的方法(1)利用定义:即证两个平面没有公共点(不常用).(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(客观题可用).对点训练3(2020河北邯

7、郸二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN平面PAB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.考点平行关系中的存在问题【例4】(2020河南南阳高三二模)在直角梯形ABCD中(如图1),ABDC,BAD=90,AB=5,AD=2,CD=3,点E在CD上,且DE=2,将ADE沿AE折起,使得平面ADE平面ABCE(如图2),G为AE的中点.(1)求四棱锥D-ABCE的体积;(2)在线段BD上是否存在点P,使得CP平面ADE?若存在,求BPBD的值;若不存在,请说明理由.思考

8、解决存在性问题的一般思路是什么?解题心得解决存在问题一般先假设求解的结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条件,若找到了使结论成立的充分条件,则存在;若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾),则不存在.而对于探求点的问题,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明.对点训练4如图,在空间几何体ABCDE中,BCD与CDE均为边长为2的等边三角形,ABC为腰长为13的等腰三角形,平面CDE平面BCD,平面ABC平面BCD.试在平面BCD内作一条直线,使直线上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行,并给出详细证明.1.平行关系的转化方向如图所示:2.

9、直线与平面平行的主要判定方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a,a.1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.8.4平行关系必备知识预案自诊知识梳理1.a=a,b,baaa,a,=ba=ab2.=a,b,ab=P

10、,a,b,=a,=b考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.D当mn时,若m,则充分性不成立,当m时,mn不一定成立,即必要性不成立,则“mn”是“m”的既不充分又不必要条件.故选D.3.B因为直线a,b,平面,a,b,由a,b,得,平行或相交;由,得a,b,所以a,b是的必要不充分条件.故选B.4.B在AA1B1B中,AM=MA1,BN=NB1,AM=BN,又AMBN,四边形ABNM是平行四边形,MNAB.又MN平面ABC,AB平面ABC,MN平面ABC.又MN平面MNEF,平面MNEF平面ABC=EF,MNEF,EFAB.在ABC中,EFAB,EFMN,四边形MNEF为梯形.故选B.

11、5.52平面平面,CDAB,则PCPA=CDAB,AB=PACDPC=512=52.关键能力学案突破例1证明(方法1)如图,取CE的中点M,连接FM,BM.因为点F为棱DE的中点,所以FMCD,且FM=12CD=2,因为ABCD,且AB=2,所以FMAB,且FM=AB,所以四边形ABMF为平行四边形,所以AFBM.因为AF平面BCE,BM平面BCE,所以AF平面BCE.(方法2)如图,在平面ABCD内,分别延长CB,DA,交于点N,连接EN.因为ABCD,CD=2AB,所以A为DN的中点.又F为DE的中点,所以AFEN.因为EN平面BCE,AF平面BCE,所以AF平面BCE.(方法3)如图,取

12、棱CD的中点G,连接AG,GF,因为点F为棱DE的中点,所以FGCE.因为FG平面BCE,CE平面BCE,所以FG平面BCE.因为ABCD,AB=CG=2,所以四边形ABCG是平行四边形,所以AGBC,因为AG平面BCE,BC平面BCE,所以AG平面BCE.又FGAG=G,FG平面AFG,AG平面AFG,所以平面AFG平面BCE.因为AF平面AFG,所以AF平面BCE.对点训练1证明如图,连接A1C.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C为平行四边形.又因为N为线段AC1的中点,所以A1C与AC1相交于点N,即A1C经过点N,且N为线段A1C的中点.因为M为线段A1B的中点,所以M

13、NBC.又因为MN平面BB1C1C,BC平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.例2(1)证明底面ABCD是菱形,ABCD,又AB平面PCD,CD平面PCD,AB平面PCD.又A,B,E,F四点共面,且平面ABEF平面PCD=EF,ABEF,即可得EFCD.对点训练2证明(1)由题设知,G,H分别为FA,FD的中点,所以GH12AD.又BC12AD,故GHBC.所以四边形BCHG是平行四边形.(2)由BE12FA,G是FA的中点知,BEGF,所以EFBG.由(1)知BGCH,所以EFCH,故EC,FH共面.又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.例3(1)证明如图,设AC与BD交于

14、点N,则N为AC的中点,连接MN,又M为棱AE的中点,MNEC.MN平面EFC,EC平面EFC,MN平面EFC.BF平面ABCD,DE平面ABCD,且BF=DE,BFDE,四边形BDEF为平行四边形,BDEF.BD平面EFC,EF平面EFC,BD平面EFC.又MNBD=N,平面BDM平面EFC.(2)解连接EN,FN.在正方形ABCD中,ACBD,又BF平面ABCD,BFAC.又BFBD=B,AC平面BDEF,又N是AC的中点,V三棱锥A-NEF=V三棱锥C-NEF,V三棱锥A-CEF=2V三棱锥A-NEF=213ANSNEF=213221222=23,三棱锥A-CEF的体积为23.对点训练3

15、(1)证明M,N分别为PD,AD的中点,MNPA.又MN平面PAB,PA平面PAB,MN平面PAB.在RtACD中,CAD=60,CN=AN,ACN=60.又BAC=60,CNAB.CN平面PAB,AB平面PAB,CN平面PAB.又CNMN=N,平面CMN平面PAB.(2)解由(1)知,平面CMN平面PAB,点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.由已知,AB=1,ABC=90,BAC=60,BC=3,三棱锥P-ABM的体积V=VM-PAB=VC-PAB=VP-ABC=1312132=33.例4解(1)因为G为AE的中点,AD=DE=2,所以DGAE.因为平面ADE平面ABCE,平面

16、ADE平面ABCE=AE,DG平面ADE,所以DG平面ABCE.在等腰直角三角形ADE中,易求AE=22,则DG=2,所以四棱锥D-ABCE的体积VD-ABCE=13(1+5)222=22.(2)在BD上存在点P,使得CP平面ADE.过点C作CFAE交AB于点F,过点F作FPAD交DB于点P,连接PC,如图所示,因为CFAE,AE平面ADE,CF平面ADE,所以CF平面ADE,同理FP平面ADE,又因为CFPF=F,所以平面CFP平面ADE.因为CP平面CFP,所以CP平面ADE.所以在BD上存在点P,使得CP平面ADE.因为四边形AECF为平行四边形.所以AF=CE=1,即BF=4,故BPBD=BFAB=45.所以在BD上存在点P,使得CP平面ADE,且BPBD=45.对点训练4解如图所示,取BC和BD的中点H,G,连接HG,则直线HG为所求直线.证明如下.因为H,G分别为BC和BD的中点,所以HGCD,所以HG平面CDE.取CD的中点O,连接EO,AH,AG,如图,易知EOCD,AHBC.因为平面CDE平面BCD,且EOCD,所以EO平面BCD,又由平面ABC平面BCD,AHBC,得AH平面BCD,所以EOAH,所以AH平面CDE,又AHHG于点H,所以平面AHG平面CDE,所以直线HG上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行.