新教材2020-2021学年人教B版数学必修第四册学案：11-1-4 棱锥与棱台 WORD版含答案.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。11.1.4棱锥与棱台必备知识自主学习导思1.什么是棱锥、棱台?它们分别有何特点?如何表示?如何分类?2.什么是正棱锥、正棱台?它们有哪些主要性质?一、棱锥的有关概念1.棱锥2.正棱锥及有关概念(1)正棱锥:如果棱锥的底面是正多边形,且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面,则称这个棱锥为正棱锥.(2)侧面性质:正棱锥的侧面都全等,而且都是等腰三角形.(3)正棱锥的斜高:侧面等腰三角形底边上的高.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗?提示:未必是棱锥.如图所

2、示的几何体,满足各面都是三角形,但这个几何体不是棱锥,因为它不满足条件“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”.二、棱台的有关概念1.棱台2.正棱台及有关概念(1)正棱台:由正棱锥截得的棱台称为正棱台.(2)正棱台的高:上下底面中心的连线.(3)侧面性质:正棱台的侧面都全等,而且都是等腰梯形.(4)正棱台的斜高:侧面等腰梯形的高.棱台的各侧棱是什么关系?各侧面是什么样的多边形?两个底面是什么关系?提示:棱台的各侧棱延长后交于一点,各侧面是梯形,两个底面是相似的多边形.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.()(2)用一平面去截棱锥,

3、得到两个几何体,一个是棱锥,一个是棱台. ()(3)有两个面平行,且其余各面均为梯形的几何体一定是棱台.()提示:(1).依据棱台的定义可知:由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分是棱台.(2).只有用一平行于底面的平面去截棱锥,得到两个几何体,才能一个是棱锥,一个是棱台.(3) .未必是棱台,因为它们的侧棱延长后不一定交于一点,如图,用一个平行于楔形几何体底面的平面去截楔形几何体,截面与底面之间的几何体虽有两个面平行,其余各面是梯形,但它不是棱台.2.正三棱锥的底面边长为a,高为a,则此棱锥的斜高等于()A.aB.aC.aD.a【解析】选B.如图,在正三棱锥S-ABC中,AB=a

4、,SO=a,于是OD=ABsin 60=a,从而SD=.3.如图几何体中,是棱柱,是棱锥,是棱台(仅填相应序号).【解析】结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知是棱柱,是棱锥,是棱台.答案:4.(教材二次开发:例题改编)如图所示,正四棱台ABCD-ABCD的高是17 cm,上、下两底面的边长分别是4 cm和16 cm,求这个棱台的侧棱长和斜高.【解析】设棱台两底面的中心分别是点O和O,BC,BC的中点分别是E,E.连接OO,EE,OB,OB,OE,OE,则四边形OBBO,OEEO都是直角梯形,如图.在正方形ABCD中,因为BC=16 cm,所以OB=8 cm,OE=8 cm.在正方形ABCD中,因为B

5、C=4 cm,所以OB=2 cm,OE=2 cm.在直角梯形OOBB中,BB=19(cm).在直角梯形OOEE中,EE=5(cm).故这个棱台的侧棱长为19 cm,斜高为5 cm.关键能力合作学习类型一棱锥及其有关概念(数学抽象、直观想象)【典例】1.下面图形所表示的几何体中,不是棱锥的为()2.所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥的一个面重合后,暴露的面的个数为个.【思路导引】1.看是否同时满足以下两点:(1)有一个面是多边形.(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.2.注意到有两个正三角形面合并成一个平行四边形面.【解析】1.选A.选项A中的几何体不满足有一个面是多边形,其余各面都是有一个

6、公共顶点的三角形,所以不是棱锥;选项B,C,D中的几何体是棱锥.2.如图(1)(2)所示分别是所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥.图(3)是它们拼接而成的一个几何体.故暴露的面数为5个.答案:5判断棱锥形状的两种方法(1)直接法:利用棱锥的定义,看是否只有一个多边形,此面为底面,再看其他面是否是有一个公共顶点的三角形.(2)举反例:结合棱锥的定义,举反例直接判断关于棱锥结构特征的某些说法不正确.1.有下列几个命题:(1)底面是正多边形的棱锥,一定是正棱锥;(2)所有侧棱相等的棱锥一定是正棱锥;(3)正棱锥的棱都相等;(4)侧棱长相等,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥,一定是正棱锥.

7、其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由正棱锥的定义可知:(1)缺少“各侧面全等”这个条件,故不能得到正棱锥,所以(1)是假命题;侧棱都相等时,底面可以不是正多边形,比如一个三棱锥,侧棱都相等,但侧棱的夹角不相等,因此底面边长不相等,不是正三棱锥,所以(2)是假命题;棱锥的棱包括侧棱和底棱,正棱锥的侧棱都相等,底棱也相等,但侧棱和底棱可能不相等,所以(3)是假命题;(4)符合正棱锥的定义,所以(4)是真命题.2.有下列几个命题:各个侧面是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;棱锥的所有侧面可能是直角三角形;四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.其中真命题有.【解析】四棱锥P-ABCD

8、中,PA=PB=PC=PD,底面ABCD为菱形,但不是正方形,这样的棱锥就不是正四棱锥,因此是假命题;三棱锥P-ABC中,PA垂直于平面ABC,ABC=90,它的所有侧面都是直角三角形,故是真命题;在四棱锥P-ABCD中,PA垂直于平面ABCD,四边形ABCD为矩形,这样的四棱锥的四个侧面都是直角三角形,故是真命题.答案:类型二棱台及其有关概念(数学抽象、直观想象)【典例】1.下列几何体是棱台的是 (写出所有满足题意的序号). 2.在正四棱台内作一个内接棱锥,该棱锥以这个棱台的上底面正方形作底,以下底面正方形的中心作顶点.如果棱台上、下底面的边长分别为a和b,棱台和这个内接棱锥的侧面积相等,求

9、这个内接棱锥的高,以及本题有解的限制条件.【思路导引】1.看是否同时满足以下两点:(1)是由棱锥截得的,(2)截面平行于底面.2.可以根据侧面积相等建立方程,解方程或者根据方程判断解的情况即可得出结论.【解析】1.都不是由棱锥截得的,不符合棱台的定义,故不满足题意;中的截面不平行于底面,不符合棱台的定义,故不满足题意;符合棱台的定义.答案:2.设内接棱锥的高为x,则棱锥的斜高h1=,棱台的斜高h2=.由棱台和内接棱锥的侧面积相等可得关于x的方程4a=4(a+b).解方程可得x=.答:这个内接棱锥的高为.当a,b满足0abOA=AB,所以.8.在四棱锥的4个侧面中,直角三角形最多可有个;在四面体

10、的4个面中,直角三角形最多可有个.【解析】画出正方体ABCD-EFGH如图所示,根据正方体的几何性质可知,在四棱锥H-ABCD中,HAD,HAB,HBC,HCD都是直角三角形,共4个.在四面体H-ABD中,HAD,HAB,HBD,ABD都是直角三角形,共4个.答案:44四、解答题(每小题10分,共20分)9.如果平行于一个正棱锥底面的截面面积是底面面积的,那么截面截一条侧棱所得两条线段的比是多少?【解析】如图,因为=,所以=,所以=,即截面截一条侧棱所得两条线段的比为1(-1).10.如图,在以O为顶点的三棱锥中,过O的三条棱两两夹角都是30,在一条棱上取A,B两点,OA=4 cm,OB=3

11、cm,以A,B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求此绳在A,B两点间的最短绳长.【解析】作出三棱锥的侧面展开图,如图A,B两点间最短绳长就是线段AB的长度.在AOB中,AOB=303=90,OA=4 cm,OB=3 cm,所以AB=5 cm.所以此绳在A,B两点间的最短绳长为5 cm.1.甲、乙两足球队决赛互罚点球时,罚球点离球门约10米,乙队守门员违例向前冲出了3米,扑住了球,结果被判犯规,扑球无效.事实上乙队守门员违例向前冲出了3米时,其要封堵的区域面积变小了,此时乙队守门员需封堵区域面积是原来球门面积的()A.B.C.D.【解析】选D.如图,从罚球点S向球门ABCD

12、四个顶点引线,构成四棱锥S-ABCD.作SEBC交BC于E.守门员从平面ABCD中的E点向前移动3米至平面ABCD内的点E,只需封堵区域ABCD即可,则=,由相似比与面积比的关系可得=.2.给出两块面积相同的正三角形纸片(如图),要求其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标在图,中,并写出简要说明.【解析】紧扣正三棱锥、正三棱柱的定义.正三棱柱底面是正三角形,侧棱垂直于底面且侧面是全等的矩形,在要求全面积的前提下构造上底面三角形和面积相等的三个四边形.如图,沿正三角形三边中点连线折起,即可拼成一个正三棱锥.如图,在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边长为三角形边长的,有一组对角为直角,余下的部分沿虚线折起,可成为一个缺上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好可以拼成这个正三棱柱的上底.关闭Word文档返回原板块