广东诗莞市松山湖学校第一中学2022届高三数学12月联考试题理.docx

1、东莞中学松山湖学校、东莞一中高三联考理科数学试题第I卷 (选择题共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.若集合= A. B. C. D. 2.复数是纯虚数，则实数的值为 A. -1 B. 2 C.2 D.2或13.已知直线l平面,直线m平面,有下面四个命题:(1)lm;(2)lm;(3)lm;(4)lm.其中正确的命题()A.(1)(2) B.(2)(4) C.(1)(3) D.(3)(4)4.如图是一个多面体的三视图,则其全面积为 A. B.+6 C. +4 D. +65执行如图所示的程序框图，若输出的S88，则判断框内应填入的条件是Ak4? Bk5? Ck6?

2、Dk7?6. 函数的最小正周期是A. B. C. D. 7. 已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则A. B. C1 D28已知圆C：，若点P（，）在圆C外，则直线l: 与圆C的位置关系为A相离 B相切 C相交 D不能确定9.的三内角A，B，C所对边长分别是，设向量,，若，则角的大小为A B C D10.已知函数的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为A B C D11.已知点为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点P使得则此椭圆的离心率的取值范围是A.(0, B.(0, C.( D. 12. 对于函数,若,为某一三角形的三条边，则称为“可构造三角

3、形函数”，已知函数（为自然对数的底数）是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是A. B. C. D.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.由曲线，直线直线围成的封闭图形的面积为 14.设数列的前项和为，且数列是首项和公比都是3的等比数列，则的通项公式 15外接圆半径为，内角A,B,C对应的边分别为，若A=60，则的值为 16.球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面，是边长为2的正三角形，面SAB面ABC，则棱锥S-ABC的体积的最大值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（12分

4、） 已知数列为等比数列，为等差数列的前项和， ()求和的通项公式； （）设，求.18. （12分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，10的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金。（）求员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望； （）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？19.（12分）如图，在四棱锥中，/，平面平面（）求证：平面平面；（）若直线与平面所成的角的正弦值为，求

5、二面角的平面角的余弦值.20.（12分）设M是焦距为2的椭圆E：（ab0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2 （1）求椭圆E的方程； （2）已知椭圆E：（ab0）上点N（，）处切线方程为， 若P是直线x2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标21.（12分）已知函数f(x)ln x在1，)上为增函数，且(0，)，tR.()求的值； ()当t0时，求函数g(x)的单调区间和极大值；()若在1，e上至少存在一个x0，使得g(x0)f(x0)成立，求t的取值范围请考生在第22、23、24三题中任选一题

6、作答，如果多做,则按所做的第一题记分,做答时写清题号.22. (10分)选修41：几何证明选讲 如图，点是以线段为直径的圆上一点，于点，过点作圆的切线，与的延长线交于点，点是的中点，连接并延长与相交于点, 延长与的延长线相交于点 (1)求证：； (2)求证：是圆的切线23. (10分)选修4-4：极坐标系与参数方程在极坐标系下,已知圆和直线(I )求圆和直线的直角坐标方程;（II）当时,求直线和圆公共点的极坐标.24. (10分) 选修4-5：不等式选讲已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集为x|2x1(I)求a的值； （II)若k恒成立，求k的取值范围东莞中学松山湖学校、东莞

7、一中高三联考 理科数学参考答案 2022.12.24 一、选择题：15 ACCDB； 610 CBCBB； 1112 DD二、填空题：13. 14. 15. 16. 三、解答题：17. (1) 3分 ; 6分 (2) 12分18）甲抽奖一次，基本事件总数为=120,奖金的所有可能取值为0，30，60，240.一等奖的情况只有一种，所以奖金为240元的概率为P(=240)=三球连号的情况有1，2，3；2，3，4;8,9,10共8种，所以P(=60)= 仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种；对应2，3；3，4；8，9各有6种。得奖金30的概率为P（=30）=奖金为0的概率为P（=0）=

8、的分布列为：03060240P 6分（） 由（）可得乙一次抽奖中中奖的概率为P= 10分 四次抽奖是相互独立的, 所以中奖次数B（4，）故.12分19.法一（）取中点，连接，则，四边形是平行四边形， /直角和直角中，直角直角，易知 2分平面平面，平面平面 平面 ， 4分平面. 5分 平面平面. 6分（）设交于，连接，则是直线与平面所成的角.设由，知， 9分作于，由，知平面，是二面角的平面角. 10分，而，即二面角的平面角的余弦值为.12分法二：（）平面平面，平面平面，平面 又，故可如图建立空间直角坐标系 2分 由已知，（），平面. 4分平面平面 6分（）由（），平面的一个法向量是，设直线与平面

9、所成的角为，即 8分设平面的一个法向量为，由，令，则 10分， 11分 显然二面角的平面角是锐角，二面角的平面角的余弦值为 12分21. 解：(1)由已知得f (x)0在1，)上恒成立，即0在1，)上恒成立， 2分(0，)，sin 0，sin x10在1，)上恒成立，只需sin 110，即sin 1，sin 1，由(0，)，知. 4分(2)t0，g(x)ln x，x(0，)，g(x)， 5分令g(x)0，则x2e1(0，)，x，g(x)和g(x)的变化情况如下表：x(0,2e1)2e1(2e1，)g(x)0g(x)极大值即函数的单调递增区间是(0,2e1)，单调递减区间是(2e1，)，极大值是

10、g(2e1)1ln(2e1)7分(3)令F(x)g(x)f(x)tx2ln x，当t0时，由x1，e有tx0，且2ln xf(x0)成立 9分当t0时，F (x)t，x1，e，2e2x0，又tx2t0，F(x)0在1，e上恒成立，故F(x)在1，e上单调递增，F(x)maxF(e)te4，令te40，则t 11分 故所求t的取值范围为. 12分 22.证明：（1） 因为是圆的直径，是圆的切线，所以.又因为，所以，可知， ，所以，所以.因为是的中点，所以，所以是的中点，. 5分（2）如图，连接，因为是圆的直径，所以在中，由（）知是斜边的中点，所以，所以.又因为，所以因为是圆的切线，所以.因为，所以是圆的切线. 10分23.解： (1) 圆: 2分 直线方程为 5分 (2)极坐标为(1,) 10分10