2022高考数学人教B版一轮总复习学案：6-5　数列的应用　6-6　数学归纳法 WORD版含解析.docx

1、6.5数列的应用6.6数学归纳法必备知识预案自诊知识梳理1.分期还款与数列(1)等额本金还款法:即将本金平均分配到每一期进行偿还,每期还款金额=.(2)等额本息还款法:即将本金和利息平均分配到每一期进行偿还.每期还款金额=,其中A0为贷款时的资金,r为银行贷款月利率,m为还款总期数(单位:月).2.数学归纳法一个与有关的命题,如果(1)当n=n0时,命题成立;(2)在假设n=时命题成立的前提下,能够推出n=时命题也成立.那么,这个命题对的所有自然数都成立.温馨提示能使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件:(1)第一块骨牌倒下;(2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.考点自诊1.判

2、断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(2)“等额本金还款法”中,每一期还款数构成一个等差数列.()(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.()(4)如果政府的支出增加,那么经济就会产生“乘数”效应.()(5)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.()2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步检验n等于()A.1B.2C.3D.43.某人2020年元旦存入一年期款a元,若按年利率为x计算(不计利息税),则到2025年元旦可取款()A.a(1+x

3、)5B.a(1+x)6C.a(1+x)4D.a(1+x5)4.已知数列an满足an+1=an2-nan+1,nN*,且a1=2,则a2=,a3=,a4=,猜想an=.5.用数学归纳法证明1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从n=k到n=k+1,左边需增添的代数式是.关键能力学案突破考点分期还款中的数列问题【例1】某企业进行技术改造,有两种方案:甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获得利润1万元,以后每年比上年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获得利润1万元,以后每年比前一年多获利5 000元.两种方案的期限都是10年,到期一次性归还本息.若银行贷款利息均以年息

4、10%计算,试比较两种方案哪个获得纯利润更多?(计算精确到千元,参考数据:1.1102.594,1.31013.786)解题心得1.解决数列的实际应用问题,关键是读懂题意,从实际问题中提炼出问题的实质,转化为数学问题解决.2.价格升降、细胞繁殖、利率、增长率等问题常归结为数列建模,从而归纳转化为数列问题去解决.对点训练1王某2019年12月31日向银行贷款100 000元,银行贷款年利率为5%,若此贷款分十年还清(2029年12月31日还清),每年年底等额还款(每次还款金额相同),设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元.(1)设每年的还款额为m元,请用m表示出a2;(2)求每年的还款额(精

5、确到1元).考点数学归纳法的应用(多考向探究)考向1用数学归纳法证明等式【例2】用数学归纳法证明:124+146+168+12n(2n+2)=n4(n+1)(nN*).解题心得(1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.(2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.(3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.对点训练2求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1),nN+.考向2利用数学归纳法证明不等式【例3】

6、已知数列an,an0,a1=0,an+12+an+1-1=an2,求证:当nN*时,an2n+12均成立.考向3利用数学归纳法证明整除问题【例4】用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.解题心得用数学归纳法证明整除问题,首先从要证的n=k+1的式子中拼凑出n=k时的假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式或某数整除.证明过程中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子,从而利用n=k时的假设使问题得到解决.对点训练4证明:(3n+1)7n-1能被9整除(nN*).考点归纳猜想证明【例5】数列an满足:a1=16,前n项和Sn=n(n+1)2an.(

7、1)求a2,a3,a4;(2)猜想数列an的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.解题心得在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点:(1)计算特例时,不仅仅是简单的算数过程,有时要通过计算过程发现数据的变化规律;(2)猜想必须准确,绝对不能猜错,否则将徒劳无功;(3)如果猜想出来的结论与正整数n有关,一般用数学归纳法证明.对点训练5已知数列114,147,1710,1(3n-2)(3n+1),记数列的前n项和为Sn.(1)计算S1,S2,S3,S4;(2)猜想Sn的表达式,并证明.高考大题专项(三)数列考情分析高考数列解答题主要题型有:等差、等比数列的基本量运算问题;证明一个数列是等差或等比数列

8、;根据递推关系求数列的通项公式;求一般数列的前n项和;证明数列型不等式等.题目难度中低等,一般设置在解答题的前两题,有时会命制结构不良型的开放题.典例剖析题型一等差、等比数列的综合问题【例1】(2020山东泰安高三模拟)在Sn=n2+n,a3+a5=16,S3+S5=42,an+1an=n+1n,S7=56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加以解答.设等差数列an的前n项和为Sn,数列bn为等比数列,b1=a1,b2=a1a22.求数列1Sn+bn的前n项和Tn.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解题心得1.对于等差、等比数列,求其通项公式及求前n项和时,只需利用等差数列

9、或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.2.有些数列可以通过变形、整理,把它转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.对点训练1(2020湖南永州高三第三次模拟)已知Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和,S3=6,a3是a1与a9的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn=(-1)n4an4n2-1(nN*),数列bn的前2n项和为P2n,若|P2n+1|1),前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q,且a1=b1,d=q,.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)记cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.题型四与数列有关的恒成立问题【

10、例4】在数列an中,a1=2,a2=3,其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1(n2,nN*).(1)求数列an的通项公式an.(2)设bn=1an2-1,求证:b1+b2+b3+bnCn恒成立.若存在,求出的值;若不存在,说明理由.解题心得以数列为背景的不等式恒成立问题,多与数列求和相联系,一般要通过求和化简后将结果转化或构造为函数,利用函数的单调性分析,若是含参数的不等式恒成立问题,则可分离参数,转化为研究最大(小)值问题.对点训练4(2020山东日照校际联考)已知数列an是首项为a1=14,公比q=14的等比数列,设bn+2=3log14an(nN*),数列cn满足cn=anb

11、n.(1)求数列cn的前n项和Sn;(2)若cn14m2+m-1对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.题型五与数列有关的不等式证明问题【例5】设函数f(x)=12+1x,各项均为正数的数列an满足a1=1,an=f1an-1,nN*,且n2.(1)求数列an的通项公式;(2)求证:1a1a2+1a2a3+1a3a4+1anan+12.解题心得数列与不等式综合问题的求解策略与不等式相关的数列问题,通常与由等差数列、等比数列等基本数列进行复合、变形后得到的新数列的和相关.合理应用公式求值变形是关键;若是证明题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等.对点训练5已知数列

12、an为等比数列,数列bn为等差数列,且b1=a1=1,b2=a1+a2,a3=2b3-6.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=1bnbn+2,数列cn的前n项和为Tn,证明:15Tn13.题型六数列中的存在性问题【例6】已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.解题心得求解数列中的存在性问题,先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的结果.对点训练6若an是各项均不为零的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足an2=S2n-1,nN*,数列bn满足bn=1anan+1,Tn为数列bn的前n项和.(1)求an和Tn;(2)是否存在正整数m,n(1mn),使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有m,n的值;若不存在,请说明理由.