2022高考数学人教B版一轮总复习学案：9-2　二项式定理与杨辉三角 WORD版含解析.docx

1、9.2二项式定理与杨辉三角必备知识预案自诊知识梳理1.二项式定理及相关的概念名称二项式定理概念公式(a+b)n=(nN+)称为二项式定理二项式系数(k=0,1,2,n)称为第k+1项的二项式系数二项式展开式的通项公式Tk+1=Cnkan-kbk(其中0kn,kN,nN+)称为二项展开式的通项公式二项展开式Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn(nN+)温馨提示二项式系数Cnk(k=0,1,2,n)是组合数,它与二项展开式中对应项的系数不一定相等,应注意区分二项式系数与项的系数这两个不同的概念.二项式系数是指Cn0,Cn1,Cnn,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;

2、而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.如(a+bx)n的二项展开式中,第k+1项的二项式系数是Cnk,而该项的系数是Cnkan-kbk.当然,在某些二项展开式中,各项的系数与二项式系数是相等的.2.二项式系数的性质(1)Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=;(2)Cn1+Cn3+Cn5+=Cn0+Cn2+Cn4+=.3.杨辉三角具有的性质(1)每一行都是的,且两端的数都是;(2)从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数.(3)利用二项式系数的对称性可知,二项式系数Cn0,Cn1,Cn2,Cnn-2,Cnn-1,Cnn是先逐

3、渐变,再逐渐变的,当n是偶数时,的二项式系数最大,当n是奇数时,的二项式系数相等且最大.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)(a+b)n的展开式中的第k项是Cnkan-kbk.()(2)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.()(3)在(a+b)n的展开式中,每一项的二项式系数都与a,b无关.()(4)通项公式Tk+1=Cnkan-kbk中的a和b不能互换.()(5)二项式的展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的.()2.(2021年1月8省适应性测试)(1+x)2+(1+x)3+(1+x)9的展开式中x2的系数是()A.60B.80C.84D.120

4、3.若x+1xn的展开式的二项式系数之和为64,则x+1xn的展开式的常数项为()A.10B.20C.30D.1204.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为()A.9B.8C.7D.65.观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是.关键能力学案突破考点求二项展开式中的特定项(或系数)问题(多考向探究)考向1已知二项式求其特定项(或系数)【例1】(1)(2020天津,11)在x+2x25的展开式中,x2的系数是.(2)(2020云南师大附中高三月考)若(ax-1x)6的展开式中常数项等于-20,则a=()A.12B.-12C.1D.-1解题心得求形如

5、(a+b)n(nN*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项Tk+1=Cnkan-kbk,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),再解出k;(3)把k代入通项中,即可求出Tk+1,有时还需要先求n,再求k,才能求出Tk+1或者其他量.对点训练1(1)-x+1x10的展开式中x2的系数等于()A.45B.-20C.-45D.-90(2)已知x-ax5的展开式中x5的系数为A,x2的系数为B,若A+B=11,则a=.考向2已知

6、两个因式之积求其特定项(或系数)【例2】(1)(1+x2)1-1x6的展开式中的常数项为()A.-15B.16C.15D.-16(2)若x+12x8(ax-1)的展开式中含x12的项的系数为21,则实数a的值为()A.3B.-3C.2D.-2(3)(1-x)8(1+x)5的展开式中x2的系数是()A.-5B.10C.-15D.25解题心得求形如(a+b)m(c+d)n(m,nN*)的展开式中与特定项相关的量的步骤(1)根据二项式定理把(a+b)m与(c+d)n分别展开,并写出其通项;(2)根据特定项的次数,分析特定项可由(a+b)m与(c+d)n的展开式中的哪些项相乘得到;(3)把相乘后的项合

7、并即可得到所求特定项或相关量.对点训练2(1)(1-x)6(1+x)4的展开式中x的系数是()A.-4B.-3C.3D.4(2)已知(x-1)(ax+1)6的展开式中含x2的项的系数为0,则正实数a=.考向3已知三项式求其特定项(或系数)【例3】(1)x2+1x+25的展开式中的常数项为.(2)(x2-x-2)4的展开式中x2的系数是.解题心得求三项展开式中某些特定项(或系数)的方法:(1)通过变形先把三项式转化为二项式,再用二项式定理求解;(2)两次利用二项式定理的通项求解;(3)由二项式定理的推证方法知,可用排列、组合的基本原理去求,即把三项式看作几个因式之积,要得到特定项看有多少种方法从

8、这几个因式中取因式中的量.对点训练3(1)(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)(1+x+x)4的展开式中x2的系数为.考点二项式系数的性质与各项系数的和(多考向探究)考向1二项式系数的最值问题【例4】已知m为正整数,(x+y)2m的展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1的展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8解题心得二项式系数最大项的确定方法(1)若n是偶数,则中间一项Tn2+1的二项式系数最大;(2)若n是奇数,则中间两项Tn+12与Tn+12+1的二项式系数相等并且最大.对点训练4在x

9、+axn(a0)的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,且所有项的系数和为256,则含x6的项的系数为.考向2项的系数的最值问题【例5】已知(3x+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992,则在2x-1x2n的展开式中,二项式系数最大的项为,系数的绝对值最大的项为.解题心得二项展开式系数最大项的求法如求(a+bx)n(a,bR)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,An+1,且第k项系数最大,应用AkAk-1,AkAk+1,从而解得k.对点训练5x+ax5的展开式中各项系数的和为-1,则该展开式中系数最大的项为.

10、考向3求二项展开式中系数的和【例6】若(x-3)3(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+a8x8,则a0=,a0+a2+a8=.解题心得求二项展开式系数和的常用方法是赋值法:(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,bR)的式子,求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+=f(1)+f(-1)2,偶数项系数之和为a1

11、+a3+a5+=f(1)-f(-1)2.对点训练6已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7.求:(1)a1+a2+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+|a7|.考点二项式定理的应用(多考向探究)考向1利用二项式定理近似计算【例7】0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A.0.940B.0.941C.0.942D.0.943解题心得由(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn,当x的绝对值与1相比很小且n很大时,x2,x3,xn等项的绝对值都很小,因此在精确度允许的范围内可以忽略不计.对点训练71.

12、028(小数点后保留三位小数).考向2利用二项式定理解决整除或余数问题【例8】设aZ且0a13,若512 012+a能被13整除,则a等于()A.0B.1C.11D.12解题心得用二项式定理处理整除问题,通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再利用二项式定理展开,只考虑后面一、二项(或者是某些项)即可.对点训练81-90C101+902C102-903C103+(-1)k90kC10k+9010C1010除以88的余数是()A.-1B.1C.-87D.87在解决一些与正整数n有关的组合恒等式或不等式问题时,常利用构造法,通过构造不同的二项式,利用二项式的不同展开方

13、法和二项式定理的相关知识来实现.【例】求证:(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+(Cnn)2=(2n)!(n!)2.解题指导此题若直接证明相当困难.不难发现,(2n)!n!n!=C2nn,因而可以考虑利用组合的知识或二项式定理来解决.证明(方法1)构造等式(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n,则C2nn是二项式(1+x)2n中xn的系数,于是我们考虑(1+x)n(1+x)n中xn的系数.若第一个因式取常数项x0,系数为Cn0,则第二个因式应取xn,系数为Cnn,此时xn的系数为Cn0Cnn=(Cn0)2;若xk取自第一个因式,其系数为Cnk,xn-k取自第二个因式,其系数为Cnn-k

14、,此时(1+x)n(1+x)n的展开式中xn的系数为CnkCnn-k=(Cnk)2.所以(1+x)n(1+x)n中xn的系数为Cn0Cnn+Cn1Cnn-1+CnkCnn-k+CnnCn0=(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+(Cnn)2.所以(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+(Cnn)2=C2nn=(2n)!n!n!=(2n)!(n!)2.(方法2)构造组合模型如下:某班有2n名学生,现从中选出n名学生参加某项活动.显然这样的选法有C2nn种选法.另一方面,将2n名学生分成A,B两组,从A组选出0名学生,从B组选出n名学生,有Cn0Cnn=(Cn0)2种选法,从A组选出1名学生

15、,从B组选出(n-1)名学生,有Cn1Cnn-1=(Cn1)2种选法,从A组中选出n名学生,从B组中选出0名学生,有CnnCn0=(Cnn)2种选法.由分类加法计数原理得(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+(Cnn)2=C2nn=(2n)!(n!)2.解题心得上述两种方法都用到了“算两次”的思想,所谓“算两次”的思想,就是对同一个量,用两种不同的方法去计算,所得的结果相同.证明组合恒等式的关键在于构造二项式,利用二项展开式中系数的关系得到相应的恒等式.有时取二项式中的字母为某些特殊值也可得到相应的组合等式,故在解题时要注意合理赋值.对点训练求证:Cn0Cn1+Cn1Cn2+Cnn-1Cnn=C2nn-1.