2022届高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第7节 立体几何中的向量方法课时作业（含解析）新人教版.doc

1、第七章 立体几何授课提示：对应学生用书第313页A组基础保分练1(2021石家庄摸底)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA1，BC2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为()A.BC.D答案：B2.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A.BC.D答案：A3.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为()A.aBaCaDa答案：B4.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面P

2、AD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为()解析：法一：以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建系如图：设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a,0)，则|，|.由|得x2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条直线yx.法二：所求轨迹是线段PC的垂直平分面与平面ABCD的交线答案：A5在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则点D到平面PBC的距离是_答案：6在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_答案：7

3、. (2021西安摸底)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ABBB1，ACBCBB1，D为AB的中点，且CDDA1. (1)求证：BB1平面ABC；(2)求锐二面角CDA1C1的余弦值解析：(1)证明：因为ACBC，D为AB的中点，所以CDAB，又DCDA1，ABDA1D，所以CD平面AA1B1B，又BB1平面AA1B1B，所以CDB1B，又B1BAB，ABCDD，所以B1B平面ABC.(2)由已知及(1)可得CB，CC1，CA两两互相垂直，所以以C为坐标原点，以CB所在直线为x轴，CC1所在直线为y轴，CA所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，设CC12，则C(0，0,0)，

4、C1(0,2,0)，A1(0,2,2)，D(1,0,1)，所以(1,0,1)，(0,2,2)，(1，2，1)，(0,0,2)设平面DCA1的法向量n1(x1，y1，z1)，则即令z11，则x11，y11，n1(1,1，1)设平面DC1A1的法向量n2(x2，y2，z2)，则即得z20，x22y20，令y21，则x22，n2(2,1,0)所以cosn1，n2.故锐二面角CDA1C1的余弦值为.B组能力提升练1. (2021合肥调研)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，点O为棱AB的中点 (1)求证：BC1平面A1CO；(2)若ABC是等边三角形，且ABAA1，A1AB60，平面AA1B1B平面A

5、BC，求二面角AA1CB的余弦值解析：(1)证明：连接AC1交A1C于M，连接OM.由三棱柱ABCA1B1C1知，四边形ACC1A1为平行四边形，M为AC1的中点又O为AB的中点，BC1OM.OM平面A1CO，BC1平面A1CO，BC1平面A1CO.(2)ABC是等边三角形，且ABAA1，A1AB60，A1OAB，COAB.又平面AA1B1B平面ABC，A1O平面ABC，A1OCO.以O为坐标原点，直线OC，OA，OA1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设ACABBCAA12，则C(，0,0)，A(0,1,0)，B(0，1,0)，A1(0,0，)设平面A1AC的法向量为n1(x1，

6、y1，z1)，则n1，n1，(，1,0)，(0，1，)，令y1，得x11，z11，即n1(1，1)设平面A1BC的法向量为n2(x2，y2，z2)，则n2，n2，(，1,0)，(0,1，)，令y2，得x21，z21，即n2(1，1)cosn1，n2，由题意可知，二面角AA1CB为锐角，其余弦值为.2. (2021福州市高三质检)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为正三角形，点D在棱BC上，且CD3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点 (1)证明：A1C平面DEF；(2)若A1CEF，求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值解析：(1)证明：如图，连接AB1交A1B于点H，设A1B交E

7、F于点K，连接DK，因为四边形ABB1A1为矩形，所以H为线段A1B的中点因为点E，F分别为棱AB，BB1的中点，所以点K为线段BH的中点，所以A1K3BK.又CD3BD，所以A1CDK.又A1C平面DEF，DK平面DEF，所以A1C平面DEF.(2)连接CE，EH，由(1)知，EHAA1，因为AA1平面ABC，所以EH平面ABC.因为ABC为正三角形，且点E为棱AB的中点，所以CEAB.故以点E为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.设AB4，AA1t(t0)，则A1(2，t,0)，A(2,0,0)，C(0,0，2)，E(0,0,0)，F，D

8、，所以(2，t,2)，.因为A1CEF，所以0，所以(2)(2)t200，所以t2，所以(2，0)，.设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则所以取x1，则n(1，)又(2,0,2)，设直线A1C1与平面DEF所成的角为，则sin |cosn，|，所以直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值为.C组创新应用练如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点将正方形ABCD沿着线段EF折起，使DFA60.设G为AF的中点(1)求证：DGEF；(2)求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；(3)设P，Q分别为线段DG，CF上的点，且PQ平面ABEF，求线段PQ的长度的最小值解析：(1)

9、证明：因为正方形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，所以EFFD，EFFA，又因为FDFAF，所以EF平面DFA.又因为DG平面DFA，所以DGEF.(2)因为DFA60，DFFA，AGGF，所以DFA为等边三角形，且DGFA.又因为DGEF，EFFAF，所以DG平面ABEF.设BE的中点为H，连接GH，则GA，GH，GD两两垂直，故以GA，GH，GD所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系Gxyz，如图，则G(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,4,0)，C(0,4，)，F(1,0,0)，所以(1,0,0)，(1,0，)，(2，4,0)设平面BCF的法向量为m(x，y，z)，由m0，m0，得令z2，得m(2，2)设直线GA与平面BCF所成的角为，则sin |cosm，|，即直线GA与平面BCF所成角的正弦值为.(3)由题意，可设P(0,0，k)(0k)，(01)，由(1,4，)，得(，4，)，所以Q(1,4，)，(1,4，k)由(2)得，(0,0，)为平面ABEF的一个法向量因为PQ平面ABEF，所以0，即k0.所以|，又因为17221172，所以当时，|min.所以当，k时，线段PQ的长度取得最小值，其最小值为.