2022届高考数学一轮复习核心素养测评第四章4.7正弦定理余弦定理的应用举例理含解析北师大版.doc

1、核心素养测评二十六正弦定理、余弦定理的应用举例(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得ABC=120,则A,C两地间的距离为()A.10 kmB.10 kmC.10 kmD.10 km【解析】选D.由余弦定理得,AC2=AB2+CB2-2ABCBcos120=102+202-21020=700.所以AC=10(km).2.甲船在岛的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向匀速航行,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是(

2、)A.小时 B.小时 C.小时 D.小时【解析】选A.假设经过x小时两船相距最近,甲乙分别行至C,D,如图所示:可知BC=10-4x,BD=6x,CBD=120,由余弦定理可得,CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD=(10-4x)2+36x2+2(10-4x)6x=28x2-20x+100,所以当x=时两船相距最近.3.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30,45,且A,B两点间的距离为60 m,则该建筑物的高度为()A.(30+30)mB.(30+15)mC.(15+30)mD.(15+15)m【解析】选A.在PAB中,PA

3、B=30,APB=15,AB=60 m,sin 15=sin(45-30)=sin 45cos 30-cos 45sin 30=.由正弦定理得PB=30(+)(m),所以建筑物的高度为PBsin 45=30(+)=(30+30)m.4.已知A船在灯塔C的北偏东85方向且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C的西偏北25方向且B到C的距离为 km,则A,B两船的距离为()A. kmB. kmC.2 kmD.3 km【解析】选A.画出图形如图所示,由题意可得ACB=(90-25)+85=150,又AC=2,BC=.在ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 150=13,所以

4、AB=,即A,B两船的距离为 km.5.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45,从点A沿北偏东30方向前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度是()A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m【解析】选A.设水柱高度是h,水柱底端为C,则在ABC中,BAC=60,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2h100cos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50(负值舍去),故水柱的高度是50 m

5、.6.如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D,测得BCD=15,BDC=30,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60,则塔高AB等于()A.5B.15C.5D.15【解析】选D.在BCD中,CBD=180-15-30=135.由正弦定理得=,所以BC=15.在RtABC中,AB=BCtanACB=15=15.7.长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则坡度值tan =世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解析】选A.由已知,在ABC中,AB=3.5 m,A

6、C=1.4 m,BC=2.8 m,且+ACB=.由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos =,所以sin =,所以tan =.二、填空题(每小题5分,共15分)8.一艘海轮从A出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A观察灯塔,其方向是东偏南20,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,则B,C两点间的距离是_海里.【解析】如图,由已知可得,BAC=30,ABC=105,AB=20, 从而ACB=45 .在ABC 中,由正弦定理,得BC=sin 30=

7、10.答案:109.(2018德州模拟)如图,某炮兵阵地位于A点,两观察所分别位于C,D两点.已知ACD为正三角形,且DC= km,当目标出现在点B时,测得CDB=45,BCD=75,则炮兵阵地与目标的距离是_.(保留1位小数)【解析】CBD=180-BCD-CDB=60.在BCD中,由正弦定理,得BD=.在ABD中,ADB=45+60=105,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos 105=3+2=5+2.所以AB=2.9(km).所以炮兵阵地与目标的距离约是2.9 km.答案:2.9 km10.海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发,海轮“奋斗号”在A处北偏东45的

8、方向,且与A相距10海里的C处,沿东偏南15的方向以每小时9海里的速度行驶,则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为_小时.世纪金榜导学号【解析】设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为x小时,如图,在ABC中,AC=10海里,AB=21x海里,BC=9x海里,ACB=120.由余弦定理得(21x)2=100+(9x)2-2109xcos 120,整理,得36x2-9x-10=0,解得x=或x=-(舍). 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为小时.答案:(15分钟35分)1.(5分)如图,要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两观测点,且在C

9、,D两点测得塔顶的仰角分别为45,30.在水平面上测得BCD=120,C,D两地相距600 m,则铁塔AB的高度是()A.120 mB.480 mC.240 mD.600 m【解析】选D.设AB=x,则BC=x,BD= x,在BCD中,由余弦定理知cos 120=-,解得x=600 m,(x=-300舍去).故铁塔AB的高度为600 m.2.(5分)如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角,在山坡的A处测得DAC=15,沿山坡前进50 m到达B处,又测得DBC=45,根据以上数据可得cos =_.【解析】由DAC=15,DBC=

10、45得BDA=30,DBA=135,BDC=90-(15+)-30=45-,由内角和定理可得DCB=180-(45-)-45=90+,根据正弦定理可得=,即DB=100sin 15=100sin (45-30)=25(-1),又=,即=,得到cos =-1.答案:-13.(5分)如图,勘探队员朝一座山行进,在前后A,B两处观察山顶C的仰角分别是30和45,两个观察点A,B之间的距离是100米,则此座山CD的高度为_米.【解析】设山高CD为x米,在RtBCD中,有BD=CD=x米,在RtACD中,有AC=2x米,AD=x米.而AB=AD-BD=(-1)x=100.解得:x=50+50.答案:(5

11、0+50)4.(10分)已知岛A南偏西38方向,距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?世纪金榜导学号【解析】如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC=0.5x海里,AC=5海里,由已知,BAC=180-38-22=120,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120,所以BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sinABC=,所以ABC=38,又BAD=38,所以BCAD,所以缉私艇

12、以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.5.(10分)已知在东西方向上有M,N两座小山,山顶各有一个发射塔A,B,塔顶A,B的海拔高度分别为AM=100 m和BN=200 m,一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30,该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为,且BQA=,经测量tan =2,求两发射塔顶A,B之间的距离.世纪金榜导学号【解析】在RtAMP中,APM=30,AM=100 m,所以PM=100 m.连接QM,在PQM中,QPM=60,又PQ=100 m,所以PQM为等边三角形,所以QM=100 m.在RtAMQ中,由AQ2=AM2+QM2得AQ=200 m.在RtBNQ中,tan =2,BN=200 m,所以BQ=100 m,cos =.在BQA中,BA2=BQ2+AQ2-2BQAQcos =(100)2,所以BA=100.所以两发射塔顶A,B之间的距离是100 m.