2022届高考数学基础总复习提升之专题突破详解 专题05 幂函数、指数函数、对数函数的性质（含解析）.doc

1、专题05 幂函数、指数函数、对数函数的性质一命题陷阱描述指数函数与对数函数是高中数学两个重要的基本函数，初学者往往不能深刻理解指数函数及对数函数的有关概念、图象、性质及应用.关于指数函数与对数函数的试题在命制时，主要有概念类、分类讨论、转化不等价、隐含条件、迷惑性等几类陷阱.其中：1.概念类陷阱，包括指数的运算性质找不到化简方向、指数函数的底数讨论，指数函数对数函数的定义中对底数的限制及对数对真数的限制； （1）指数幂的运算.注意几个运算公式的使用.（2）指数函数底数讨论. 当时函数是减函数，当时函数是增函数.（3）指数函数定义.函数必须严格具备形式的函数是指数函数.（4）对数的底数和真数,它

2、们都必须大于0，底数还要不等于1.2.隐含条件陷阱，对含有的式子，隐含着.3. 迷惑性陷阱，含有逻辑联结词.把任意和存在转化为求函数的最值问题或方程的有解问题.4.分类讨论陷阱，含参数对数函数的定义域值域为全体实数问题.在处理式要对参数进行讨论要做到不重不漏.5. 等价转化陷阱，指数函数与对数函数互为反函数问题，转化为数形结合问题.6.定义域为R与值域为R及特定定义域陷阱7.幂指对函数中的倒序求和二陷阱类型1.幂指对运算（运算马虎陷阱）例1.【答案】（1）-6；（2）.【解析】(1）原式 ;（2）原式 .【防陷阱措施】主要问题是记清公式，不要随意创造公式练习1设， ，下列命题汇总正确的是（ ）

3、A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】B练习2若， 且，则的值（ ）A. B. C. D. 不是常数【答案】C【解析】， ，故选C.练习3求值：（1）；（2）【答案】（1）（2）1【解析】（1）原式，（2）原式练习4化简下列代数式并求值：； .【答案】（1）（2）练习5计算：（1）；（2）【答案】(1)100；(2)-1.【解析】(1) 原式 (2) . 练习6计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）。 （2）练习7化简求值：（1）；（2）.【答案】（1）;（2）-1.【解析】（1）原式；（2）原式 .练习8计算：（1）；（2）已知，求的值.【答案】（

4、1）；（2）.试题解析：（1）原式= （2）由已知可得： 原式=2.利用性质比较大小（性质混淆陷阱）例2设， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【 防陷阱措施】本题主要考查指数函数的性质、函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.练习1已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】， 又指数函数是增函数故选A练习2若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】20=1，0=log1b=log3lo

5、g=1， log21=0，abc故选A练习3已知， ， ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得： ，则： .本题选择D选项.练习4若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D故选D.练习5已知， ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 因为，所以， 根据幂函数的性质，可得， 根据指数函数的性质，可得， 所以，故选D.练习6已知，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B练习7已知，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】又， ， ， ， 故选B练习8下列式子中，成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D故选D练习9三个数， ， 之间

6、的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】：0a=0.221，b=0，c=20.21，bac故选B练习10若，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】， 。故选C。练习11已知 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，所以，故选A。练习12已知则（ ）A. B C. D 【答案】A【解析】， 又故选：A练习13若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B练习14已知， ， ，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为， ， ，所以 ，故选A.3.三个函数的概念及定义域陷阱例3己知函数在上是减函数，则实数的取值范

7、围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,函数为减函数，要使函数在上是减函数，需满足 ，解得。实数的取值范围是。选B。【防陷阱措施】复合函数的单调性满足“同增异减”的性质，解答本题时要注意题目的隐含条件，即且，并由此得到函数为减函数，进一步可得。同时还应注意定义域的限制，对数的真数要满足大于零的条件，这一点在解题中很容易忽视。练习1.幂函数在为增函数，则的值为（ ）A. 1或3 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D练习2若函数为幂函数，且当时， 是增函数，则函数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数为幂函数，即解得.当时， ，在是减函数，不合题意。当时， ，在是增函

8、数，符合题意。所以。选D。练习3函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且， ，则的值（ ）A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断【答案】A【解析】函数f（x）=（m2-m-1）x4m+3是幂函数，对任意x1，x2（0，+），且x1x2，满足， a，bR，且a+b0，ab0f（a）+f（b）=a11+b110故选A练习4是幂函数，且在上是减函数，则实数（ ）A. 2 B. -1 C. 4 D. 2或-1【答案】A练习5已知函数的定义域为，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数的定义域为，且即且， 又则实数的取值范围是故选练习6已知函数 的图象如图所示

9、，则满足的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A练习7函数的单调递减区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设，由，得，函数在上递减， 在递增， 单调减区间是，故选B.4.与不等式的综合例4.已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有， 则的值为（ ）A. B. C. 1 D. 0【答案】A【解析】 因为函数是上的单调函数，且对任意实数，都有， 所以恒成立，且，即，解得，所以，所以，故选C.【防陷阱措施】：本题主要考查了函数解析式的求法和函数值的求解问题，其中解答中涉及到函数的恒成立问题的计算，函数解析式的应用等知识点的综合考查，解答中熟记实数指数幂和对数的运算时是解答

10、的关键，着重考查学生的运算、求解能力，试题比较基础，属于基础题.练习1.已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D故选D练习2.函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中均大于0，则的最小值为_【答案】【解析】函数的图象恒过定点A(-3,-1),则,即.练习3已知是任意实数，则关于的不等式的解集为_【答案】【解析】解得： ，所以不等式的解集为.练习4设函数，则满足的x的取值范围是_.【答案】 ，解得 当 时， ，解得 综上， 的取值范围是 故答案为5.幂指对的性质的应用例5. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_【答案】【防陷阱措施】复合函数的单调性

11、规则：若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数单调性相反，则它们的复合函数为减函数，即“同增异减”.练习1.已知定义在上的奇函数满足，又，且当时， 恒成立，则函数的零点的个数为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】 定义在奇函数满足： ，当时， 恒成立，在时函数是减函数，因为是奇函数，所以也是奇函数， 时，函数也是减函数，画出函数 与的草图，如图，由图可知 与的图象有三个交点，所以函数的零点的个数为 ，故选B.练习2.已知函数 满足对任意的实数都有 成立，则实数的取值范围为A. (0,1) B. C. D. 【答案】D【解析】由条件知，分段函

12、数 在R上单调递减，则 所以有 ，所以有，故选D练习3已知函数，若，且，则（ ）A. B. C. D. 随值变化【答案】A【解析】不妨设 ，则令 ，则 或 ；故 故故选A练习4.设曲线 (N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为，则的值为 ().A. B. 1 C. D. 1【答案】B练习5设，若， ，则的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】，则,所以0ln ln ln ,所以 ,又，lnb0,所以即故选A练习6.已知函数的图象关于轴对称.（）求函数的定义域；（）求实数的值；（）若函数在其定义域内有两个不同的零点,试求实数的取值范围【答案】（）.（）.（）【解析】

13、（）由计算得出，所以函数的定义域为.（）根据题意，可以知道为偶函数，所以，即 ，即，即在上恒成立，所以.点睛：本题以对数型函数为例，考查了函数的单调性和定义域，函数的奇偶性和函数零点定理，属于中档题；要使对数函数有意义需满足真数部分大于0，函数为偶函数可得在恒成立，当开口向上的二次函数在某个区间内有两个零点时，只需满足端点处函数值大于0，对称轴在区间之内即可.练习7已知函数 的图象过点。（1）求的值并求函数的值域；（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；（3）若函数， ，则是否存在实数，使得函数的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。【答案】（1），值域为（2）（3）（2）因

14、为关于的方程有实根，即方程有实根即函数与函数有交点，令，则函数的图象与直线有交点又5分任取，则，所以，所以所以 所以在R上是减函数。（或由复合函数判断为单调递减）因为，所以所以实数的取值范围是 （3）由题意知， 令，则 当时， ，所以当时， ，所以（舍去）综上，存在使得函数的最大值为0练习8.已知函数，实数且，满足，则的取值范围是_【答案】【解析】 画出函数的图象（如图所示），且，且,，。故所求范围为。答案： 点睛：本题借助于函数的图象进行解题，体现了数形结合在数学中的应用，解题时要注意画图时要准确，另外利用图形时要注意观察图象的特征，由此得到函数的性质，如在本题中由图象的对称性得到的， 等，

15、都成了解题的关键。6.定义域为R与值域为R及特定定义域陷阱例6.已知若，求函数的定义域；当时，函数有意义，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)当则要 解得即所以 的定义域为所以【防陷阱措施】：恒成立的问题常用方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（最值需同时取到） .练习1.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】令，则的值域必须包含区间当时，则当时，符合题意；当时，不符合题意；当时，解得，即实数的取值范

16、围是故答案选练习1已知，设成立； 成立. 如果“”为真，“”为假，求实数的取值范围.【答案】练习2若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】若函数在上单调递减则在上单调递增，且恒为正，由的图象开口向下，且以直线为对称轴则解得故答案为练习3.练习若函数的定义域是R, 则的取值范围是.【答案】7.幂指对函数中的倒序求和例7. 若，则=（ ）A. 1000 B. 600 C. 550 D. 500【答案】D【解析】 所以 .故选D.【防陷阱措施】注意这种题型利用对称性，找到常数，倒序求和练习1. 设函数.（1）解方程：；（2）令，求的值.（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立

17、，求实数的取值范围.【答案】（1）2（2）1008（3）【解析】（1）.（2）.因为所以（3）因为是实数集上的奇函数，所以.，在实数集上单调递增.由得，又因为是实数集上的奇函数，所以，,又因为在实数集上单调递增，所以,即对任意的都成立，即对任意的都成立，.练习设函数且，若，则的值等于_.【答案】三高考真题演练1.【2017北京，理5】已知函数，则（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】试题分析：，所以函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，

18、故选A.2.【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg30.48）（A）1033 （B）1053（C）1073 （D）1093【答案】D【解析】试题分析：设 ，两边取对数，所以，即最接近，故选D.3.【2016课标3理数】已知，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，故选A4. 【2015高考山东，理10】设函数则满足的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】C5. 【2015高考新课标2，理5】设函数,( )A3 B6

19、 C9 D12【答案】C【解析】由已知得，又，所以，故，故选C6.【2015高考天津，理7】已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为( )（A） （B） （C） （D） 【答案】C【解析】因为函数为偶函数，所以，即，所以所以，故选C.7.【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，则a，b，c的大小关系为（A）（B）（C）（D）【答案】 【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，从而是上的偶函数，且在上是增函数，又，则，所以即，所以，故选C8. 【2015高考浙江，理10】已知函数，则 ，的最小值是 【答案】，.【解析】，当时，当且仅当时，等号成立，当时，

20、当且仅当时，等号成立，故最小值为.9. 【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是 .【答案】【解析】，因此10. 【2016高考江苏卷】函数y=的定义域是 .【答案】【解析】试题分析：要使函数有意义，必须，即，故答案应填：，11. 【2016年高考北京理数】设函数.若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围是_.【答案】，.【解析】试题分析：如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极大值点，当时，因此的最大值是；由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，所求的范围是，故填：，12.【2015高考福建，理14】若函数 （

21、 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 【答案】【解析】当，故，要使得函数的值域为，只需（）的值域包含于，故，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是13. 【2015高考山东，理14】已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .【答案】 【解析】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以.14. 【2015高考浙江，理18】已知函数，记是在区间上的最大值.（1） 证明：当时，；（2）当，满足，求的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）.试题解析：（1）由，得对称轴为直线，由，得，故在上单调，当时，由，得，即，当时，由，得，即，综上，当时，；（2）由得，故，由，得，当，时，且在上的最大值为，即，的最大值为.