2022届高考数学理北师大版一轮复习训练：9-6 利用空间向量讨论平行与垂直 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析考点一利用空间向量证明空间的平行问题1.以下四组向量是平面, 的法向量,则能判断,平行的是()a=(1,2,1),b=(1,-2,3)a=(8,4,-6),b=(4,2,-3)a=(0,1,-1),b=(0,-3,3)a=(18,19,20),b=(1,-2,1)A.B.C.D.2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.不

2、能确定3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE,则M点的坐标为()A.(1,1,1) B.,1C.,1 D.,14.平面的法向量u=(x,1,-2),平面的法向量v=-1,y,已知,则x+y=_.【解析】1.选B.因为在中a=2b,所以ab,所以,-3a=b,所以,而a不平行于b,所以不平行于,所以只有能判断,平行.2.选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=a,所以M,N.所以=.又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以=(0,a,0).所以=0.所以.因为是平面B

3、B1C1C的法向量,且MN平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.3.选C.建系如图,则A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),设M(a,a,1),则=(a-,a-,1),可求出平面BDE的一个法向量n=(1,1,),因为AM平面BDE,所以n=0,可得a=,M的坐标为,1.4.因为,所以vu,所以=,所以所以x+y=.答案:1.证明线面平行的常用方法:(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面.(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行.(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.2.证明面面平行常用的方法:(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量

4、都平行于另一个平面.(2)证明两个平面的法向量平行.(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.秒杀绝招结合线面平行的性质定理解T3:设AC与BD相交于O点,连接OE,因为AM平面BDE,且AM平面ACEF,平面ACEF平面BDE=OE,所以AMEO,又O是正方形ABCD对角线的交点,所以M为线段EF的中点.在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(,1).由中点坐标公式,知点M的坐标为,1.考点二利用空间向量证明空间的垂直问题命题精解读1.考什么:(1)考查利用空间向量证明线面、面面垂直问题.(2)考查直观想象与逻辑推理的核心素养.2.怎么考:与空间图形中与垂直有关的定理结合考查利用空

5、间向量证明空间的垂直问题.3.新趋势:以柱、锥、台体为载体,与证明空间角综合命题.学霸好方法1.证明线面平行和垂直问题,可以用几何法,也可以用向量法.用向量法的关键在于构造向量,再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理.若能建立空间直角坐标系,其证法较为灵活方便.2.交汇问题: 一般先证明线面、面面垂直,再求线面角或二面角.证明线面垂直【典例】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.世纪金榜导学号证明:(1)AECD.(2)PD平面ABE.【证明】AB,AD,AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,

6、设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1).(1)因为ABC=60,所以ABC为正三角形,所以C,0,E,.设D(0,y,0),由ACCD,得 =0,即y=,则D0,0,所以=-,0.又 =,所以 =-+0=0,所以,即AECD.(2)方法一:因为P(0,0,1),所以=0,-1.又 =0+(-1)=0,所以,即PDAE.因为=(1,0,0),所以 =0.所以PDAB,又ABAE=A,所以PD平面AEB.方法二:=(1,0,0),=,设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则令y=2,则z=-,所以n=(0,2,-).因为=0,-1,显然=n.因为n,所以平面ABE,即PD平面ABE.向

7、量法证明线面垂直的常见思路有哪些?提示:(1)将线面垂直的判定定理用向量表示.(2)证明直线的方向向量与平面的法向量共线.证明面面垂直【典例】如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.世纪金榜导学号(1)证明:APBC.(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC平面BMC.【证明】(1)如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是=(0,3,4),=(-8,0

8、,0),所以=(0,3,4)(-8,0,0)=0,所以,即APBC.(2)由(1)知AP=5,又AM=3,且点M在线段AP上,所以=0,又=(-8,0,0),=(-4,5,0),=(-4,-5,0),所以=+=-4,-,则=(0,3,4)-4,-,=0,所以,即APBM,又根据(1)的结论知APBC,且BMBC=B,所以AP平面BMC,于是AM平面BMC.又AM平面AMC,故平面AMC平面BMC.向量法证明面面垂直的常见思路有哪些?提示:(1)利用面面垂直的判定定理,证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量.(2)证明两平面的法向量互相垂直.如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD

9、中,PA底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.求证:(1)EF平面PAB.(2)平面PAD平面PDC.【证明】以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),所以E,F,=,=(1,0,-1),=(0,2,-1),=(0,0,1),=(0,2,0),=(1,0,0),=(1,0,0).(1)因为=-,所以,即EFAB,又AB平面PAB,EF平面PAB,所以EF平面PAB.(2)因为=(0,0,1)(1,0,0)=0,=

10、(0,2,0)(1,0,0)=0,所以,即APDC,ADDC.又APAD=A,所以DC平面PAD.因为DC平面PDC,所以平面PAD平面PDC.1.如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.【证明】方法一:设平面A1BD内的任意一条直线的方向向量为m.由共面向量定理,则存在实数,使m=+.令=a,=b,=c,显然它们不共面,并且|a|=|b|=|c|=2,ab=ac=0,bc=2,以它们为空间的一个基底,则=a+c,=a+b,=a-c,m=+=+a+b+c,m=(a-c)+a+b+c=4+-2-4=0,故m,所以AB1平面A1BD.方法

11、二:如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为ABC为正三角形,所以AOBC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为原点,以,所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),=(-1,2,),=(-2,1,0).因为n,n,故令x=1,则y=2,z=-,故n=(1,2,-)为平面A1BD的一个法向量,而=(1,2,-),所以=n,所以n,故AB1平面A1BD.2.如图,已知AB平面

12、ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,AD=DE=2AB.求证:平面BCE平面CDE.【证明】设AD=DE=2AB=2a,以A为原点,分别以AC,AB所在直线为x轴,z轴,以过点A垂直于AC的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a).所以=(a,a,a),=(2a,0,-a),=(-a,a,0),=(0,0,-2a).设平面BCE的法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1=0,n1=0可得即令z1=2,可得n1=(1,-,2).设平面CDE的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n2=0,n

13、2=0可得即令y2=1,可得n2=(,1,0).因为n1n2=1+1(-)+20=0.所以n1n2,所以平面BCE平面CDE.考点三利用空间向量解决平行与垂直的探索性问题【典例】如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=(02).世纪金榜导学号(1)当=1时,证明:直线BC1平面EFPQ.(2)是否存在,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【解题导思】序号联想解题(1)由=1,即P,Q为中点,想到FPB且FP=BC1

14、,可利用向量共线解决,也可以直接用线面平行的判定定理.(2)由平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,想到若存在,会有平面EFPQ与平面PQMN垂直,求出两平面的法向量,利用向量垂直可求值.【解析】以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,),M(2,1,2),N(1,0,2),=(-2,0,2),=(-1,0,),=(1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,-2).(1)当=1时,=(-1,0,1),因为=(-2,0,2),所以=

15、2,即BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(,-,1).同理可得平面PQMN的一个法向量为m=(-2,2-,1).若存在,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则mn=(-2,2-,1)(,-,1)=0,即(-2)-(2-)+1=0,解得=1.故存在=1,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:一种是根据条件作出判断,再进一步论证;另一种是利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在

16、点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.如图,四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,PB与底面的夹角为45,底面ABCD为直角梯形,ABC=BAD=90,PA=BC=AD=1.(1)求证:平面PAC平面PCD.(2)在棱PD上是否存在一点E,使CE平面PAB?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为PA平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为PBA=45,所以AB=1,由ABC=BAD=90,易得CD=AC=,由勾股定理逆定理得ACCD.又因为PACD,PAAC=A,所以CD平面PAC,CD平面PCD,所以平面PAC平面PCD.(2)分别以AB,AD,AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),设E(0,y,z),则=(0,y,z-1),=(0,2,-1),因为与共线,所以y(-1)-2(z-1)=0,因为=(0,2,0)是平面PAB的法向量,又=(-1,y-1,z),CE平面PAB.所以(-1,y-1,z)(0,2,0)=0,所以y=1.将y=1代入,得z=.所以E是PD的中点,所以存在E点使CE平面PAB,此时E为PD的中点.关闭Word文档返回原板块