新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修二学案：第四章 4-4 数学归纳法 WORD版含答案.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。44*数学归纳法必备知识自主学习导思1.数学归纳法证题的原理是什么？2数学归纳法证题的步骤是什么？数学归纳法(1)概念：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法(2)证明形式：记P(n)是一个关于正整数n的命题条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)(kN*，kn0)为真，则P(k1)也为真结论：P(n)为真(1)验证的第一个值n0一定是1吗？提示：不一定，如

2、证明“凸n边形对角线的条数f(n)”时，第一步应验证n3是否成立(2)在第二步证明中，必须从归纳假设用综合法证明吗？提示：不是，在归纳递推中，可以应用综合法、分析法、反证法、放缩法等各种证明方法1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(2)不管是等式还是不等式，用数学归纳法证明时由nk到nk1时，项数都增加了一项()(3)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()提示：(1)也可以用其他方法证明(2)有的增加了不止一项(3)观察左边的式子可知有n3项，所以验证n1时，左边式子应为122223

3、.2用数学归纳法证明等式135(2n1)n2(nN*)的过程中，第二步假设nk(kN*)时等式成立，则当nk1时应得到()A.135(2k1)k2B.135(2k1)(k1)2C.135(2k1)(k2)2D.135(2k1)(k3)2【解析】选B.由数学归纳法知第二步假设nk(kN*)时等式成立，则当nk1时应得到135(2k1)(k1)2.3用数学归纳法证明：(n2)(n3)(2n2)2n113(2n1)，时，从“nk(kN*)到nk1”时，左边应增添的代数式为_【解析】nk(kN*)时，左边(k2)(k3)(k4)(2k2)，当nk1时，左边(k3)(k4)(2k2)(2k3)(2k4)

4、，所以需要增乘的式子为2(2k3).答案：2(2k3)关键能力合作学习类型一数学归纳法中的增项问题(数学运算、逻辑推理)1用数学归纳法证明1.【解析】(1)当n1时，左边，右边，不等式成立；(2)假设当nk时，原不等式成立，即，当nk1时，因为0，所以.即，所以，当nk1时，不等式也成立根据(1)和(2)可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立用数学归纳法证明等式或不等式问题的四个关键点用数学归纳法证明：132333n32，nN*.【解析】当n1时，左边1，右边21，等式成立假设当nk时等式成立，即132333k32.那么当nk1时，132333k3(k1)32(k1)3(k1)2(k1

5、)22，等式也成立根据和，可知132333n32对任何nN*都成立原等式得证【补偿训练】证明：1.【解析】当n1时，1成立，假设nk(kN*，k1)时，不等式1成立，那么nk1时，1，因为，所以1，即nk1时，该不等式也成立，综上，不等式1.【拓展延伸】整除问题【典例】(2021上海高二检测)用数学归纳法证明：11n1122n1能被133整除.【解析】当n1时，11n1122n111212133能被133整除，所以n1时结论成立，假设当nk时，11k1122k1能被133整除，那么当nk1时，11k2122k111k111122k112211k111122k111122k111122k1122

6、11133122k1.由归纳假设可知11133122k1能被133整除，即11k2122k1能被133整除所以nk1时结论也成立，综上，由得，11n1122n1能被133整除【拓展训练】1用数学归纳法证明：对任意正整数n，4n15n1能被9整除【解析】(1)当n1时，4n15n118，能被9整除，故当n1时4n15n1能被9整除(2)假设当nk(kN*)时，命题成立，即4k15k1能被9整除，则当nk1时，4k115(k1)149(5k2)也能被9整除综合(1)(2)可得，对任意正整数n，4n15n1能被9整除2求证：xnnan1x(n1)an能被(xa)2整除.【解析】当n2时，原式x22a

7、xa22，能被(xa)2整除；当nk(kN*，k2)时，假设xkkak1xak，能被(xa)2整除，当nk1时，xk1(k1)akxkak1xkak1x22kakxkak1x(xa)2kak1，xkkak1x(k1)ak，(xa)2kak1均可被(xa)2整除，所以当nk1时，命题成立综上：由知xnnan1x(n1)an能被(xa)2整除类型三归纳、猜想、证明(数学运算、逻辑推理)【典例】设数列的前n项和为Sn，且对任意的正整数n都满足2anSn.(1)求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的Sn的表达式的正确性【思路导引】(1)n1时，可求出S1，n2时

8、，利用anSnSn1可得到关于Sn的递推关系，即可求出S2，S3的值，进而猜想出Sn的表达式；(2)根据数学归纳法的步骤证明即可【解析】(1)当n1时，2S，所以S1，当n2时，2Sn，所以Sn，所以S2，S3，猜想Sn，nN*.(2)下面用数学归纳法证明：当n1时，S1，猜想正确；假设nk(kN*)时，猜想正确，即Sk，那么当nk1时，可得Sk1，即nk1时，猜想也成立综上可知，对任意的正整数n，Sn都成立1“归纳猜想证明”的解题步骤2“归纳猜想证明”解决的主要问题(1)已知数列的递推公式，求通项公式或前n项和(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在(3)

9、给出一些简单命题(n1，2，3)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题提醒：计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明1(2021海口高二检测)已知数列的前n项和为Sn，满足Sn2an(n2)，a1，则Sn_【解析】因为当n2时，有anSnSn1，因此由Sn2an，可得Sn2SnSn1，化简得：Sn，因为S1a1，所以S2，S3，由此猜想数列的通项公式为：Sn，现用数学归纳法证明：当n1时，S1，显然成立；假设当nk(kN*)时成立，即Sk，当nk1时，Sk1，

10、综上所述：Sn.答案：2已知数列的前n项和为Sn，a214，且anSn2n1.(1)求，；(2)由(1)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明【解析】(1)因为anSn2n1，当n1时，a1S1S11，解得S12，即有1；当n2时，a2S2S1S2214，解得S216，则4；当n3时，a3S3S2S322，解得S372，则9；(2)由(1)猜想可得数列的通项公式为n2.下面运用数学归纳法证明当n1时，由(1)可得1成立；假设nk，k2成立，当nk1时，ak1Sk1SkSk12k11，即有Sk1Sk2k2kk22k2k，则Sk12k，当k1时，上式显然成立；当k1时，Sk1222k22k1，即2

11、，则当nk1时，结论也成立由可得对一切nN*，n2成立课堂检测素养达标1用数学归纳法证明等式1aa2an1时，当n1时，左边等于()A1 B1aC1aa2 Da2【解析】选C.在验证n1时，令n1代入左边的代数式，得到左边1aa111aa2.2用数学归纳法证明135nnn，nN*成立那么，“当n1时，命题成立”是“对nN*时，命题成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选B.“当n1时，命题成立”不能推出“对nN*时，命题成立”；“对nN*时，命题成立”可以推出“当n1时，命题成立”，所以“当n1时，命题成立”是“对nN*时，命题成立”的必要不充分条件3对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，所以nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确【解析】选D.在nk1时，没有应用nk时的归纳假设4用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，当nk1时，为了使用假设，应将5k12k1变形为()A45k2kB235kCD532k【解析】选D.5k12k15k52k2552k22k532k.关闭Word文档返回原板块