新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修第一册学案：2-5-2　圆与圆的位置关系 WORD版含解析.doc

1、2.5.2圆与圆的位置关系新课程标准解读核心素养1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系逻辑推理、直观想象2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想直观想象、数学运算观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？问题(1)圆与圆之间有几种位置关系？(2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？知识点圆与圆的位置关系1种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含2判定方法(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系dr1

2、r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2y2D1xE1yF10(DE4F10)，C2：x2y2D2xE2yF20(DE4F20)，联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含1当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0.2当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线

3、垂直于两圆的公切线1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(4)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()答案：(1)(2)(3)(4)2圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切B相交C外切 D相离解析：选B两圆的圆心分别为(2，0)，(2，1)，半径分别为r2，R3，两圆的圆

4、心距离为，则RrRr，所以两圆相交3已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A，B两点，则直线AB的方程是_解析：圆的方程(x1)2(y3)220可化为x2y22x6y10.又x2y210，两式相减得2x6y0，即x3y0.答案：x3y0圆与圆位置关系的判断例1(链接教科书第96页例5)已知两圆C1：x2y24x4y20，C2：x2y22x8y80，判断圆C1与圆C2的位置关系解法一(几何法)：把圆C1的方程化为标准方程，得(x2)2(y2)210.圆C1的圆心坐标为(2，2)，半径r1.把圆C2的方程化为标准方程，得(x1)2(y4)225.圆C2的圆心坐标为(1，4)，半径r2

5、5.圆C1和圆C2的圆心距d 3，又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1r25，两半径长之差是r2r15.而535，即r2r1dr1r2，所以两圆的位置关系是相交法二(代数法)：将两圆的方程联立得到方程组由得x2y10，由得x2y1，把此式代入，并整理得y210，所以y11，y21，代入x2y10得x13，x21.所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(3，1)，(1，1)，即两圆的位置关系是相交判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法；(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解

6、方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系 跟踪训练当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交、相切、相离？解：将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k.圆C1的圆心为C1(2，3)，半径r11，圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2(k50)，从而|C1C2|5.当15，即k34时，两圆外切当|1|5，即6，即k14时，两圆内切当|1|51，即k(14，34)时，两圆相交当15或|1|5，即k(，14)(34，50)时，两圆相离两圆相切问题例2已知以C(4，3)为圆心的圆与圆O：x2y21相切，

7、则圆C的方程是_解析设圆C的半径为r，又圆心距d5，当圆C与圆O外切时，r15，r4，当圆C与圆O内切时，r15，r6，圆C的方程为(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)236.答案(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)236处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论；(2)转化思路，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时) 跟踪训练若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m_解析：C2：x2y26x8ym0化为(x3)2(y4)

8、225m.C1，C2两圆的圆心分别为(0，0)，(3，4)，两圆圆心距d5，又两圆半径分别为1，则dr1r2，即51，解得m9.答案：9与两圆相交有关的问题例3求经过两圆x2y26x40和x2y26y280的交点且圆心在直线xy40上的圆的方程解法一：解方程组得两圆的交点A(1，3)，B(6，2)设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线xy40上，故ba4.则有 ，解得a，故圆心为，半径为 .故圆的方程为，即x2y2x7y320.法二： 圆x2y26y280的圆心(0，3)不在直线xy40上，故可设所求圆的方程为x2y26x4(x2y26y28)0(1)，其圆心为，代入xy40，求得7.故所

9、求圆的方程为x2y2x7y320.1圆系方程一般地过圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆的方程可设为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)，然后再由其他条件求出，即可得圆的方程2两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.3公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长；(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形

10、，根据勾股定理求解 跟踪训练求两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80的公共弦所在直线的方程及公共弦长解：联立两圆的方程得方程组两式相减得x2y40，此为两圆公共弦所在直线的方程法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或所以|AB|2，即公共弦长为2.法二：由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圆心坐标为(1，5)，半径r5，圆心到直线x2y40的距离为d3.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2d2l2，即50(3)2l2，解得l，故公共弦长2l2.与圆有关的探究性问题(链接教科书第99页习题14题)如图，圆x2y28内有一点P0(1，2)，AB为过点

11、P0且倾斜角为的弦(1)当135时，求AB的长；(2)是否存在弦AB被点P0平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由问题探究此题目为探究性问题，属探究题存在类型范畴，解决这类问题一般思路：首先假设所探究的问题存在，在这个假设条件下进行推理论证，如果能得到一个合情合理的推理结果，就肯定假设正确如果得到一个矛盾结论，就应否定假设，对问题作出反面回答迁移应用1请解答上述问题解：(1)直线AB的斜率为ktan 1351，直线AB的方程为y2(x1)，即xy10.圆心O(0，0)到直线AB的距离d，弦长|AB|22 .(2)假设存在弦AB被点P0平分，P0为弦AB的中点，又|OA|OB|r

12、，OP0AB.又k2，kAB.直线AB的方程为y2(x1)，即x2y50.由以上求解可知，存在被P0点平分的弦AB，此弦所在直线方程为x2y50.2已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，圆C与直线3x4y70相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程；(2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由解：(1)设圆C的标准方程为(xa)2y2r2(a0)，由题意知解得或又因为Sr213，所以a1，r2，

13、所以圆C的标准方程为(x1)2y24.(2)不存在这样的直线l.理由如下：当斜率不存在时，直线l为x0，不满足题意当斜率存在时，设直线l：ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(1k2)x2(6k2)x60，因为l与圆C相交于不同的两点，所以(6k2)224(1k2)12k224k200，解得k1或k1.x1x2，y1y2k(x1x2)6，(x1x2，y1y2)，(1，3)假设，则3(x1x2)y1y2，所以3，解得k，所以假设不成立不存在这样的直线l.1圆O1：x2y24y30和圆O2：x2y216y0的位置关系是()A外离B相交C相切 D内含解析：选D因为r11，r28，|O1O2|6，则|O1O2|r2r1.所以两圆内含2求与圆(x2)2(y1)24内切于点A(4，1)且半径为1的圆的方程解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则1.若两圆内切，则有|21|1，联立，解得a3，b1，所以，所求圆的方程为(x3)2(y1)21.