新教材2021-2022学年北师大版数学必修第一册学案：5-1-2　利用二分法求方程的近似解 WORD版含答案.doc

1、1.2利用二分法求方程的近似解新课程标准解读核心素养探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程的近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性数学抽象、直观想象、数学运算电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”例如参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”参赛者又猜50元，主持人说“低了”参赛者再猜80元，主持人说“低了”这样一直猜下去，直到猜中为止问题(1)我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？(2)这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？知识点一二分法1满足精度的近似解设是方程f(x)0的一个

2、解，给定正数，若x0满足|x0|，就称x0是满足精度的近似解2二分法对于一般的函数yf(x)，xa，b，若函数yf(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)f(b)B|x1x2|Cx1x2 Dx2x1答案：B2用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算得f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_答案：(0，0.5)f(0.25)二分法概念的理解例1(1)下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是()(2)用二分法求方程2x3x70在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x02，那么下一个有根的区间是_解析(1)根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不

3、能用二分法求函数零点，故选D.(2)设f(x)2x3x7，f(1)2370，f(2)30，f(x)零点所在的区间为(1，2)，下一个有根的区间是(1，2)答案(1)D(2)(1，2)二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用 跟踪训练在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是2，4，则第三次所取的区间可能是()A1，4B2，1C. D.解析：选D第一次所取的区间是2，4，第二次所取的区间可能为2，1，1，4，第三次所取的区间可能为

4、，.用二分法求方程的近似解例2(链接教科书第146页例4)求方程ln x2x的近似解(精确度为0.1)解分别画出函数yln x和y2x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程ln x2x的解由函数yln x与y2x的图象可以发现，方程ln x2x有唯一解，且这个解在区间(1，2)内设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点即方程ln x2x的解，记为x0，则有：f(1)0x0(1，2)；f(1.5)0x0(1.5，2)；f(1.5)0x0(1.5，1.75)；f(1.5)0x0(1.5，1.625)；f(1.5)0x0(1.5，1.562 5)因为|

5、1.562 51.5|0.062 50.1，所以方程ln x2x的近似解可取为1.562 5.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间m，n(一般采用估计值的方法完成)；(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值 跟踪训练用二分法求2xx4在1，2内的近似解(精确度为0.2)参考数据如下表：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解：令f(x)2xx4

6、，则f(1)21410.用二分法逐次计算，列表如下：区间精确度区间中点值xnf(xn)的值及符号(1，2)|21|1x11.5f(x1)0.330(1，1.5)|1.51|0.5x21.25f(x2)0.370(1.25，1.5)|1.51.25|0.25x31.375f(x3)0.0350|1.3751.5|0.1250.2，2xx4在1，2内的近似解可取为1.375.二分法的实际应用举例典例乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的乒乓球是两个半圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶水的气味乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求

7、运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神很有好处因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同你能尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？用一架天平，限称b次，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重问题探究1当a12，b3时，该如何称？提示：第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：(1)若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放上天平一

8、看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”(2)若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边看天平，有三种可能若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(

9、左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重)显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重2若“坏乒乓球偏轻”，当a26时，求b的最大值提示：将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在

10、天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”迁移应用将“a个乒乓球”改为“从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点”，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？解：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中，然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中，最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在故一般最多只需检查3个接点1以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()解析：选

11、A能够利用二分法求近似值的零点，其两则的函数值必须异号，故选A.2用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()A|ab|0.1B|ab|0.001 D|ab|0.001解析：选B据二分法的步骤知当区间长度|ba|小于精确度时，便可结束计算3用二分法研究函数f(x)x32x1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为()A(1，2) B(1.75，2)C(1.5，2) D(1，1.5)解析：选C已知函数f(x)x32x1，因为f(1)20，f(1.5)0，所以下一个有解区间是(1.5，2)4若函数f(x)x3x22x2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如表：x11.51.251.3751.437 51.406 25f(x)20.6250.9840.2600.1620.054求方程x3x22x20的一个近似解(精确度为0.04)解：由表格可知函数f(x)x3x22x2的零点在区间(1.406 25，1.437 5)之间，因为|1.406 251.437 5|0.031 250.04.所以x0可以是1.406 25，1.437 5之间的任意一个数，故取x01.406 25.