新教材2021-2022学年北师大版数学必修第一册学案：第八章 数学建模活动（一） WORD版含答案.doc

1、新课程标准解读核心素养收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义数学建模、数据分析、数学运算数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参

2、赛校数、队数占到相当大的比例可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的问题你知道什么是数学建模吗？内容概述数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动数学建模数学建模的基本过程如下：数学建模活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过

3、自主探索、合作研究论证数学结论实例探究牙膏价格与重量关系的数学建模选题在超市购物时，我们注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如某品牌牙膏50 g装的每支1.50元，120 g 装的每支3.00元我们可以通过单位商品价格关于商品重量的函数来分析大包装便宜还是小包装便宜开题1.分析问题商品价格是由成本决定的，成本可分为生产成本、包装成本和其他成本生产成本与重量W成正比，包装成本与表面积成正比，其他成本与W无关单位重量商品价格c.牙膏可以近似为圆柱体来思考2模型假设设如下变量：商品价格为C，商品重量为W，单位重量价格为c，商品包装面积为S，生产成本为C1，包装成本为C2，其他成本为C3.3研究的大体

4、思路、方法与步骤(1)分析商品价格C与商品重量W的关系价格由生产成本、包装和其他成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素；(2)求单位重量价格c与W的关系，可以用简图分析最后结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议4研究此问题的意义实际生活中，经常会遇到大、小包装的问题，如洗衣粉、洗发水、纯净水等在选择购买时，可依据下面的数学模型做选择做题1.模型建立与求解商品价格由成本决定，商品成本生产成本包装成本其他成本，故CC1C2C3，生产成本与重量W成正比，设C1k1W(k1为大于0的常数)，包装成本与表面积S成正比，商品包装包括牙膏包装和牙膏盒包装，牙膏包装

5、与牙膏表面积有关，牙膏盒为长方体，设牙膏盒包装面积S2，牙膏可以近似为无底的圆柱体，设牙膏包装面积S1，即圆柱体侧面积设此圆柱体的半径为R，高为L，S12RL，由题意，我们需要将包装面积与商品重量联系在一起，故我们将牙膏体积V近似为圆柱体积的一半，则VR2L，设牙膏密度为，则V，一般地，为了美观，牙膏的半径与长度有一定比例关系，在这里：设Rk2L(k2为大于0的常数)，根据，可以得出半径R，由得出，S1，可以把牙膏盒看成一个长为L，宽高都为2R的长方体，故牙膏盒包装面积S28R28RL，再根据求得S28，则包装成本C2k38k4，k3，k4为大于0的常数，是包装成本与包装面积的比值其他成本C3

6、为固定常数，与W，S无关即CC1C2C3k1Wk38k4C3.由于k1，k2，k3，k4，都是大于零的常数，所以商品价格关于商品重量的函数是单调增函数，所以商品重量增大，商品价格增大对于单位重量价格c与商品重量W的关系，我们已知c，由于k1，k2，k3，k4，都是大于零的常数，所以包装成本与商品重量成正比，可以简化为C2k5W(k5为大于0的常数)，所以ck1k5C3.2模型解释cW的简图如图所示：由函数解析式及图象可知单位商品价格关于商品重量的函数是一个减函数，即随着W的增加，c的减少幅度减少，当W很大时，则c不再减少，所以说，不要盲目追求大包装商品结题对于商家，一般来说，小包装商品的利润较

7、高，但成本也相应的增多，所以应该包装大小适宜，在适当情况下，可以尽量生产小包装的商品；对于顾客，在用得完的情况下，尽量买较大的包装，可以节省包装的费用，但是也不能盲目地认为越大包装的商品就越便宜，可能会有其他消耗，如用不完的情况数学建模参考选题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法、数学模型解题的过程在构建模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据，再进行分析、建模下面摘录一些中学生曾经研究过的问题供参考，同学们可根据情况组织团队进行建模活动生活方面的问题1未成年男性体重(kg)与身高(cm)关系；2太阳能电池板发电设备优化；3区域养老院规划；4老

8、年人免费乘公交车的社会成本社会方面的问题1对小区学生择校问题的研究；2如何使防护林达到最佳防护效果；3保安巡更路线方案及软件流程设计；4高峰期学校门前十字路口红绿灯周期时间的设计自然方面的问题1公路上雪的融化速度；2水草治理问题以未成年男性体重(kg)与身高(cm)关系为例数学建模建立函数模型解决实际问题1.课题名称关于未成年男性体重(kg)与身高(cm)关系的函数建模2.课题组成员及分工成员：指导教师和全班同学；分工：指导教师负责选课题方向，并对所得模型进行评价全班分成4个小组，每个小组分别独立完成课题研究3.选题的意义通过这一个课题使学生熟悉函数建模的一般过程，并能培养同学们的团队协作的意

9、识和勇于探索的精神通过整个建模流程的参与，让同学们认识到很多实际问题最终可以用函数模型来刻画，对未成年男性的身高与体重的关系有更深入的理解4.研究计划(包括对选题的分析，解决问题的思路等)关于身高与体重的话题可以说是我们身边经常聊到的，但如何用函数来刻画这两者之间的内在的规律性就需要我们进行理性分析，为了得到较为理想的函数模型，首先要对适宜群体进行数据采集，然后结合散点图对数据的变化趋势进行分析，再选用我们已学过的能拟合这一变化规律的函数模型，最后对获得的模型进行验证，并能解决有关未成年男性身高和体重的定量分析等问题5.研究过程(收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难

10、点及解决方案等)(1)收集数据表中是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：身高(cm)60708090100110120130140150160170体重(kg)6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05说明：初始阶段每个小组单独去采集数据，最后在教师指导下对身高以10 cm为间隔进行统计并且数据要有代表性，以方便计算和整体规律的体现根据表中提供的数据，要求我们用已经学过的一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系，并求出这个函数的解析式(2)分析数据根据图表我们可以知道，本题属于拟合问题

11、但体重y关于身高x的函数关系，没有现成的函数模型，为此可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数模型根据表中提供的数据可得如下散点图：(3)建立模型观察散点图的分布情况，并结合已学过的基本初等函数的图象与性质特点，可选择指数函数模型设函数关系式为yaebx，其中a，b满足a(0，)，b(0，)(可通过matlab软件进行计算)，可得出ae0.695 2，b0.019 7.教师点评：如果再换一组数据，得出结果可能不完全相同，但只要能基本吻合数据即可代入函数式得ye0.695 20.019 7x.考虑到考察对象为未成年男性，因此可限定50 cmx180 cm.因此所

12、得函数模型为ye0.695 20.019 7x(50x180).(4)检验模型将已知数据代入上式或画出函数模型对应的图象，可以发现，这个函数模型可以反映表中数据的变化规律这说明可以用该模型来反映未成年男性体重y(kg)随身高x(cm)的变化规律续表(5)求解问题根据模型，估计身高为176 cm的未成年男子的对应体重将x176代入函数模型ye0.695 20.019 7x，50x180.将ye0.695 20.019 7176，结合信息技术得y64.23(kg).因此，身高为176 cm的未成年男子的体重大约为64.23 kg.6.研究结果与评价(1)通过建模我们对未成年男性的体重与身高的关系有

13、了较为理性的认识，未成年男性的体重与身高可以近似用我们学过的指数函数模型yaebx来刻画，再代入数据并结合信息技术(数学计算软件)求出参数a，b，进而得出能拟合这一变化规律的函数模型为ye0.695 20.019 7x，50x180.其中，y代表体重(kg)，x代表身高(cm).(2)该模型优缺点分析优点：此模型运用拟合的思想，能够比较科学地反映出身高与体重之间的关系，是衡量体重的比较合适的方法根据我们的计算、验证且正确率较高缺点：该模型忽略了衡量体重的其他因素，较为理想化，并且得出的公式不便于实际运用，计算较复杂建议：影响体重的因素较多，应综合考虑如果可能给出一些便于比较的范围或者在运用模型的同时给出一些常用指数的对应值表则更好7.收获与体会8.对此研究的评价(由评价小组或老师填写)8