新教材2021-2022学年高中人教A版数学必修第一册配套学案：第三章 3-2-1 第2课时 函数的最大值、最小值 WORD版含答案.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时函数的最大值、最小值某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为关于月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)【问题1】要求公司所获利润最大，需要研究函数的哪个性质？【问题2】对于函数R(x)，要求函数的最值需要用到什么知识？【问题3】我们学习过哪些求二次函数最值的方法？函数的最大值和最小值定义：前提

2、设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M(m)条件(1)xI，都有f(x)M(2)x0I，使得fM(1)xI，都有f(x)m(2)x0I，使得fm结论称M是函数yf(x)的最大值称m是函数yf(x)的最小值1本质：函数图象上最高点的纵坐标即为最大值；最低点的纵坐标即为最小值2混淆：函数的最值需要同时满足(1)(2)，特别是(2)容易忽视，并不是说函数恒小于某个数，该数就是函数的最大值函数f(x)x2的定义域为R，存在实数1，xR，都有f(x)1.那么1是函数f(x)x2的最大值吗？为什么？提示：不是因为不存在x0R，使得fx1.1任何函数都有最大值、最小值吗？2如果函数有最大值，那么最大值

3、是唯一的吗？3如果一个函数f(x)是区间上的减函数，那么函数的最大值是f还是f？提示：1.不一定；2.不一定唯一；3.f.观察教材中烟花距离地面的高度h与时间t的函数h4.9t214.7t18的图象3.24，函数h在区间上的值域为_提示：因为函数h在区间上单调递减，所以最大值为h27.8，最小值为h18，故函数h在区间上的值域为.答案：18，27.81函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为()Af，f Bf(0)，fCf，f(0) Df(0)，f(3)【解析】选B.观察函数图象， f(x)最大值、最小值分别为f(0), f.2下列说法正确的是()A若函数f(x)的值域为a，b，则f(

4、x)mina，f(x)maxbB若f(x)mina，f(x)maxb则函数f(x)的值域为a，bC若f(x)mina，直线ya不一定与f(x)的图象有交点D若f(x)mina，直线ya一定与f(x)的图象有且仅有一个交点【解析】选A.值域为a，b，则最小的函数值即f(x)mina，最大的函数值即f(x)maxb，A对f(x)mina，f(x)maxb，区间a，b上的某些元素可能不是函数值，因而a，b不一定是值域，B错若f(x)mina，由定义知一定存在x0使f(x0)a，即f(x)与直线ya一定有交点，但不一定唯一，C，D都错基础类型一函数最值的实际应用(数学运算)【典例】某公司在甲乙两地同时

5、销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1x221x和L22x(销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，那么当该公司在甲、乙两地各销售多少时，能获得最大利润？最大的利润是多少？【解析】设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15x)台，公司总获利为Lx221x2(15x)x219x3030，所以当x9或10时，L最大为120万元即该公式在甲地销售9台，乙地销售10台时，利润最大，最大利润为120万元关于实际问题的最值问题(1)实际问题中的最值问题往往与一元二次函数的最值相关，用配方法或公式求最值；(2)要注意实际问题中变量的实际意义，如本例中的自变量xN*.如图，某地要修建一个圆形的喷水池

6、，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h(x)x22x，x，则水流喷出的高度h的最大值是_m.【解析】由函数h(x)x22x，x的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点此时函数取得最大值对于函数h(x)x22x，x，若x1函数有最大值h(x)max1221(m).于是水流喷出的最高高度是 m.答案：基础类型二利用单调性求最值(逻辑推理)【典例】已知函数f(x).求函数f(x)在区间1，5上的最值【解析】x1，x21，5，且x1x2，则f(x

7、1)f(x2).因为1x1x20，且(2x11)(2x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间1，5上单调递减因此，函数f(x)在区间1，5的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)3，最小值为f(5).【备选例题】 设函数f(x)2.求函数f(x)在区间2，5上的最大值与最小值【解析】x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为0x1x2，所以x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，)上单调递增所以f(x)maxf(5)，f(x)minf(2).利用单调性求函数

8、的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性(2)利用单调性求出最大(小)值微提醒：求最值的区间应是连续的区间，否则无法用单调性求最值已知函数f(x).求函数f(x)在区间2，9上的最大值与最小值【解析】x1，x22，9，且x1x2，f(x1)f(x2).因为x1x20，(x11)(x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以函数f(x)在区间2，9上单调递增故函数f(x)在区间2，9上的最大值为f(9)，最小值为f(2).综合类型一元二次函数的最值(数学运算)不含参数的最值问题函数 f(x)x24x6，x0，5的值域为_函数f(x)x24x6，x0，5的值域为_【解

9、析】f(x)x24x6210，因为22时，g(x)ming44m154m11；当m1时g(x)maxg(0)15.综上所述，g(x)max含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图象开口向上、对称轴为xm为例，区间为，则有(1)最小值：f(x)min；(2)最大值：f(x)max.当开口向下时，可用类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系创新拓展“对勾”函数的值域(数学运算)【典例】函数f(x)x的值域为_【解析】函数f(x)x的定义域为.当x0时，f(x)x22，当且仅当x，x时等号成立；当x0)的单调性及值域函数图象如图所示，则函数yx的单调增区间是(，和，).单调减区间是(，0)和(0，).值域为.创新题型恒成立问题(数学运算)【典例】设函数f(x)x2xm.若对于x，f(x)m4恒成立，求m的取值范围【解析】由题意，当x时，x2x40恒成立，即x时，mx1恒成立，由基本不等式得x1213，当且仅当x2时，等号成立，所以m0时，2a1(a1)2，即a2；当a0时，a1(2a1)2，即a2.关闭Word文档返回原板块