2023届高考数学一轮复习 单元双优测评卷——第二章 直线和圆的方程A卷（含解析）.docx

1、第二章 直线和圆的方程A卷 基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）ABCD2已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）ABCD3已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ）ABCD42020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的国旗制法说明中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大

2、星的中心点为原点，建立直角坐标系，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）ABCD5已知圆：，直线：，若在直线上任取一点作圆的切线，切点分别为，则最小时，原点到直线的距离为（ ）ABCD6直线被圆所截得的弦长为，则（ ）ABCD7已知点，与直线，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ）A或B或CD8已知直线l与单位圆O相交于，两点，且圆心O到l的距离为，则的取值范围是（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知圆与圆有且仅有

3、两条公共切线，则实数的取值可以是（ ）ABCD10一条斜率不为0的直线，令，则直线l的方程可表示为.现光线沿直线l射到x轴上的点，反射后射到y轴上的点，再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同，则下列结论正确的是（ ）A BC D11设，为正数，若直线被圆截得弦长为4，则（ ）ABCD12下列说法正确的是（ ）A直线必过定点B直线在轴上的截距为C直线的倾斜角为60D过点且垂直于直线的直线方程为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13设点P是直线上的动点，过点P引圆的切线（切点为），若的最大值为，则该圆的半径r等于_14已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是_.15在平面直角坐

4、标系中，已知直线与圆交于、两点，过点、分别作圆的两条切线与，直线与交于点，则线段长度的最小值是_.16唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知圆M过C(1，1)，D(1，1)两点，且圆心M在x+y2=0上.（1

5、）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.18点E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，点M在边AB上，且，沿图1中的虚线DE，EF，FD将，折起使A，B，C三点重合，重合后的点记为点P，如图2.（1）证明：；（2）若正方形ABCD的边长为6，求点M到平面DEF的距离.19已知点在抛物线上，过点作圆()的两条切线，与抛物线分别交于两点，切线与圆分别相切于点.（1）若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等，求点的坐标；（2）若点的坐标为，且时，求的值；（3）若点的坐标为，设线段中点的纵坐标为，求

6、的取值范围.20如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tanBCO=.（1）求新桥BC的长;（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大?21如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L直线AB点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：（1）若PAB=30，求以

7、MN为直径的圆方程；（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点22已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点.（1）求圆的圆心坐标和面积；（2）若直线的斜率为，求弦的长；（3）若圆上恰有三点到直线的距离等于，求直线的方程一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】由可得：，所以圆心，半径，由为等腰直角三角形知，圆心到直线的距离，所以，解得，故选：D.2已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】

8、将圆与圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为，即，由，得，即点，因此，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的取值范围是.故选：D.3已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】将代入得，将代入得，所以A，B不在直线l上，又上，所以点p在线段AB上，直线AB的方程为：，由，解得，直线方程，即为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，则，所以，即，因为，所以，故选：D42020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的国旗制法说明中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有

9、人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）ABCD【答案】C【解析】都为五角星的中心点，平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为，可知，过作轴平行线，则，所以直线的倾斜角为，故选：C5已知圆：，直线：，若在直线上任取一点作圆的切线，切点分别为，则最小时，原点到直线的距离为（ ）ABCD【答案】A【解析】由得，所以圆心，半径，在中，当最小时，最小，最大，最小，此时，的最小值为圆心到直线的距离：，此时，因为，所以，所以圆心到直线的距离为，所以两平行直线与之间

10、的距离为，因为原点到直线的距离为，所以原点到直线的距离为.故选：A6直线被圆所截得的弦长为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】，即，该圆圆心为，半径为直线截圆所得的弦长为，则圆心到直线的距离为，解得故选：A7已知点，与直线，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ）A或B或CD【答案】A【解析】解：已知点，与直线，且直线与线段相交，直线，即直线，它经过定点，的斜率为，的斜率为，则直线的斜率的取值范围为或，故选：.8已知直线l与单位圆O相交于，两点，且圆心O到l的距离为，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】圆的方程为，圆心到直线的距离为，交于与，由与联立得或，则，排除BD；圆心到

11、直线的距离为，交于和设与联立得或则，排除D，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（ ）ABCD【答案】CD【解析】圆方程可化为：，则圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径；圆与圆有且仅有两条公切线，两圆相交，又两圆圆心距，即，解得：或，可知CD中的的取值满足题意.故选：CD.10一条斜率不为0的直线，令，则直线l的方程可表示为.现光线沿直线l射到x轴上的点，反射后射到y轴上的点，再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同，则下列结论正确的

12、是（ ）A BC D【答案】AB【解析】由题意知的图象过点和，所以直线， ，又和中和y的系数相同，且的图象过，所以.对于A，所以A正确； 对于B，所以，选项B正确；对于C，所以C错误；对于D，所以D错误.故选AB.11设，为正数，若直线被圆截得弦长为4，则（ ）ABCD【答案】BCD【解析】由可得 ，故圆的直径是4，所以直线过圆心，即，故B正确；又，均为正数，所以由均值不等式，当且仅当 时等号成立；故C正确；又，当且仅当，即，即 时，等号成立，故D正确.故选：BCD12下列说法正确的是（ ）A直线必过定点B直线在轴上的截距为C直线的倾斜角为60D过点且垂直于直线的直线方程为【答案】ABD【解析

13、】可化为，则直线必过定点，故A正确；令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；设过点且垂直于直线的直线的斜率为因为直线的斜率为，所以，解得则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13设点P是直线上的动点，过点P引圆的切线（切点为），若的最大值为，则该圆的半径r等于_【答案】1【解析】设圆的圆心为，因为点P是直线上的动点，所以当点到点的距离最小时，取得最大值，此时与直线垂直，因为为，所以，点到直线的距离为，在中，故答案为：114已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是_.【答案】【

14、解析】由函数有两个不同的零点，可知与的图象有两个不同的交点，故作出如下图象，当与的图象相切时，即，由图可知，故相切时，因此结合图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点，即当时，函数有两个不同的零点.故答案为：.15在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于、两点，过点、分别作圆的两条切线与，直线与交于点，则线段长度的最小值是_.【答案】【解析】圆的圆心坐标为，半径为直线过定点，连接、，如图，为圆的半径是定值，要使最小，则最大，即最小，也就是最小，此时，求得，线段长度的最小值是故答案为：16唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”

15、，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为_.【答案】【解析】设点关于直线的对称点，解得，所以，将军从P出发到达直线上点A再到营区，所以本题问题转化为求点到营区的最短距离，根据圆的几何性质可得最短距离为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知圆M过C(1，1)，D(1，1)两点，且圆心M在x+y2=0上.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8

16、=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）设圆的方程为：，根据题意得，故所求圆M的方程为： ；（2）如图，四边形的面积为，即又，所以， 而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即为点到直线的距离所以，四边形面积的最小值为.18点E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，点M在边AB上，且，沿图1中的虚线DE，EF，FD将，折起使A，B，C三点重合，重合后的点记为点P，如图2.（1）证明：；（2）若正方形ABCD的边长为6，求点M到平面DEF的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】

17、（1）因为是正方形，所以折起后有，.又交于点，所以平面.又平面，所以.（2）设点到平面的距离为，因为AB=3AM，所以PE=3ME，所以点M到平面DEF的距离为.又两两垂直，所以平面.因为，所以.而，所以，解得，所以点到平面的距离为.19已知点在抛物线上，过点作圆()的两条切线，与抛物线分别交于两点，切线与圆分别相切于点.（1）若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等，求点的坐标；（2）若点的坐标为，且时，求的值；（3）若点的坐标为，设线段中点的纵坐标为，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）.【解析】（1）设点的坐标为，则，解得或，即点的坐标为或；（2）当点的坐标为，且时，在直角

18、三角形中，且，同理，且，从而；（3）由题意知切线的斜率均存在且不为零，设切线方程为，由，得，记切线的斜率分别为，则，由于切线的方程分别为，联立，消去，得，设，则，故，同理，于是，因为，所以，.所以.即的取值范围是.20如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tanBCO=.（1）求新桥BC的长;（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大?【答

19、案】(1) 150 m (2) |OM|=10 m【解析】试题分析：本题是应用题，我们可用解析法来解决，为此以为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系.（1） 点坐标为 ， ，因此要求 的长，就要求得 点坐标，已知 说明直线斜率为 ，这样直线 方程可立即写出，又 ，故斜率也能得出，这样 方程已知，两条直线的交点的坐标随之而得；（2）实质就是圆半径最大，即线段上哪个点到直线的距离最大，为此设，由，圆半径是圆心 到直线的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端 和到该圆上任一点的距离均不少于80 ，列出不等式组，可求得的范围，进而求得最大值当然本题如果用解三角形的知识也可以解决 试题解析：（1）

20、如图，以为 轴建立直角坐标系，则 ， ，由题意 ，直线方程为 又 ，故直线 方程为，由，解得 ，即 ，所以；（2）设，即 ，由（1）直线 的一般方程为 ，圆的半径为 ，由题意要求 ，由于 ，因此， ，所以当时，取得最大值，此时圆面积最大21如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L直线AB点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：（1）若PAB=30，求以MN为直径的圆方程；（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】建立如图所示的直角坐标系，O的方程为，

21、直线L的方程为（1）PAB=30，点P的坐标为，将x=4代入，得MN的中点坐标为（4，0），MN=以MN为直径的圆的方程为同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是（2）设点P的坐标为，（），将x=4代入，得，MN=MN的中点坐标为以MN为直径的圆截x轴的线段长度为为定值必过O 内定点22已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点.（1）求圆的圆心坐标和面积；（2）若直线的斜率为，求弦的长；（3）若圆上恰有三点到直线的距离等于，求直线的方程【答案】(1)见解析;(2);(3)，或【解析】（1）圆的圆心坐标为，半径，面积为； （2）直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，； （3）因圆上恰有三点到直线的距离等于，转化为则圆心到直线的距离为，当直线垂直于轴时，显然不合题意；设直线的方程为，即，由，解得，故直线的方程为，或