2022春九年级数学下册 第24章 圆整合提升密码（新版）沪科版.doc

1、专训1圆中常见的计算题型名师点金：与圆有关的计算主要涉及圆与其他几何图形结合，利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等 有关角度的计算1如图，I是ABC的内切圆，D，E，F为三个切点若DEF52，则A的度数为()A76 B68 C52 D38(第1题)(第2题)2如图，有一圆经过ABC的三个顶点，且弦BC的中垂线与相交于D点若B74，C46，则所对圆心角的度数为()A23 B28 C30 D373(中考娄底)如图，在O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接A

2、D，BC，BD.(1)求证：ABDCDB；(2)若DBE37，求ADC的度数(第3题) 半径、弦长的计算4(中考南京)如图，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB2 cm，BCD2230，则O的半径为_(第4题)(第5题)5如图，AB为O的直径，延长AB至点D，使BDOB，DC切O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E.若O的半径为2，则CF_.6如图，在O中，直径AB与弦AC的夹角为30，过点C作O的切线交AB的延长线于点D，OD30 cm.求直径AB的长(第6题) 面积的计算7(中考丽水)如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别与BC，AC交于点D，E，过点D

3、作O的切线DF，交AC于点F.(1)求证：DFAC；(2)若O的半径为4，CDF22.5，求阴影部分的面积(第7题)专训2圆中常用的作辅助线的方法名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等 作半径，巧用同圆的半径相等1如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上

4、，点G在大正方形的边AB上若小正方形的边长为4 cm，求该半圆的半径(第1题) 连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等2如图，圆内接三角形ABC的外角ACM的平分线与圆交于D点，DPAC，垂足是P，DHBM，垂足为H，求证：APBH.(第2题) 作直径，巧用直径所对的圆周角是直角3如图，O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.(1)求证：AD2BC24R2；(2)若弦AD，BC的长是方程x26x50的两个根(ADBC)，求O的半径及点O到AD的距离(第3题) 证切线时辅助线作法的应用4如图，ABC内接于O，CACB，CDAB且与OA的延长线交于点D.判断CD与O的位置关系，并说明理

5、由【导学号：31782105】(第4题) 遇弦加弦心距或半径5如图，在半径为5的O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且ABCD8，则OP的长为()A3 B4 C3 D4(第5题)(第6题)6(中考贵港)如图，AB是O的弦，OHAB于点H，点P是优弧上一点，若AB2，OH1，则APB_. 遇直径巧作直径所对的圆周角7如图，在ABC中，ABBC2，以AB为直径的O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点(1)求证：ABC为等边三角形(2)求DE的长(第7题) 遇切线巧作过切点的半径8如图，O是RtABC的外接圆，ABC90，点P是圆外一点，PA切O于点A，且PAPB.(1)求证：P

6、B是O的切线；(2)已知PA，ACB60，求O的半径【导学号：31782106】(第8题) 巧添辅助线计算阴影部分的面积9(中考自贡)如图，点B，C，D都在O上，过点C作ACBD交OB的延长线于点A，连接CD，且CDBOBD30，DB6 cm.(1)求证：AC是O的切线；(2)求由弦CD，BD与所围成的阴影部分的面积(结果保留)【导学号：31782107】(第9题)专训3圆的实际应用名师点金：与圆有关的知识在实际生活中有着广泛的应用，从实际生活中抽象出数学问题，并运用圆的相关知识解决这些问题，可以达到学以致用的目的 利用垂径定理解决台风问题1如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台

7、风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半径为200 km，B市位于点P北偏东75的方向上，距离P点320 km处(1)试说明台风是否会影响B市；(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间(第1题) 利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)2如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？(第2题) 利用直线与圆的位置关系解决范围问题3已知A，B两地相距1 km.要在A，B两地之间修建一条笔直的

8、水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60方向，B地的北偏西45方向的C处有一个以C为圆心，350 m为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？(第3题) 利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题4如图，某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20 cm，高为40 cm的圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝(接缝忽略不计)，请问：选长、宽分别为多少厘米的矩形铁皮，才能使所用材料最省？(第4题)专训4与圆有关的动态问题名师点金：对于与圆有关的运动情形下的几何问题，在探究求值问题时，通常应对运动过程中所有可能出现的不同情形进行分析，如果符合某些条件的点、线等几何图形不唯一，要注意分类

9、讨论，在探究确定结论成立情况下的已知条件时，可以把确定结论当作已知用 利用圆探究运动中形成的特殊几何图形问题1如图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B以1 cm/s的速度移动，若AB长为10 cm，点O到BC的距离为4 cm.(1)求弦BC的长；(2)经过几秒BPC是等腰三角形？(PB不能为底边)(第1题)2如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画O，P是O上一动点，且P在第一象限内，过点P作O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；(2)在O上是否存在一点Q，使得

10、以Q，O，A，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由(第2题) 利用圆探究运动中的特殊位置关系问题3如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC90，AB12 cm，AD8 cm，BC22 cm，AB为O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动，P，Q分别从点A，C同时出发当其中一动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t s当t为何值时，PQ与O相切？(第3题) 利用圆探究运动中的面积问题4如图，在O中，AB为O的直径，AC是弦，OC4，OAC60.(1)求AOC的度

11、数；(2)如图，一动点M从A点出发，在O上按逆时针方向运动，当SMAOSCAO时，求动点M所经过的弧长【导学号：31782108】(第4题)专训5圆与学科内的综合应用名师点金：圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点，在中考中常常与三角函数、相似、二次函数等结合，作为压轴题出现 圆与三角函数的综合1(中考遂宁)如图，AB为O的直径，直线CD切O于点D，AMCD于点M，BNCD于点N.(1)求证：ADCABD；(2)求证：AD2AMAB；(3)若AM，sin ABD，求线段BN的长【导学号：31782109】(第1题) 圆与相似的综合2如图，RtABC内接于O，ACB90，点P在弧A

12、B上移动，P，C分别位于AB的异侧(P不与A，B重合)，PCD也为直角三角形，PCD90，且RtPCD的斜边PD经过点B，BA，PC相交于点E.(1)当BA平分PBC时，求的值；(2)已知AC1，BC2，求PCD面积的最大值【导学号：31782110】(第2题) 圆与二次函数的综合3如图，在平面直角坐标系中，A与x轴相交于C(2，0)，D(8，0)两点，与y轴相切于点B(0，4)(1)求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与A相切(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标【导学号：31782111】(第

13、3题)专训6：全章热门考点整合应用名师点金：圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点本章题型广泛，主要考查旋转、圆的概念和基本性质、圆周角定理及其推论、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、正多边形与圆的计算和证明等，通常以这些知识为载体，与函数、方程等知识综合考查全章热门考点可概括为：三个概念、三个定理、三个关系、两个圆与三角形、三个公式、三个技巧、两种思想 三个概念旋转1如图，将一个钝角三角形ABC(其中ABC120)绕点B按顺时针方向旋转得A1BC1，使得点C落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.(1)求出旋转角的度数；(2)求证：A1ACC1.(第1题)中心对称和中心对

14、称图形2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()圆的相关概念3下列说法正确的是()A直径是弦，弦也是直径B半圆是弧，弧是半圆C无论过圆内哪一点，只能作一条直径D在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍 三个定理垂径定理4(中考北京)如图，AB是O的直径，过点B作O的切线BM，弦CDBM，交AB于点F，且，连接AC，AD，延长AD交BM于点E.(1)求证：ACD是等边三角形；(2)连接OE，若DE2，求OE的长(第4题)圆心角、弦、弧间的关系定理5如图，AB是O的直径，点C在O上，AOC40，D是的中点，求ACD的度数(第5题)圆周角定理6如图，已知AB是O的弦，OB2，B30，C是弦

15、AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交O于点D，连接AD.(1)弦长AB等于_(结果保留根号)(2)当D20时，求BOD的度数(3)当AC的长度为多少时，以点A，C，D为顶点的三角形与以点B，C，O为顶点的三角形相似？(第6题) 三个关系点与圆的位置关系7如图，有两条公路OM，ON相交成30角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80 m的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，距拖拉机50 m范围内会受到噪音影响，已知有两台相距30 m的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5 m/s，则这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？(第7题)直线与圆的

16、位置关系8如图，已知O为原点，点A的坐标为(4，3)，A的半径为2.过A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动(1)当点P在A上时，请你直接写出它的坐标；(2)设点P的横坐标为12，试判断直线OP与A的位置关系，并说明理由(第8题)正多边形和圆的位置关系9如图，已知O的内接正十边形ABCD，AD分别交OB，OC于M，N.求证：(1)MNBC；(2)MNBCOB.(第9题) 两个圆与三角形三角形的外接圆10(中考哈尔滨)如图，O是ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AEDE，BCCE.(1)求ACB的度数；(2)过点O作OFAC于点F，延长FO交BE于点G，DE3，EG

17、2，求AB的长(第10题)三角形的内切圆11如图，若ABC的三边长分别为AB9，BC5，CA6，ABC的内切圆O切AB，(第11题)BC，AC于点D，E，F，则AF的长为()A5 B3 C4.5 D4 三个公式弧长公式12如图，已知正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为()A13 cm B14 cmC15 cm D16 cm(第12题)(第13题)扇形面积公式13设计一个商标图案，如图，在矩形ABCD中，若AB2B

18、C，且AB8 cm，以点A为圆心，AD长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于()A(48) cm2 B(416) cm2C(38) cm2 D(316) cm2圆锥的侧面积和全面积公式14在手工课上，王红制成了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆的半径为10 cm，母线长为50 cm，则制作一顶这样的纸帽所需纸板的面积至少为()A250 cm2 B500 cm2C750 cm2 D1 000 cm215已知圆锥底面圆的半径为2，母线长是4，则它的全面积为()A4 B8 C12 D16 三个技巧作中心对称图形探究线段之间的关系16(探究题)如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点

19、，BAEEAF，AF与DC的延长线相交于点F.(1)作出ABE关于点E成中心对称的图形；(2)探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论(第16题)作同弧所对的圆周角(特别的：直径所对的圆周角)17如图，直线PQ与O相交于点A，B，BC是O的直径，BD平分CBQ交O于点D，过点D作DEPQ，垂足为E.连接AD，已知BC10，BE2，求sin BAD的值(第17题)作半径(特别的：垂直于弦的半径、过切点的半径)18如图，O的半径为4，B是O外一点，连接OB，且OB6.过点B作O的切线BD，切点为D，延长BO交O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.(1)求证：AD平分BAC.(2

20、)求AC的长(第18题) 两种思想分类讨论思想19已知在半径为1的O中，弦AC，弦AB，则CAB_方程思想20如图，在RtABC中，ABC90，O切BC于点B，切AC于点D，交AB于点E.若BCBE，AE2，求AD的长(第20题)答案专训11A2B点拨：有一圆经过ABC的三个顶点，且弦BC的中垂线与相交于D点，所对的圆心角的度数2C24692，所对的圆心角的度数2B274148所对的圆心角的度数所对的圆心角的度数所对的圆心角的度数所对的圆心角的度数所对的圆心角的度数所对的圆心角的度数所对的圆心角的度数，所对的圆心角的度数(14892)28.故选B.3(1)证明：AB，CD是直径，ADBCBD9

21、0.在RtABD和RtCDB中，RtABDRtCDB(HL)(2)解：BE是切线，ABBE.ABE90.DBE37，ABD53.ODOA，ODABAD905337，即ADC的度数为37.42 cm点拨：连接OB，BCD2230，BOD2BCD45.ABCD，BEAEAB2(cm)，BOE为等腰直角三角形，OBBE2 cm，故答案为2 cm.526解：连接OC.A30，COD60.DC切O于C，OCD90.D30.OD30 cm，OCOD15 cm.AB2OC30 cm.(第7题)7(1)证明：如图，连接OD，OBOD，ABCODB.ABAC，ABCACB.ODBACB.ODAC.DF是O的切线

22、，DFOD.DFAC.(2)解：如图，连接OE，DFAC，CDF22.5，ABCACB67.5，BAC45.OAOE，AOE90.O的半径为4，S扇形AOE4，SAOE8.S阴影S扇形AOESAOE48.专训2(第1题)1解：连接OA，OF，如图设OAOFr cm，ABa cm.在RtOAB中，r2a2，在RtOEF中，r242，a216164a，解得a18，a24(舍去)r28280，r14，r24(舍去)，即该半圆的半径为4 cm.点拨：在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题2证明：连接AD，BD.DAC，DBC是所对的圆周

23、角DACDBC.CD平分ACM，DPAC，DHCM，DPDH.在ADP和BDH中，ADPBDH，APBH.点拨：本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到DACDBC，为证两三角形全等创造了条件3(1)证明：过点D作O的直径DE，连接AE，EC，AC.DE是O的直径，ECDEAD90.又CDAB，ECAB，BACACE.BCAE.在RtAED中，AD2AE2DE2，AD2BC24R2.(2)解：过点O作OFAD于点F.弦AD，BC的长是方程x26x50的两个根(ADBC)，AD5，BC1.由(1)知，AD2BC24R2，52124R2，R.EAD90，OFAD，OFEA.

24、又O为DE的中点，OFAEBC，即点O到AD的距离为.点拨：本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便4解：CD与O相切，理由如下：如图，作直径CE，连接AE.(第4题)CE是直径，EAC90.EACE90.CACB，BCAB.ABCD，ACDCAB.BE，ACDE，ACEACD90，即OCDC.又OC为O的半径，CD与O相切5C6.60(第7题)7(1)证明：连接AD，AB是O的直径，ADB90.点D是BC的中点，AD是线段BC的垂直平分线，ABAC.ABBC，ABBCAC，ABC为等边三角形(2)解：连接BE.AB是直径，AEB90，BEAC，A

25、BC是等边三角形，AEEC，即E为AC的中点D是BC的中点，故DE为ABC的中位线DEAB21.8(1)证明：连接OB，OAOB，OABOBA.PAPB，PABPBA.OABPABOBAPBA，即PAOPBO.又PA是O的切线，PAO90.PBO90.OBPB.又OB是O的半径，PB是O的切线(2)解：连接OP，PAPB，点P在线段AB的垂直平分线上OAOB，点O在线段AB的垂直平分线上OP为线段AB的垂直平分线，又BCAB，POBC.AOPACB60.OPA30.在RtAPO中，AO2PA2PO2，即AO23(2AO)2.又AO0，AO1.O的半径为1.(第8题) (第9题)9(1)证明：如

26、图，连接CO，交DB于点E，O2CDB60.又OBE30，BEO180603090.ACBD，ACOBEO90，即OCAC.又点C在O上，AC是O的切线(2)解：OEDB，EBDB3 cm.在RtEOB中，OBE30，OEOB.EB3 cm，由勾股定理可求得OB6 cm.又DDBO，DEBE，CEDOEB，CDEOBE，SCDESOBE，S阴影S扇形OCB626(cm2)专训31解：(1)如图，过B作BHPQ于H，在RtBHP中，由条件易知：BP320 km，BPQ30.BHBP160 kmA.又PCQB，BA.在B点射门比在A点射门好选择射门方式二较好点拨：本题运用转化思想，将射门角度大小的

27、问题，建模转化到圆中，根据圆周角的相关知识来解决实际问题3解：修建的这条水渠不会穿过公园理由：过点C作CDAB，垂足为D.CBA45，BCD45，CDBD.设CDx km，则BDx km.易知CAB30，AC2x km，ADx km.xx1，解得x，即CD km0.366 km366 m350 m，也就是说，以点C为圆心，350 m为半径的圆与AB相离即修建的这条水渠不会穿过公园4解：圆锥形漏斗的底面半径为20 cm，高为40 cm，圆锥的母线长为60(cm)设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，则有220，解得n120.方案一：如图，扇形的半径为60 cm，矩形的宽为60 cm，易求得矩形的长为6

28、0 cm.此时矩形的面积为60603 600(cm2)方案二：如图，扇形与矩形的两边相切，有一边重合，易求得矩形的宽为60 cm，长为306090(cm)，此时矩形的面积为90605 400(cm2)3 6005 400，方案二所用材料最省，即选长为90 cm，宽为60 cm的矩形铁皮，才能使所用材料最省(第4题)专训41解：(1)作ODBC于D.由垂径定理知，点D是BC的中点，即BDBC，OBAB5 cm，OD4 cm，由勾股定理得，BD3 cm，BC2BD6 cm.(2)设经过t s，BPC是等腰三角形当PC为底边时，有BPBC，即10t6，解得t4；当BC为底边时，有PCPB，此时P点与

29、O点重合，t5.经过4 s或5 sBPC是等腰三角形2解：(1)线段AB长度的最小值为4.理由如下：连接OP.AB切O于P，OPAB.取AB的中点C，则AB2OC，当OCOP时，OC最短，即AB最短，此时AB4.(2)存在假设存在符合条件的点Q.如图，设四边形APOQ为平行四边形，APO90，四边形APOQ为矩形又OPOQ，四边形APOQ为正方形，OQQA.QOA45，在RtOQA中，根据OQ2，AOQ45，得Q点的坐标为(，)(第2题)如图，设四边形APQO为平行四边形，连接OP，OQPA，APO90，POQ90.又OPOQ，PQO45，PQOA，PQy轴设PQ交y轴于点H，在RtOHQ中，

30、根据OQ2，HQO45，得Q点的坐标为(，)符合条件的点Q的坐标为(，)或(，)(第3题)3解：如图，设PQ与O相切于点H，过点P作PEBC，垂足为E.在四边形ABCD中，ADBC，ABC90，PEAB.由题意可知：APBEt cm，CQ2t cm，BQBCCQ(222t) cm，EQBQBE222tt(223t) cm.AB为O的直径，ABCDAB90，AD，BC为O的切线APPH，HQBQ.PQPHHQAPBQt222t(22t) cm.在RtPEQ中，PE2EQ2PQ2，122(223t)2(22t)2，即t211t180，解得t12，t29.P在AD边运动的时间为8(s)，而t98，t

31、9(舍去)当t2 s时，PQ与O相切4解：(1)在ACO中，OAC60，OCOA，ACO是等边三角形AOC60.(第4题)(2)如图，作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1.易得SM1AOSCAO，AOM160，60.当点M运动到M1时，SMAOSCAO，此时动点M经过的弧长为.过点M1作M1M2AB交O于点M2，连接AM2，OM2，易得SM2AOSCAO，OM1M2AOM160.又OM1OM2，M1OM260，AOM2120.120.当点M运动到M2时，SMAOSCAO，此时动点M经过的弧长为.过点C作CM3AB交O于点M3，连接AM3，OM3，易得SM3AOSCAO，AOM31

32、20.240.当点M运动到M3时，SMAOSCAO，此时动点M经过的弧长为.当点M运动到C时，M与C重合，SMAOSCAO，此时动点M经过的弧长为300.综上所述，当SMAOSCAO时，动点M所经过的弧长为或或或.专训5(第1题)1(1)证明：如图，连接OD，直线CD切O于点D，CDO90.AB为O的直径，ADB90，122390，13.OBOD，34，ADCABD.(2)证明：AMCD，AMDADB90.14，ADMABD，AD2AMAB.(3)解：sin ABD，sin 1.AM，AD6，AB10，BD8.BNCD，BND90，DBNBDN1BDN90，DBN1，sin DBN，DN，BN

33、.2解：(1)连接PA，BA平分PBC，PBACBAACP.ACPPCBBCDPCB90，ACPBCD.BCDCBAPBA.ABCD.PBAD.BCDD，BCBD.又PCD90，易证得PBBCBD.又ABCD，PEEC.BE是PCD的中位线.(2)PCDACB90，CABCPD，ABCPDC.SPCDPCCDPC2PCPC2.当PC最大时，PCD的面积最大，即PC为O的直径时，PCD的面积最大当PCAB时，PCD面积的最大值为()25.3(1)解：设抛物线的函数表达式为yax2bxc，把B(0，4)，C(2，0)，D(8，0)的坐标分别代入得解得经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为yx2x

34、4.(2)证明：yx2x4(x5)2，E.设直线CE的函数表达式为ymxn，直线CE与y轴交于点G，则解得直线CE的函数表达式为yx.在yx中，令x0，则y，G.如图，连接AB，AC，AG，则BGOBOG4，CG，BGCG.在ABG与ACG中，ABGACG.ACGABG.A与y轴相切于点B(0，4)，ABG90.ACGABG90.点C在A上，直线CE与A相切(第3题)(3)解：存在点F，使BDF面积最大设F，如图，连接BD，BF，DF，过F作FNy轴交BD于点N，设直线BD的函数表达式为ykxd，则解得直线BD的函数表达式为yx4.点N的坐标为.FNt4t22t.SDBFSDNFSBNFODF

35、N8t28t(t4)216.当t4时，SBDF最大，最大值是16.当t4时，t2t42，F(4，2)专训61(1)解：由题意可知ABCCBC1180，ABC120，CBC160，即旋转角的度数为60.(2)证明：由(1)知CBC160，A1BC1是由ABC绕点B顺时针旋转60得到的，ABA1B，ABA1CBC160，CC1，ABA1是等边三角形A1AB60.A1ABCBC1，AA1BC.A1ACC.A1ACC1.2A点拨：A既是轴对称图形，又是中心对称图形；B是中心对称图形，不是轴对称图形；C、D是轴对称图形，不是中心对称图形故选A.3D4(1)证明：AB是O的直径，BM是O的切线，ABBE.

36、CDBE，CDAB.，.ADACCD.ACD是等边三角形(第4题)(2)解：如图，过O作ONAD于N.ANDN.由(1)知ACD是等边三角形，DAC60.ADAC，CDAB，DAB30，BEAE，ONAO.易得ANAO.设O的半径为r，ONr，ANDNr，EN2r，AE2r，BEAE.在RtNEO与RtBEO中，OE2ON2NE2OB2BE2，即r2，r2(r舍去)，OE228，OE2.5解：AOC40，BOC18040140，ACO(18040)70.连接OD.D是的中点，CODBOC70.OCD55.ACDACOOCD7055125.6思路导引：(1)如图，过点O作OEAB于点E，根据B3

37、0，OB2可得BE，由垂径定理知AB2.(2)如图，连接OA，利用半径相等，可得BADBAODAOBD302050.再利用圆周角定理可得BOD2BAD100.(3)由BCD是ADC的外角，可知BCDCAD，BCDD，只有BCDACD，即BCDACD90.由B30，得BOD120.由圆周角定理知CADBOD60.可得DACBOC，ACAB.解：(1)2(第6题)(2)如图，连接OA.OAOB，OAOD，BAOB，DAOD.BADBAODAOBD.又B30，D20，BAD50.BOD2BAD100.(3)BCODACD，BCODAC，BCOD，要使DAC与BOC相似，只能ACDOCB90.此时BO

38、C60，BOD120，DACBOD60.DACBOC.DACBOC.BCO90，即OCAB，ACAB.当AC的长度为时，DAC与BOC相似点拨：圆周角定理、垂径定理在与圆有关的证明、计算题中经常出现，要牢固掌握(第7题)7解：如图，过点A作ACON，垂足为C.MON30，OA80 m，AC40 m.设当第一台拖拉机到B点时对小学产生噪音影响，连接AB，此时AB50 m，由勾股定理得BC30 m，设第一台拖拉机到D点时噪音消失，连接AD，此时AD50 m，易得CD30 m.两台拖拉机相距30 m，第一台到D点时第二台在C点，还需前行30 m后才对小学没有噪音影响，影响时间应是(303030)51

39、8(s)即这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是18 s.8思路导引：(1)由题意知点P，B的纵坐标与点A的纵坐标相同，即为3，当点P在BA之间时，它的横坐标为422；当点P在BA的延长线上时，它的横坐标为426.(2)连接OP，过点A作ACOP，垂足为C，则有APCOPB，即可求得AC的值，与A的半径比较即可得到OP与A的位置关系解：(1)点P的坐标是(2，3)或(6，3)(2)直线OP与A相交理由如下：连接OP，过点A作ACOP，垂足为C，则APPBAB1248，OB3，OP3.ACPOBP90，APCOPB，APCOPB，即.AC2.直线OP与A相交(第9题)9证明：(1

40、)如图，连接OA，OD，则AODAOBBOCCOD3108.又OAOD，OADODA36.ANOCODODA363672.BOC36，OBOC，BCO72.ANOBCO.MNBC.(2)AON36272，ANO72，ANAOOB.ABM72，AMBOADAOB363672，ABMAMB，ABAM.又ABBC，ANAMMNABMNBCMN，MNBCOB.10解：(1)在O中，AD.AEBDEC，AEDE，AEBDEC.EBEC.又BCCE，BECEBC.EBC为等边三角形ACB60.(第10题)(2)OFAC，AFCF.EBC为等边三角形，GEF60，EGF30.EG2，EF1.又AEED3，C

41、FAF4.AC8，CE5.BC5.如图，过点B作BMAC于点M，BCM60，MBC30.CM.BM，AMACCM.AB7.11A12B点拨：由题图可知，点P运动的路径长是题图中六个扇形的弧长的和，每个扇形的圆心角均为60，半径从12 cm依次减2 cm，所以点P运动的路径长为(12108642)14(cm)故选B.13A点拨：在矩形ABCD中，AB2BC，AB8 cm，ADBC4 cm，DAF90.S扇形FADAD24(cm2)，S矩形ABCDABAD8432(cm2)又AFAD4 cm，BFAFAB4812(cm)，SBCFBFBC12424(cm2)S阴影S扇形FADS矩形ABCDSBCF

42、4322448(cm2)故选A.14B点拨：由圆锥的侧面展开图的面积计算公式，得Srl1050500(cm2)故选B.15C点拨：底面周长是224，侧面积是448，底面积是224.全面积是8412.(第16题)16解：(1)如图，延长AE到点M，使EMAE.连接CM，则MCE为所求(2)ABAFCF.证明：MCE为ABE关于点E成中心对称的图形，ABMC，BAEM，ABMC，D，C，F，M共线又BAEEAF，EAFM.MFAF，MCMFCF，ABAFCF.17解：如图，连接CD.BC是O的直径，BDC90.DEAB，BED90.BDCBED.BD平分CBQ，CBDDBE，BCDBDE，即BD2

43、BEBC.BE2，BC10，BD220，BD2.在RtBCD中，sin C.BADC，sin BAD.(第17题)(第18题)18(1)证明：如图，连接OD.BD是O的切线，D为切点，ODBC.ACBD，ODAC，32.又ODOA，13.12，AD平分BAC.(2)解：ODAC，BODBAC，AC.1915或75点拨：如图，当圆心O在CAB的外部时，过点A作直径AD，连接OC，OB，过点O作OEAB，OFAC，垂足分别为E，F.由垂径定理和勾股定理可求得OEOA，OFFA，BAO30，CAO45，CAB15.同理可得，当圆心O在CAB1的内部时，CAB175.(第19题)(第20题)20解：如图，连接OD，DE，BD，则ODAD.ADO90.ABC90，ADOABC.又A为公共角，AODACB.AB2AD.设ADx(x0)，则AB2x.在ADE与ABD中，ADE90ODE，ABDDOE(180ODEOED)90ODE.ADEABD.又A为公共角，ADEABD.，则AD2AEAB.x222x.x14，x20(舍去)，即AD4.点拨：本题用到两对三角形相似来寻求等量关系，列出方程，属于一道综合性强的中等难度题，要认真体会辅助线的作法