2023年高考数学一轮复习 单元检测（八）立体几何（含解析）文.docx

1、单元检测(八)立体几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设，是两个不同的平面，则的充要条件是()A平面内任意一条直线与平面垂直B平面，都垂直于同一条直线C平面，都垂直于同一平面D平面内存在一条直线与平面垂直2经过一个圆柱体上底面圆的一条直径作两个平面分别与下底面圆相切，则圆柱体在这两个平面以下的部分就构成一个正劈锥体(如图)，现将此几何体水平放置，从如图所示的方向观察该几何体(正视方向所在的直线平行于所作两个平面的交线)，则其正视图、侧视图、俯视图的形状分别为()A梯形、长方形、圆B三角形、长方形、圆C梯形、梯形、圆D三角形

2、、梯形、圆32021内蒙古高三二模设l、m、n表示不同的直线，、表示不同的平面，给出下列四个命题：若ml，且m，则l；若，m，n，则mn；若l，且m，则lm；若mn，m，n，则.则正确的命题个数为()A4B3C2D142022河北唐山模拟某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为()A.2B3CD252022四川泸州检测在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列说法中正确的是()AAC与B1C是相交直线且垂直BAC与A1D是异面直线且垂直CBD1与BC是相交直线且垂直DAC与BD1是异面直线且垂直62022湖北名师联考如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AB，A1D1

3、的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则()A.直线EF，AO是异面直线B直线EF，BB1是相交直线C直线EF与BC1所成的角为30D直线EF，BB1所成角的余弦值为72022云南昆明模拟如图，已知PABC是直角梯形，ABPC，ABBC，D在线段PC上，ADPC.如图，将PAD沿AD折起，使平面PAD平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N.对于图，下列选项错误的是()A平面PAB平面PBCBBC平面PDCCPDACDPB2AN82022怀仁市一模在矩形ABCD中，BC4，M为BC的中点，将ABM和DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若APD150，则三棱锥MPAD的

4、外接球的表面积为()A.12B34C68D12692021陕西二模刘徽九章算术注记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”意思是：把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的棱剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值21，这一结论今称刘徽原理如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A4B3CD102022洛阳市高三年级统一考试已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成的角的正弦值为()ABCD112022江门市模拟如图，在四边形ABCD中，A

5、BBC2，ABC90，DADC，现沿对角线AC折起，使得平面DAC平面ABC，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的体积是()A.BCD12122022广东深圳调研在三棱锥PABC中，平面PBC平面ABC，ACB90，BCPC2.若ACPB，则三棱锥PABC体积的最大值为()ABCD二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)132022四川绵阳检测如图，正八面体的棱长为2，则该正八面体的体积为_14如图，四棱台A1B1C1D1ABCD的底面是正方形，DD1底面ABCD，DD1AB2A1B1，则直线AD1与BC1所成角的余弦值为_152022黑龙江齐齐哈尔市模拟

6、三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，在底面ABC中，AB2，C60，则三棱锥PABC的外接球的体积等于_162021陕西高三二模将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：AB，CD所成的角为60；ADC为等边三角形；ACBD；AB与平面BCD所成角60.其中真命题是_(请将你认为是真命题的序号都填上)三、解答题(共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，且PA底面ABCD.(1)求证：平面PAC平面PBD；(2)若E为棱BC的中点，在棱PA上求一点F，使BF平面PDE.18(本小题满分12分

7、)如图，四边形ABEF为正方形，ADBC，ADDC，AD2DC2BC，(1)求证：点D不在平面CEF内：(2)若平面ABCD平面ABEF，且AD2，求点D到平面CEF的距离19(本小题满分12分)如图，圆台O1O的上底面半径为1，下底面半径为2，OBB1，AA1，BB1为圆台的母线，平面AA1O1O平面BB1O1O，M为BB1的中点，P为AM上的任意一点.(1)证明：BB1OP；(2)当点P为线段AM的中点时，求三棱锥B1OPB的体积20(本小题满分12分)2021四川攀枝花统考如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，B1BA.(1)证明：B1C平面ABC1；(2)若平面ABB1A

8、1平面ABC，M为A1C1的中点，求四棱锥B1ACC1M的体积21(本小题满分12分)2022安徽示范高中联考图是矩形ABCD，AB2，BC1，M为CD的中点，将AMD沿AM翻折，得到四棱锥DABCM，如图.(1)若点N为BD的中点，求证：CN平面DAM；(2)若ADBM，求点A到平面BCD的距离22(本小题满分12分)2022福建福州质检如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点(1)平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由(2)若AB3，F为线段BC的三等分点，求多面体PAEFC

9、D的体积单元检测（八）立体几何1答案：D解析：若，则平面内存在直线与平面不垂直，选项A不正确；若平面，都垂直于同一条直线，则平面与平行，选项B不正确；若平面，都垂直于同一平面，则平面，可以平行，也可以相交，选项C不正确；若平面内存在一条直线与平面垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知，若，则由面面垂直的性质定理知，平面内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平面，故选项D正确2.答案：B解析：由题意知，正劈锥体的模型如图所示，按照题图的视角观察，其正视图的形状为三角形，侧视图的形状为长方形，俯视图的形状为圆3答案：D解析：根据“垂直于同一平面的两条直线互相平行”知，若ml，且m，则l正确；故正确，

10、若，m，n，则mn错误，当mn时，也满足前面条件；故错误，若l，且m，则lm不一定正确，有可能相交，也有可能异面；故错误，若mn，m，n，则不一定成立，有可能平行故错误，故正确的个数为1.4答案：B解析：在棱长为2的正方体中，根据三视图，截取四棱锥PABCD如图所示根据三视图可得，AB1，PD2，AD2.根据立体图形可知，最长边为PB.连接DB，在RtADB中，根据勾股定理得DB2AD2AB222125，在RtPDB中，根据勾股定理得PB2PD2DB2459，所以PB3.故该几何体的最长棱的长度为3.5答案：D解析：连接AB1，则AB1C为等边三角形，则AC与B1C是相交直线且所成角为60，故

11、A错误；因为A1DB1C，所以AC与A1D是异面直线且所成角为60，故B错误；连接CD1，因为BC平面CDD1C1，所以BCCD1，所以BD1与BC所成角为锐角，故C错误；连接BD，B1D1，因为ACBD，ACDD1，且BDDD1D，所以AC平面BDD1B1，则ACBD1，则AC与BD1是异面直线且垂直，故D正确6答案：C解析：易知四边形AEOF为平行四边形，所以直线EF，AO相交，直线EF，BB1是异面直线，直线EF，BB1所成角的余弦值为，选项C正确7答案：A解析：由ABPC，ABBC，ADPC，得ADBC.ADPD，ADDC，PDDCD，AD平面PDC.又ADBC，BC平面PDC，B正确

12、平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PDAD，ABAD，PD平面ABCD，AB平面PAD.AC平面ABCD，PDAC，C正确由AB平面PAD，得ABPA，PAB是直角三角形又PB的中点为N，PB2AN，D正确8答案：C解析：由题意可知，MPPA，MPPD.且PAPDP，PA平面PAD，PD平面PAD，所以MP平面PAD.设ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得2r，即2r，所以r4.设三棱锥MPAD的外接球的半径为R，则（2R）2PM2（2r）2，即（2R）246468，所以R217，所以外接球的表面积为4R268.9答案：D解析：根据几何体的三视图知，该“阳马”是底面对角

13、线长为的正方形，一条长为1的侧棱与底面垂直的四棱锥，将该四棱锥补成长方体，长方体的外接球与四棱锥的外接球相同，球直径等于长方体的对角线长，即2R，R，球体积为VR3.10.答案：C解析：如图，将题中的直三棱柱补形成一个直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，易知BC1AD1，所以B1AD1是直线AB1与BC1所成的角或者其补角连接B1D1，在AB1D1中，AB1，AD1，B1D1，ADB1D5AB，AD1B1D1，sinB1AD1.因此，异面直线AB1与BC1所成的角的正弦值为，故选C.11答案：A解析：如图，取AC的中点E，连接DE，BE，因为ADCD，所以DEAC，因为平面DAC平面

14、ABC，平面DAC平面ABCAC，DE平面DAC，所以DE平面ABC，因为ABC90，所以棱锥外接球的球心O在直线DE上，因为ABBC2，ABC90，DADC，所以BEAECEAC，DE2，设OEx，则OD2x，OB，所以2x，解得x，所以外接球的半径为r2x2，外接球的体积为V（）3.12答案：D解析：如图，取PB中点M，连接CM.平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABCBC，AC平面ABC，ACBC，AC平面PBC.设点A到平面PBC的距离hAC2x.PCBC2，PB2x（0x2），M为PB的中点，CMPB，CM，SPBC2xx.VAPBC（x）2x.设t（0t2），则x24t2.VAP

15、BC（0t2）.对y，0t2求导，得y，函数在上单调递增，在上单调递减当t时，（VAPBC）max.13答案：解析：正八面体可看成由上、下两个相同的正四棱锥组成的，由棱长为2，可得每个正四棱锥的斜高为，高为，则该正八面体的体积为2.14答案：解析：设AB的中点为E，连接ED1，则易知BEC1D1，BEC1D1，四边形EBC1D1是平行四边形，BC1ED1，AD1E为直线AD1与BC1所成的角四边形ABCD是正方形，BAAD，DD1底面ABCD，BADD1，又ADDD1D，BA平面AA1D1D，BAAD1，AED1是直角三角形设DD1AB2A1B12a，则AD12a，ED13a，cosAD1E.

16、15答案：解析：设G为ABC外接圆圆心，O为三棱锥PABC外接球球心，则OG平面ABC，作OMPA，垂足为M由正弦定理可知ABC外接圆直径：2r2AG，AGPA平面ABC，OG平面ABC，APOG又OMPA，AGPA，OMAG四边形OMAG为矩形，OGAM设OGx，OPOAR在RtOMP和RtOGA中，由勾股定理可得：，解得：三棱锥PABC外接球体积：VR3.16答案：解析：在中：将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，得到四面体ABCD，设ABBCCDAD2，取BD中点O，AC中点E，BC中点F，连结AO，CO，OF，OE，EF，则OAOC，且OAOC，OEAC1，由三角形中位线定理得OF

17、CD1，EFAB1，且OFCD，EFAB，EFO是AB，CD所成的角，OFEFOE1，EFO是等边三角形，EFO60，AB，CD所成的角为60，故正确；在中：OAOC，且OAOC，AC2，ACCDAD2，ADC为等边三角形，故正确；在中：ABBCCDAD，O是BD中点，AOBD，COBD，又AOCOO，BD面AOC，AC面AOC，ACBD，故正确；在中：ABDC是直二面角，AOBD，AO平面BDC，ABO是AB与平面BCD所成角，AOBO，ABO45，AB与平面BCD所成角为45，故错误17解析：（1）证明：因为PA底面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD；又底面ABCD为正方形，所以BD

18、AC，ACPAA，所以BD平面PAC，又BD平面PBD，所以平面PAC平面PBD，得证（2）如图所示，取PA的中点Q，PD的中点H，连接BQ、QH、HE，所以会有QHAD，QHAD，又BEAD，BEAD，所以QHBE且QHBE，所以四边形BQHE为平行四边形，所以BQEH，BQ面PDE，EH面PDE，所以BQ平面PDE，所以Q点，即为我们要找的F点18解析：（1）证明：（反证法）假设点D在平面CEF内设C，D，E，F四点确定的平面为.因为四边形ABEF为正方形，所以EFAB.因为平面ABCD与平面ABEF不重合，所以EF平面ABCD，又AB平面ABCD，所以EF平面ABCD.因为EF平面，平面

19、平面ABCDCD，所以EFCD；所以ABCD.AB，CD为直角梯形ABCD的两腰，不可能平行，故假设不成立点D不在平面CEF内（2）取AD中点H，连接HF，HC，由AD2BC，所以AHBC，且AHBC，所以AHCB为平行四边形，HCAB且HCAB，ABEF，且ABEF，C，H，E，F共面，SCHD11，FA，FH，CH，CF，所以cosCHF，SCHFFHCHsinCHF.由VDCHFVFCHD得hSCHFFASCHD，h.故D到平面CEF的距离是.19.解析：（1）证明：取OB中点N，连接NB1，OB1，OM，因为圆台O1O的下底面半径为2，上底面半径为1，ONNB1，所以B1NOB，又因为

20、OBB1，所以OB1B为正三角形，于是B1BBOOB12.因为M为B1B中点，所以B1BOM，因为平面AA1O1O平面BB1O1O，O1OOA，所以AO平面BB1O1O，BB1平面BB1O1O，所以OABB1，又因为OAOMO，所以BB1平面OAM，又因为OP平面OAM，所以BB1OP.（2）连接PB，当点P为线段AM的中点时，OBB1的面积为22.VB1OPBVPOBB1VAOBB1SOBB1AO，三棱锥B1OPB的体积为.20解析：（1）证明：如图，取AB中点D，连接B1D，CD.三棱柱的所有棱长均为2，B1BA，ABC和ABB1都是边长为2的等边三角形，且B1CBC1，B1DAB，CDA

21、B.B1D，CD平面B1CD，B1DCDD，AB平面B1CD.B1C平面B1CD，ABB1C.AB，BC1平面ABC1，ABBC1B，B1C平面ABC1.（2）平面ABB1A1平面ABC，且两平面的交线为AB，由（1）知B1DAB，B1D平面ABC.方法一VB1ACC1M3VB1AA1M3VAA1B1M3SA1B1MB1DA1MB1MB1D1.方法二VB1ACC1MVABCA1B1C1VB1ABCVAA1B1MVABCA1B1C1VB1ABCVABCA1B1C1VABCA1B1C1VABCA1B1C1SABCB1D22.21解析：（1）证明：如图，取AD中点P，连接MP，NP.由N，P分别为B

22、D，AD的中点，得NPAB且NPAB.又MCAB且MCAB，所以MCNP且MCNP，所以四边形MCNP为平行四边形所以CNMP且CN平面DAM，MP平面DAM，所以CN平面DAM.（2）如图，由AM，BM，AB2，可得AB2AM2BM2，所以AMBM.又BMAD，ADAMA，所以BM平面ADM.又BM平面ABCM，所以平面ADM平面ABCM.取AM的中点E，连接DE.因为ADDM1，ADDM，所以DEAM，DE.又平面ADM平面ABCMAM，所以DE平面ABCM.所以VADBCVDABCSABCDE.取BC的中点F，连接EF，DF，则EF，EFBC.因为DE平面ABCM，所以DEEF，DEBC

23、，所以DF，BC平面DEF，可得BCDF，所以SBCDBCDF.设点A到平面BCD的距离为d，则VADBCSBCDdd，解得d，即点A到平面BCD的距离为.22解析：（1）方法一平面AEF与平面PBC互相垂直因为PA底面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC.因为底面ABCD为正方形，所以ABBC.又PAABA，且PA，AB平面PAB，所以BC平面PAB.因为AE平面PAB，所以AEBC，因为PAAB，E为线段PB的中点，所以AEPB，又PBBCB，且PB，BC平面PBC，所以AE平面PBC，因为AE平面AEF，所以平面AEF平面PBC.方法二平面AEF与平面PBC互相垂直因为PA底面ABC

24、D，PA平面PAB，所以平面PAB底面ABCD，又平面PAB底面ABCDAB，BCAB，BC底面ABCD，所以BC平面PAB.因为AE平面PAB，所以AEBC.因为PAAB，E为线段PB的中点，所以AEPB，又PBBCB，且PB，BC平面PBC，所以AE平面PBC.因为AE平面AEF，所以平面AEF平面PBC.（2）因为PA底面ABCD，E为线段PB的中点，所以点E到底面ABCD的距离为PA，且VPABCD3339.又F为线段BC的三等分点，故讨论F点的两种情况：当BFBC1时，VEABF，所以多面体PAEFCD的体积为VPABCDVEABF9.当BFBC2时，VEABF，所以多面体PAEFCD的体积为VPABCDVEABF9.综上，多面体PAEFCD的体积为或.