2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破 第10讲　幂函数与二次函数 精品讲义 WORD版含解析.docx

1、第10讲幂函数与二次函数1幂函数(1)定义形如 的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数常见的五类幂函数为yx，yx2，yx3，yx，yx1.(2)性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)f(x)ax2bxc(a1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定2在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较3在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)典例1（2022全国高三专题练习）

2、若幂函数 (m，nN*，m，n互质)的图像如图所示，则（）Am，n是奇数，且1Cm是偶数，n是奇数，且12（2022全国高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+）上是减函数，则m的值为（）A6B1C6D1或63（2022全国高三专题练习）已知幂函数的图象过点设，则，的大小关系是（）ABCD举一反三1（2022北京二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（）ABCD2（2022全国高三专题练习）已知幂函数yf(x)经过点(3，)，则f(x)（）A是偶函数，且在(0，)上是增函数B是偶函数，且在(0，)上是减函数C是奇函数，且在(0，)上是减函数D是非奇非偶函数，且在(0，)

3、上是增函数3（2022全国高三专题练习）函数与均单调递减的一个充分不必要条件是（）ABCD4（多选）（2022广东潮州二模）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（）A函数的定义域为B函数为非奇非偶函数C过点且与图象相切的直线方程为D若，则5（2022海南文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=_.6（2022北京通州一模）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是_7（2022重庆二模）关于x的不等式，解集为_.8（2022全国高三专题练习）如图是幂函数（i0，i1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中13，22，31，已知它们具有

4、性质：都经过点（0，0）和（1，1）；在第一象限都是增函数请你根据图象写出它们在（1，+）上的另外一个共同性质：_9（2022广东深圳高三期末）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为_10（2022北京高三专题练习）已知幂函数为奇函数（1）求实数m的值；（2）求函数的值域 考点2 二次函数的解析式名师点睛求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：典例1（2022全国高三专题练习）已知二次函数f(x)满足f（2）1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是_2（2022全国高三专

5、题练习）已知为二次函数，求的解析式举一反三1（2022全国高三专题练习）若函数过定点，以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（）ABCD2（2022全国高三专题练习）已知为二次函数，且，则（）ABCD3（2022全国高三专题练习）已知是二次函数且满足，则函数的解析式为_. 考点3 二次函数的图象与性质名师点睛二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成典例1（2022全国高三专题练习）函数和函数（

6、其中为的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（）ABCD2（2022全国高三专题练习）二次函数在区间上单调递减的一个充分不必要条件为（）ABCD3（2022全国高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_.4（2022湖南长沙高三阶段练习）已知函数，a为常数.若对于任意x1，x20，2，且x1x2，都有，则实数a的取值范围是_.举一反三1（2022全国高三阶段练习）已知函数，其中，则（）A，都有B，都有C，使得D，使得2（2022全国高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（）ABCD3（2022全国高三专题练习）已知函数在-2，1上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A

7、k-8Bk4Ck-8或k4D-8k44（2022山东济南二模）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（）ABCD5（多选）（2022全国高三专题练习）已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a0)，若x1-2时，f(x1)-2时，f(x1)f(x2)Df(x1)与f(x2)的大小与a有关6（多选）（2022全国高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（）A2B3C4D57（2022全国高三专题练习）如果函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_.8（2022天津高三专题练习）已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为_.9（2022全国高三专题练习）已知二次函数，满足，.

8、(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围.10（2022全国高三专题练习）已知函数（）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（），恒成立，求实数的取值范围11（2022全国高三专题练习）设函数（），满足，且对任意实数x均有.(1)求的解析式；(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围第10讲幂函数与二次函数1幂函数(1)定义形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数常见的五类幂函数为yx，yx2，yx3，yx，yx1.(2)性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)f(x

9、)ax2bxc(a1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定2在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较3在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)典例1（2022全国高三专题练习）若幂函数 (m，nN*，m，n互质)的图像如图所示，则（）Am，n是奇数，且1Cm是偶数，n是奇数，且1【答案】C【解析】由图知幂函数f(x)为偶函数，且，排除B，D；当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A；故选：C.2（2022全国高三专题练习）幂函数是偶函

10、数，且在（0，+）上是减函数，则m的值为（）A6B1C6D1或6【答案】B【解析】幂函数是偶函数，且在（0，+）上是减函数，且为偶数或当时，满足条件；当时，舍去因此：m1故选：B3（2022全国高三专题练习）已知幂函数的图象过点设，则，的大小关系是（）ABCD【答案】D【解析】因幂函数的图象过点，则，且，于是得，函数，函数是R上的增函数，而，则有，所以. 故选：D举一反三1（2022北京二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（）ABCD【答案】D【解析】由为奇函数且在上递增，A、B：、非奇非偶函数，排除；C：为奇函数，但在上不单调，排除；D：，显然且定义域关于原点对称，在

11、上递增，满足.故选：D2（2022全国高三专题练习）已知幂函数yf(x)经过点(3，)，则f(x)（）A是偶函数，且在(0，)上是增函数B是偶函数，且在(0，)上是减函数C是奇函数，且在(0，)上是减函数D是非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数【答案】D【解析】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入解析式得，解得，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，故选：D.3（2022全国高三专题练习）函数与均单调递减的一个充分不必要条件是（）ABCD【答案】C【解析】函数单调递减可得及；函数单调递减可得，解得，若函数与均单调递减，可得，由题可得所求区间真包含于，结合选项，函数与均单调递减的一个充分

12、不必要条件是C.故选：C.4（多选）（2022广东潮州二模）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（）A函数的定义域为B函数为非奇非偶函数C过点且与图象相切的直线方程为D若，则【答案】BC【解析】设，将点代入，得，则，即，对于A：的定义域为，即选项A错误；对于B：因为的定义域为，所以不具有奇偶性，即选项B正确；对于C：因为，所以，设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，又因为切线过点，所以，解得，即切线方程为，即，即选项C正确；对于D：当时，即成立，即选项D错误故选：BC5（2022海南文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=_.【答案】【解析】点A（4，2）代入幂函数

13、解得，故答案为：6（2022北京通州一模）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是_【答案】1，（答案不唯一）【解析】因为幂函数在上单调递增，所以，因为幂函数在上单调递减，所以，又因为是奇函数，所以幂函数和幂函数都是奇函数，所以可以是，可以是.故答案为：1，（答案不唯一）.7（2022重庆二模）关于x的不等式，解集为_.【答案】【解析】由题设，而在R上递增，当即时，原不等式不成立；当即时，原不等式恒成立.综上，解集为.故答案为：8（2022全国高三专题练习）如图是幂函数（i0，i1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中13，22，31，已知它们具有性质：都

14、经过点（0，0）和（1，1）；在第一象限都是增函数请你根据图象写出它们在（1，+）上的另外一个共同性质：_【答案】越大函数增长越快解：从幂函数的图象与性质可知：越大函数增长越快；图象从下往上越来越大；函数值都大于1；越大越远离x轴；1，图象下凸；图象无上界；当指数互为倒数时，图象关于直线yx对称；当1时，图象在直线yx的上方；当01时，图象在直线yx的下方从上面任取一个即可得出答案故答案为：越大函数增长越快9（2022广东深圳高三期末）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为_【答案】（答案不唯一）【解析】设幂函数，由题意，得为奇函数，且在定义域内单调递增

15、，所以（）或（是奇数，且互质），所以满足上述条件的幂函数可以为.故答案为：（答案不唯一）.10（2022北京高三专题练习）已知幂函数为奇函数（1）求实数m的值；（2）求函数的值域【解】（1）函数为幂函数，解得或5，当时，为奇函数，当时，为偶函数，函数为奇函数，；（2）由（1）可知，则，令，则，则，函数为开口向下，对称轴为的抛物线，当时，函数，当，函数取得最大值为1，的值域为，故函数的值域为 考点2 二次函数的解析式名师点睛求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：典例1（2022全国高三专题练习）已知二次函数f(x)满足f（2）1

16、，f(1)1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是_【答案】f(x)4x24x7.【解析】法一(利用“一般式”解题)设f(x)ax2bxc(a0).由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.法二(利用“顶点式”解题)设f(x)a(xm)2n(a0).因为f（2）f(1)，所以抛物线的对称轴为，所以m.又根据题意，函数有最大值8，所以n8，所以yf(x).因为f（2）1，所以，解得a4，所以f(x)4x24x7.法三(利用“零点式”解题)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值8，即.解得a4或a

17、0(舍).故所求函数的解析式为f(x)4x24x7.故答案为：f(x)4x24x7.2（2022全国高三专题练习）已知为二次函数，求的解析式【解】解：因为为二次函数，所以设，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以举一反三1（2022全国高三专题练习）若函数过定点，以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（）ABCD【答案】A【解析】对于函数，当时，所以函数过定点，设以为顶点且过原点的二次函数，因为过原点，所以，解得：，所以的解析式为：，故选：A.2（2022全国高三专题练习）已知为二次函数，且，则（）ABCD【答案】B【解析】设，则，由可得，所以，解得，因此，.故选：B.3（2022

18、全国高三专题练习）已知是二次函数且满足，则函数的解析式为_.【答案】【解析】解：由题意，设，因为，即，所以，所以，从而有，解得，所以，故答案为：. 考点3 二次函数的图象与性质名师点睛二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成典例1（2022全国高三专题练习）函数和函数（其中为的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（）ABCD【答案】B【解析】易知，则由中函数的图象得，若，则，此时，又，所

19、以的图象开口向下，此时均不符合要求；若，则，此时，又，所以的图象开口向上，此时符合要求，不符合要求；由中函数的图象得，若，则，此时，又，所以的图象开口向下，此时符合要求，不符合要求；若，则，此时，又，所以的图象开口向上，此时均不符合要求综上，符合题意，故选：B2（2022全国高三专题练习）二次函数在区间上单调递减的一个充分不必要条件为（）ABCD【答案】D【解析】解：因为的对称轴为，开口向上，所以，解得，所以二次函数在区间上单调递减的充要条件为，所以二次函数在区间上单调递减的一个充分不必要条件为；故选：D3（2022全国高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】在

20、上单调递增，在单调递减，则，即，同时 需满足，即，解得，综上可知故答案为：4（2022湖南长沙高三阶段练习）已知函数，a为常数.若对于任意x1，x20，2，且x1x2，都有，则实数a的取值范围是_.【答案】0，1【解析】对于任意x1，x20，2，且x1x2，都有，即，令，即只需在0，2上单调递增即可，当时，函数图象恒过；当时，；当时，； 要使在区间0，2上单调递增，则当时，的对称轴，即；当时，的对称轴，即；且,综上故答案为：0，1.举一反三1（2022全国高三阶段练习）已知函数，其中，则（）A，都有B，都有C，使得D，使得【答案】B【解析】由，可知，抛物线开口向上因为，即1是方程的一个根，所以

21、，都有，B正确，A、C、D错误.故选：B2（2022全国高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（）ABCD【答案】A【解析】由题意，函数，因为，令，可得，即函数图象过点，又由，可得，所以抛物线的开口向上，可排除D项，令，可得，可排除B、C项；故选：A.3（2022全国高三专题练习）已知函数在-2，1上具有单调性，则实数k的取值范围是（）Ak-8Bk4Ck-8或k4D-8k4【答案】C【解析】函数对称轴为，要使在区间-2，1上具有单调性，则或，或综上所述的范围是：k-8或k4.故选：C.4（2022山东济南二模）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（）ABCD【答案】B【解析】因为，

22、所以二次函数的对称轴为，又因为，所以，又，所以.故选：B.5（多选）（2022全国高三专题练习）已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a0)，若x1-2时，f(x1)-2时，f(x1)f(x2)Df(x1)与f(x2)的大小与a有关【答案】AB【解析】二次函数f(x)=ax2+2ax+4(a0)的图象开口向上，对称轴为x=-1，当x1+x2=-2时，x1，x2关于x=-1对称，则有f(x1)=f(x2)，B正确；当x1+x2-2时，而x1-1-x1，有| x2-(-1)|-1-x1|,因此，点x2到对称轴的距离大于点x1到对称轴的距离，即f(x1)0时，f(x1)与f(x2)的大小只与x1，x

23、2离-1的远近有关，与a无关，D错误.故选：AB6（多选）（2022全国高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（）A2B3C4D5【答案】BC【解析】函数的图象如图所示：因为函数在上的值域为，结合图象可得，结合a是正整数，所以BC正确.故选： BC.7（2022全国高三专题练习）如果函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】当时，在上为增函数，符合题意，当时，要使函数在区间上为增函数，则需满足且对称轴为，解得：，即，综上所述：实数的取值范围是：.故答案为：8（2022天津高三专题练习）已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】函数

24、f（x）x22x的对称轴方程为x1，在1，1上为减函数，且值域为1，3，当x1时，函数为增函数，且要使函数f（x）x22x在定义域1，n上的值域为1，3，实数n的取值范围是1，3故答案为：1，39（2022全国高三专题练习）已知二次函数，满足，.(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围.【解】(1)由题意得：，所以，解得：，所以函数的解析式为.(2)，对称轴为，要想函数在区间上是单调函数，则要满足或，解得：或，故实数m的取值范围是.10（2022全国高三专题练习）已知函数（）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（），恒成立，求实数的取值范围【解】（）当时，在区间上单调递减，符合题意；当时，对称轴为，因为在区间上单调递减，所以，得，所以；当时，函数在区间上单调递减，符合题意，综上，的取值范围为.（），恒成立，即，恒成立，令，可知函数在上单调递增，所以，所以，所以，故的取值范围为11（2022全国高三专题练习）设函数（），满足，且对任意实数x均有.(1)求的解析式；(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.【解】(1)，.即，因为任意实数x，恒成立，则且，所以.(2)因为，设，要使在上单调，只需要或或或，解得或，所以实数k的取值范围