2023版高考数学一轮总复习 10年高考真题分类题组 7.docx

1、7.2简单的线性规划考点简单的线性规划1.(2018天津理,2文,2,5分)设变量x,y满足约束条件x+y5,2x-y4,-x+y1,y0,则目标函数z=3x+5y的最大值为()A.6B.19C.21D.45答案C本题主要考查线性目标函数最值的求解.由变量x,y满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示).作出基本直线l0:3x+5y=0,平移直线l0,当经过点A(2,3)时,z取最大值,zmax=32+53=21,故选C.2.(2018北京理,8,5分)设集合A=(x,y)|x-y1,ax+y4,x-ay2,则()A.对任意实数a,(2,1)AB.对任意实数a,(2,1)AC.当且仅当a4,

2、2-a2,解得a32.结合四个选项,只有D说法正确.故选D.易错警示注意区分集合条件中的“或”与“且”.本题容易把三个不等式的中间联结词认为是“或”而错选A.3.(2017课标文,5,5分)设x,y满足约束条件3x+2y-60,x0,y0,则z=x-y的取值范围是()A.-3,0B.-3,2C.0,2D.0,3答案B由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A(0,3),B(2,0).由图可知,目标函数z=x-y在点A,B处分别取得最小值与最大值,zmin=0-3=-3,zmax=2-0=2,故z=x-y的取值范围是-3,2.故选B.4.(2017课标文,7,5分)设x,y满足约束条件x+

3、3y3,x-y1,y0,则z=x+y的最大值为()A.0B.1C.2D.3答案D本题考查简单的线性规划问题.作出约束条件表示的可行域如图:平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y在A(3,0)处取得最大值,zmax=3,故选D.一题多解由约束条件求出三个交点的坐标(3,0),(1,0),32,12,分别代入目标函数z=x+y,得到zmax=3.5.(2016北京理,2,5分)若x,y满足2x-y0,x+y3,x0,则2x+y的最大值为()A.0B.3C.4D.5答案C画出可行域,如图中阴影部分所示,令z=2x+y,则y=-2x+z,当直线y=-2x+z过点A(1,2)时,z最大,zmax=4

4、.故选C.思路分析先画出可行域,再令z=2x+y并改写成斜截式,找到令z取最大值时的点,代入求值.评析本题考查简单的线性规划,属容易题.6.(2016天津理,2,5分)设变量x,y满足约束条件x-y+20,2x+3y-60,3x+2y-90,则目标函数z=2x+5y的最小值为()A.-4B.6C.10D.17答案B由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分).当直线2x+5y-z=0过点A(3,0)时,zmin=23+50=6,故选B.评析本题考查了简单的线性规划问题,正确画出可行域是求解的关键.7.(2016山东,4,5分)若变量x,y满足x+y2,2x-3y9,x0,则x2+y2的最大值是(

5、)A.4B.9C.10D.12答案C作出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,x2+y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)到原点的距离最大,所以x2+y2的最大值是10,故选C.评析本题考查了数形结合的思想方法.利用x2+y2的几何意义是求解的关键.8.(2016浙江,4,5分)若平面区域x+y-30,2x-y-30,x-2y+30夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.355B.2C.322D.5答案B作出可行域如图.由2x-y-3=0,x+y-3=0,得A(2,1),由x+y-3=0,x-2y+3=0,得B

6、(1,2).斜率为1的平行直线l1,l2分别过A,B两点时它们之间的距离最小.过A(2,1)的直线l1:y=x-1,过B(1,2)的直线l2:y=x+1,此时两平行直线间的距离d=22=2.故选B.9.(2015重庆,10,5分)若不等式组x+y-20,x+2y-20,x-y+2m0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为()A.-3B.1C.43D.3答案B如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m-1,所围成的区域为ABC,SABC=SADC-SBDC.点A的纵坐标为1+m,点B的纵坐标为23(1+m),C,D两点的横坐标分别为2,-2m,所以SABC=12(2+2m)

7、(1+m)-12(2+2m)23(1+m)=13(1+m)2=43,解得m=-3(舍去)或m=1.故选B.10.(2015山东理,6,5分)已知x,y满足约束条件x-y0,x+y2,y0.若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3答案B作出可行域如图.当a0时,显然z=ax+y的最大值不为4;当a=0时,z=y在B(1,1)处取得最大值,为1,不符合题意;当0a1时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,zmax=2a=4,得a=2,符合题意.综上,a=2.11.(2015福建文,10,5分)变量x,y满足约束条件x+y0,x-2y+20,mx-y0.若z=2x-y的

8、最大值为2,则实数m等于()A.-2B.-1C.1D.2答案C当m0,x,y满足约束条件x1,x+y3,ya(x-3).若z=2x+y的最小值为1,则a=()A.14B.12C.1D.2答案B由约束条件画出可行域(如图所示的ABC及其内部),由x=1,y=a(x-3)得A(1,-2a),当直线2x+y-z=0过点A时,z=2x+y取得最小值,所以1=21-2a,解得a=12,故选B.解题关键根据约束条件准确画出可行域,从而经过平移确定直线z=2x+y过可行域内的点A时z取得最小值是解题的关键.19.(2013湖北文,9,5分)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆

9、的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为()A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元答案C设旅行社租用A型客车x辆,B型客车y辆,租金为z元,则线性约束条件为x+y21,y-x7,36x+60y900,x0,y0,目标函数为z=1600x+2400y.画出可行域:当目标函数z=1600x+2400y经过点A(5,12)时,zmin=16005+240012=36800.选C.20.(2012课标,5,5分)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一

10、象限,若点(x,y)在ABC内部,则z=-x+y的取值范围是()A.(1-3,2)B.(0,2)C.(3-1,2)D.(0,1+3)答案A由题意知可行域为ABC(不含边界).当直线-x+y-z=0过点C(1+3,2)时,zmin=1-3;当过点B(1,3)时,zmax=2.故选A.评析本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想.正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键.21.(2016浙江,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域x-20,x+y0,x-3y+40中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=()A.22B

11、.4C.32D.6答案C由不等式组画出可行域,如图中的阴影部分所示.因为直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,所以可行域内的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2,-2),D(-1,1),所以|AB|=|CD|=(2+1)2+(-2-1)2=32.故选C.22.(2016江苏,12,5分)已知实数x,y满足x-2y+40,2x+y-20,3x-y-30,则x2+y2的取值范围是.答案45,13解析画出不等式组x-2y+40,2x+y-20,3x-y-30表示的可行域如图:由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x

12、,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2+y2)max=22+32=13,(x2+y2)min=d2=252=45,其中d表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x2+y2的取值范围为45,13.解后反思对于线性规划问题,要正确作出可行域,并理解目标函数的几何意义,分清常规的“距离型”“斜率型”与“截距型”是解题的关键.23.(2020课标文,15,5分)若x,y满足约束条件x+y-1,x-y-1,2x-y1,则z=x+2y的最大值是.答案8解析作出约束条件表示的可行域,如图所示.由图可知直线z=x+2y过点A(2,3)时,z取得最大值,最大值为2+23=8.24.(2019课标文

13、,13,5分)若变量x,y满足约束条件2x+3y-60,x+y-30,y-20,则z=3x-y的最大值是.答案9解析本题考查简单的线性规划问题;以二元一次不等式组作为约束条件考查学生数形结合思想及运算求解能力;考查数学运算的核心素养.作出可行域(如图阴影部分所示).易得A(3,0),B(1,2),C(0,2).将z=3x-y化为y=3x-z,由图知,当直线y=3x-z经过点A(3,0)时,截距-z取得最小值,从而z取得最大值.zmax=33=9.易错警示因为目标函数中y的系数为负值,所以容易理解为在点C处取得最大值,导致错误.25.(2018课标文,15,5分)若变量x,y满足约束条件2x+y

14、+30,x-2y+40,x-20,则z=x+13y的最大值是.答案3解析本题考查简单的线性规划.解法一:根据约束条件作出可行域,如图所示.z=x+13y可化为y=-3x+3z.求z的最大值可转化为求直线y=-3x+3z纵截距的最大值,显然当直线y=-3x+3z过A(2,3)时,纵截距最大,故zmax=2+133=3.解法二:画出可行域(如上图),由图知可行域为三角形区域,易求得顶点坐标分别为(2,3),(2,-7),(-2,1),将三点坐标代入,可知zmax=2+133=3.26.(2018浙江,12,6分)若x,y满足约束条件x-y0,2x+y6,x+y2,则z=x+3y的最小值是,最大值是

15、.答案-2;8解析本小题考查简单的线性规划.由约束条件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图.当直线y=-13x+z3过点C(4,-2)时,z=x+3y取得最小值-2,过点B(2,2)时,z=x+3y取得最大值8.思路分析(1)作出可行域,并求出顶点坐标.(2)平移直线y=-13x,当在y轴上的截距最小时,z=x+3y取得最小值,当在y轴上的截距最大时,z=x+3y取得最大值.27.(2016课标,13,5分)设x,y满足约束条件2x-y+10,x-2y-10,x1,则z=2x+3y-5的最小值为.答案-10解析可行域如图所示(包括边界),直线

16、2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过(-1,-1)时,z取最小值,zmin=-10.28.(2014安徽,13,5分)不等式组x+y-20,x+2y-40,x+3y-20表示的平面区域的面积为.答案4解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.由x+3y-2=0,x+2y-4=0得x=8,y=-2.A(0,2),B(2,0),C(8,-2).直线x+2y-4=0与x轴的交点D的坐标为(4,0).因此SABC=SABD+SBCD=1222+1222=4.故答案为4.29.(2013课标,14,5分,0.660)设x,y满足约束条件1x3,-1x-y0,则z

17、=2x-y的最大值为.答案3解析可行域为如图所示的阴影部分,由z=2x-y,得y=2x-z.-z的几何意义是直线y=2x-z在y轴上的截距,要使z最大,则-z最小,所以当直线y=2x-z过点A(3,3)时,z最大,最大值为23-3=3.30.(2012课标理,14,5分)设x,y满足约束条件x-y-1,x+y3,x0,y0,则z=x-2y的取值范围为.答案-3,3解析由不等式组画出可行域(如图所示).当直线x-2y-z=0过点B(1,2)时,zmin=-3;过点A(3,0)时,zmax=3.z=x-2y的取值范围是-3,3.评析本题考查了简单线性规划知识;考查了数形结合的思想方法.31.(2011课标文,14,5分)若变量x,y满足约束条件32x+y9,6x-y9,则z=x+2y的最小值为.答案-6解析画出约束条件所表示的平面区域,如图阴影部分所示:当目标函数表示的直线经过点A(4,-5)时,z有最小值,zmin=4+2(-5)=-6.失分警示本题易将平面区域画错或者将目标函数表示的直线的斜率看成12而致错.评析本题考查线性规划问题,正确作图是得分的前提.