2022版高中数学一轮复习 情境试题创新练（四）立体几何（理含解析）新人教A版.doc

1、情境试题创新练(四)立体几何1.据九章算术记载,“鳖臑(bi no)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一个“鳖臑”如图,PA底面ABC,ABBC,且PA=AB=BC,则异面直线PB与AC所成角的大小为()A. B. C. D. 【解析】选C.以B为原点,以 , 为x,y轴正方向,过B作平面ABC的垂线为z轴,向上为z轴正方向,建立空间直角坐标系,设PA=AB=BC=1,则P(0,1,1),B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0), =(0,-1,-1), =(1,-1,0),设异面直线PB与AC所成角的大小为,则cos= = = ,所以= .2.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美

2、的“黄金螺旋”,它的画法是:以斐波那契数:1,1,2,3,5为边的正方形拼成长方形,然后在每个正方形中画一个圆心角为90的圆弧,这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案,例如向日葵、鹦鹉螺等.下图为该螺旋线的前一部分,如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面,则该圆锥的底面半径为()A. B. C. D. 【解析】选C.由题意可知,接下来的一段圆弧长为半径为13的圆的周长的 ,用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面,则圆弧长等于圆锥的底面周长,设该圆锥的底面半径为r,则有2r= ,即r= .3.北方的冬天户外冰天雪地,若水管裸露在外,则管内的水就会

3、结冰从而冻裂水管,给用户生活带来不便.每年冬天来临前,工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”:在水管外面包裹保温带,用一条保温带盘旋而上一次包裹到位.某工作人员采用四层包裹法(除水管两端外包裹水管的保温带都是四层):如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线,相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一.设水管的直径与保温带的宽度都为4 cm.在图2水管的侧面展开图中,此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是(保温带厚度忽略不计)()A. B. C. D. 【解析】选D.过点A作AEDB,垂足为E,其展开图如图所示, 由水管直径为4 cm,所以水管的周长为AE=4cm,设ABE=,又BE= 4=1(c

4、m),AB= = ,所以cos = = = .4.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,从外表上看,六根等长的正四棱柱分成三组,经90榫卯起来,如图,若正四棱柱的高为8,底面正方形的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为(容器壁的厚度忽略不计)()A.21B.40C.41D.84【解析】选D.由球的对称性可知,当正四棱柱都处于正中间契合的时候,其外接球半径最小,所以,此时该球为底面边长分别为4,2,高为8的长方体的外

5、接球,设球的半径为R,所以2R= = ,所以R= ,所以球的最小表面积为4R2=4 =84.5.祖暅是我国齐梁时代的数学家,是祖冲之的儿子,他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高,这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.于是可把半径相等的半球(底面在下)和圆柱(圆柱高等于半径)放在同一水平面上,圆柱里再放一个半径和高都与圆柱相等的圆锥(锥尖朝下),研究圆柱里被圆锥截剩的立体,这样在同一高度用平行平面截得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相等,因此半球的体积等于圆柱中剩余立体的体积.设由椭圆

6、+ =1(ab0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(如图,称为“椭球体”),请类比以上所介绍的应用祖暅原理求球体体积的做法求这个椭球体的体积.其体积等于.【解析】椭圆的长半轴为a,短半轴为b,构造两个底面半径为b,高为a的圆柱,在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,即挖去的圆锥底面半径为b,高为a;根据祖暅原理得出椭球的体积为:V=2(V圆柱-V圆锥)=2(b2a- b2a)= ab2.答案: ab26.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上,四个顶点在圆锥底面上

7、),圆锥底面直径为10 cm,高为10 cm.打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g(取3.14).【解析】设被挖去的正方体的棱长为x cm,圆锥底面半径为r,则r= 10 =5 (cm),设高为h,则h=10 cm,则 = ,即 = ,解得x=5,打印所用原料密度为=0.9 g/cm3,取3.14,所以不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为:m=V=0.9 =0.9 3.14(5 )210-53 =358.5(g).答案:358.57.在北纬60圈上有甲、乙两地,它们的纬度圈上的弧长等于 R(R为地球半径),则甲、乙两地间的球心角的余弦值是.【解析】甲、乙两地用A,B表示,则北纬60圈的半径是r= R,北纬60圈上甲、乙两地的纬度圆上的弧长等于l= R,则甲、乙两地在北纬60圈的圆心角ACB= = ,所以甲、乙两地的距离是AB= R= R.设甲、乙两地的球心角为=AOB,则cos= = .答案: