2022版高中数学一轮复习 课时作业梯级练四十八 利用向量求空间角课时作业（理含解析）新人教A版.doc

1、课时作业梯级练四十八利用向量求空间角 一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图,点A,B,C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上, =(0,0,2),平面ABC的法向量为n=(2,1,2),设二面角C-AB-O的大小为,则cos =() A.- B. C. D.- 【解析】选C.因为点A,B,C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上, =(0,0,2),平面ABC的法向量为n=(2,1,2),二面角C-AB-O的大小为,所以cos = = = .2.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等

2、于()A.4B.2C.3D.1【解析】选B.由已知,平面OAB的一条斜线的方向向量 =(-1,3,2),所以点P到平面OAB的距离d=| |cos|= = =2.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为()A. B. C. D. 【解析】选B.以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则A1(0,0,1),E(1,0, ),D(0,1,0),所以 =(0,1,-1), = .设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),则有 即 所以 所以n1=(1,2,2).因为

3、平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以|cos|= = ,即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为 .4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC= ,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A. B. C. D. 【解析】选A.因为AB=1,AC=2,BC= ,AC2=BC2+AB2,所以ABBC.因为三棱柱为直三棱柱,所以BB1平面ABC.以B为原点,BC,BA,BB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则A(0,1,0),C( ,0,0).设B1(0,0,a),则C1( ,0,

4、a), 所以D ,E ,所以 = ,平面BB1C1C的法向量 =(0,1,0).设直线DE与平面BB1C1C所成的角为,则sin =|cos|= ,所以= .5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60,则AD的长为()A. B. C.2D. 【解析】选A.如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2).设AD=a,则D点坐标为(1,0,a), =(1,0,a), =(0,2,2).设平面B1CD的法

5、向量为m=(x,y,z).由 ,得 令z=-1,则m=(a,1,-1).又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),则由cos 60= ,得 = ,解得a= ,(负值舍去),所以AD= .二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,在正方形ABCD中,EFAB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AEEDAD=11 ,则AF与CE所成角的余弦值为.【解析】因为折后AEEDAD=11 ,所以AEED,即AE,DE,EF两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=EF=CD=2,则E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),所以 =(-1,2,0), =(0,

6、2,1),所以cos= = = ,所以AF与CE所成角的余弦值为 .答案: 7.如图,菱形ABCD中,ABC=60,AC与BD相交于点O,AE平面ABCD,CFAE,AB=2,CF=3.若直线OF与平面BED所成的角为45,则AE=.【解析】如图,以O为坐标原点,以OA,OB所在直线分别为x轴,y轴,以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系.设AE=a,则B(0, ,0),D(0,- ,0),F(-1,0,3),E(1,0,a),所以 =(-1,0,3), =(0,2 ,0), =(-1, ,-a).设平面BED的法向量为n=(x,y,z),则 即 则y=0,令z=1,得x=-a,所

7、以n=(-a,0,1),所以cos= = .因为直线OF与平面BED所成角的大小为45,所以 = ,解得a=2或a=- (舍去),所以AE=2.答案:28.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是.【解析】如图建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),所以 =(2,0,0), =(2,0,2), =(2,2,0).设平面A1BD的一个法向量n=(x,y,z),则 .令x=1,则n=(1,-1,-1),所以点D1到平面A1BD的距离d= = = .答案: 三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在三

8、棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1平面AA1C1C,D是AA1的中点,ACD是边长为1的等边三角形. (1)求证:CDB1D;(2)若BC= ,求二面角B-C1D-B1的大小.【解析】(1)因为ACD是边长为1的等边三角形,所以CD=1,A1D=A1C1=1,DA1C1= ,所以C1D= ,因为CC1=2,所以C =C1D2+CD2,所以CDDC1,因为B1C1平面AA1C1C,CD平面AA1C1C,所以CDB1C1,因为DC1,B1C1为平面B1C1D内两相交直线,所以CD平面B1C1D,因为B1D平面B1C1D,所以CDB1D;(2)以D为坐标原点,分别以DC1,DC,过D平行BC的直线

9、为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,则D(0,0,0),C1( ,0,0),B1( ,0, ),B(0,1, ),设平面BC1D的一个法向量为n1=(x,y,z),平面C1DB1的一个法向量为n2=(x1,y1,z1),由 得 所以x=0,令z=1,所以y=- ,所以n1=(0,- ,1),由 得 所以x1=z1=0,令y1=1,所以n2=(0,1,0),所以cos= = =- ,所以= ,因为二面角B-C1D-B1为锐二面角,所以二面角B-C1D-B1为 .10.如图甲,将直角边长为 的等腰直角三角形ABC,沿斜边上的高AD翻折.如图乙,使二面角B-AD-C的大小为 ,翻折后BC的

10、中点为M.(1)求证:BC平面ADM;(2)求二面角D-AB-C的余弦值.【解析】(1)折叠前AB=AC,AD是斜边上的高,所以D是BC的中点,所以BD=CD,又因为折叠后M是BC的中点,所以DMBC,折叠后AB=AC,所以AMBC,又因为AMDM=M,所以BC平面ADM;(2)建立如图空间直角坐标系, 易知二面角B-AD-C的平面角是BDC,则BD=BC=CD=AD=1,所以A(0,0,1),B ,C(0,1,0),D(0,0,0,),设平面ABD的一个法向量为n1=(x,y,z)得 ,即 ,令x=1,得n1=(1,- ,0),设平面ABC的一个法向量n2=(x1,y1,z1),得 即 ,令

11、z1=1,得n2= ,所以cos= = =- ,所以二面角D-AB-C的余弦值是 . 1.(5分)如图所示的三棱锥P-ABC中,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CBAB,PA平面ABC,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为()A.- B.- C. D. 【解析】选D.因为PA平面ABC,所以PAAB,PABC.过点A作AECB,又CBAB,则AP,AB,AE两两垂直.如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AE,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0). 因为D为PB的中点,所以D(2,0,1).

12、故 =(-4,2,2), =(2,0,1).所以cos= = = =- .设异面直线PC,AD所成的角为,则cos =|cos|= .2.(5分)在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A. B. C. D. 【解析】选C.以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D ,E ,F ,所以 =(0,0,-2), = , = .设平面DEF的

13、法向量为n=(x,y,z),则由 得 取z=1,则n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成的角为,则sin = = ,所以PA与平面DEF所成角的正弦值为 .3.(5分)(一题多解)已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为.【解析】方法一:延长FE,CB相交于点G,连接AG,如图所示.设正方体的棱长为3,则GB=BC=3,作BHAG于点H,连接EH,则EHB为所求锐二面角的平面角.求得BH= ,EB=1,所以tanEHB= = .方法二:如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1

14、所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,设DA=1,由已知条件得A(1,0,0),E ,F , = , = ,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为,由 得 令y=1,z=-3,x=-1,则n=(-1,1,-3),取平面ABC的法向量为m=(0,0,-1),则cos =|cos|= ,tan = .答案: 4.(10分)(2020全国卷)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)证明:点C1在平面AEF内;(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A

15、-EF-A1的正弦值.【命题意图】本题考查点在平面的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角,考查推理能力与计算能力.【解析】(1)在棱CC1上取点G,使得C1G= CG,连接DG,FG,C1E,C1F, 因为C1G= CG,BF=2FB1,所以CG= CC1= BB1=BF且CGBF,所以,四边形BCGF为平行四边形,所以BC􀱀GF,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD􀱀BC,所以AD􀱀GF,所以四边形ADGF为平行四边形.则AF􀱀DG,同理可证四边形DEC1G为平行四边形,所以C1E􀱀DG,所

16、以C1E􀱀AF,则四边形AEC1F为平行四边形,因此点C1在平面AEF内.(2)以点C1为坐标原点,C1D1、C1B1、C1C所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A 、A1 、E 、F , = , = , = , = ,设平面AEF的法向量为m= ,由 ,得 ,取z1=-1,得x1=y1=1,则m= .设平面A1EF的法向量为n= ,由 ,得 ,取z2=2,得x2=1,y2=4,则n= ,cos= = = ,设二面角A-EF-A1的平面角为,则 = ,所以sin = = .因此,二面角A-EF-A1的正弦值为 .【加练备选拔高】(2021贵港模拟)如图

17、,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,ACB=90,AA1=2AC,P是侧棱CC1上的点.(1)若APB=60,证明:P是CC1的中点;(2)若CP=3PC1,求二面角B-AP-C的余弦值.【解析】(1)由直三棱柱ABC-A1B1C1得C1C平面ABC,所以C1CAC,C1CBC,所以AP=BP,又APB=60,所以AP=BP=AB,又ACB=90,所以AP=AB= AC,所以PC=AC= AA1= CC1,即P是CC1的中点;(2)如图,以C为坐标原点,CA,CB和CC1分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系, 设AC=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,

18、0,3),所以 =(-2,2,0), =(-2,0,3),设平面BAP的法向量为n=(x,y,z),则由 得 ,令x=3,得y=3,z=2,所以n=(3,3,2),又平面CAP的法向量为m=(0,1,0),所以cos= = = .由图可知,二面角B-AP-C为锐二面角,故二面角B-AP-C的余弦值为 . 1.如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上, =.当APC为钝角时,的取值范围是()A. B. C. D. 【解析】选D.由题设可知,以 , , 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0)

19、,D1(0,0,1).由 =(1,1,-1),得 = =(,-),所以 = + =(-,-,)+(1,0,-1)=(1-,-,-1), = + =(-,-,)+(0,1,-1)=(-,1-,-1).显然APC不是平角,所以APC为钝角等价于cosAPC=cos= 0,这等价于 0,即(1-)(-)+(-)(1-)+(-1)2=(-1)(3-1)0,得 1.因此,的取值范围为 .2.在直角梯形ABCD中,ADBC,BC=2AD=2AB=2 ,ABC=90,如图所示,把ABD沿BD翻折,使得平面ABD平面BCD,如图所示.(1)求证:CDAB;(2)若点M为线段BC的中点,求DM与平面ACD所成角

20、的正弦值;(3)在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACD所成的角为60?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)由已知条件可得,BD=2,CD=2,又BD2+CD2=BC2,所以CDBD.因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,所以CD平面ABD.因为AB平面ABD,所以CDAB.(2)以点D为原点,BD所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系, 如图所示,则各相关点的坐标为A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0).所以 =(0,-2,0), =(-1,0,-1), =(-1,1,0), =(1

21、,1,0).设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则 n, n,所以 令x=1得平面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1).若DM与平面ACD所成的角为,则DM与平面ACD所成角的正弦值为sin =|cos|= = .(3)假设在线段BC上存在点N,使得AN与平面ACD所成的角为60.设 = ,01,则N(2-2,2,0),所以 =(1-2,2,-1).因为平面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1),且直线AN与平面ACD所成的角为60,所以sin 60= = ,整理得82+2-1=0,所以= 或=- (舍去).综上所述,在线段BC上存在点N,使AN与平面ACD所成的角为60,此时 = .