新课改地区2021版高考数学一轮复习第八章立体几何初步8.4空间中的垂直关系练习新人教B版.doc

1、8.4 空间中的垂直关系核心考点精准研析考点一垂直关系的基本问题1.已知,表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则“”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:若ml,且m,则l;若,m,n,则mn;若,则;如果mn,m,n,则.则错误的命题为()A.B.C.D.3.如图,在三棱锥A-BCD中,ACAB,BCBD,平面ABC平面BCD.ACBD;平面ABC平面ABD;平面ACD平面ABD.以上结论中正确的个数有()A.1B.2C.3D.04.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是

2、正六边形,PA平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是()A.PBADB.平面PAB平面PBCC.直线BC平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45【解析】1.选B.由平面与平面垂直的判定定理知:若m为平面内的一条直线,m,则,反过来则不一定.所以“”是“m”的必要不充分条件.2.选D.若ml,且m,则l是正确的,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.若,m,n,则mn是错误的,当m和n平行或相交(不垂直)时,也可能满足前边的条件;若,则,不对,垂直于同一个平面的两个平面也可以是相交的;如果mn,m,n,则是错误的,平面和可以相交或平行.3.选C.因为平面ABC平面

3、BCD,平面ABC平面BCD=BC,BCBD,所以BD平面ABC,又AC平面ABC,所以BDAC,故正确.因为BDAC,BDBC,ACBC=C,所以BD平面ABC,又因为BD平面ABD,所以平面ABD平面ABC,故正确.因为ACAB,BDAC,ABBD=B,所以AC平面ABD,又AC平面ACD,所以平面ACD平面ABD,故正确.4.选D.若PBAD,因为PA平面ABC,所以PAAD,所以AD平面PAB,所以ADAB,矛盾,所以A错误.过点A作AM垂直于PB,垂足为M,连接CM,在直角三角形PAB中,设AB=1,则PA=2,PB=,AM=,BM=,又因为AC=,所以PC=,所以cosPBC =-

4、,所以CM=,所以在三角形AMC中,cosAMC=-,所以AM与MC不垂直,所以B错误.因为在棱锥的底面内,直线BC与直线AE相交,所以BC与平面PAE相交,所以C错误.在RtPAD中,PA=AD=2AB,所以PDA=45.所以直线PD与平面ABC所成的角为45.与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图通过空间想象来判断.(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.【秒杀绝招】排除法解T2,选D.若ml,且m,则l是正确的,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直

5、于这个平面,故正确,排除A,B,C,选D.考点二空间角及其应用【典例】1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,二面角C1-BD-C的大小为_.2.如图,AB是O的直径,PA垂直于O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.(1)证明:PBC是直角三角形;(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【解题导思】序号联想解题1要求二面角,想到先作出二面角的平面角,进而设法求解.2(1)要证PBC是直角三角形,想到证两条边垂直;(2)要求线面角,想到找到或作出角,再求解.【解析】1.如图,连接AC交BD

6、于点O,连接C1O,因为C1D=C1B,O为BD中点,所以C1OBD.因为ACBD,所以C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,在RtC1CO中,C1C=,则C1O=2,所以sinC1OC=,所以C1OC=30.答案:302.(1)因为AB是O的直径,C是圆周上不同于A,B的一动点,所以BCAC.因为PA平面ABC,所以BCPA,又PAAC=A,PA,AC平面PAC,所以BC平面PAC,所以BCPC,所以PBC是直角三角形.(2)如图,过A作AHPC于H,连接BH.因为BC平面PAC,AH平面PAC,所以BCAH,又PCBC=C,PC,BC平面PBC,所以AH平面PBC,所以ABH是直线AB与

7、平面PBC所成的角,因为PA平面ABC,所以PCA即是PC与平面ABC所成的角,因为tanPCA =,又PA=2,所以AC=,所以在RtPAC中,AH=,所以在RtABH中,sinABH=,即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.1.求直线与平面所成的角的一般步骤(1)找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;(2)计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.2.作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定义法,也可以通过垂面法进行,即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角.在正方

8、体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选D.如图,连接BD交AC于O,连接D1O,由于BB1DD1,所以DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角.易知DD1O即为所求的角.设正方体的棱长为1,则DD1=1,DO=,D1O=,所以cosDD1O=.所以BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.考点三直线、平面垂直,面面垂直的判定与性质命题精解读考什么:(1)考查证明线线垂直、线面垂直、面面垂直.(2)考查直观想象与逻辑推理的核心素养.怎么考:考查在柱、锥、台体中证明线面的垂直关系.新趋势:以柱、锥、台体为载体,与平行、距离

9、、空间角结合命题.学霸好方法1.(1)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(2)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直.2.(1)判定面面垂直的方法:定义法:证明两平面形成的二面角是直角.判定定理法:a,a.(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.3.交汇问题: 解决距离、空间角交汇时,常需要先证明线面垂直.直线、平面垂直的判定与性质【典例】如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=DB,点C为圆O上一点,且

10、BC=AC,PD平面ABC,PD=DB.求证:PACD.【证明】因为AB为圆O的直径,所以ACCB,在RtABC中,由AC=BC得ABC=30,设AD=1,由3AD=DB得,DB=3,BC=2,由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DBBCcos 30=3,所以CD2+DB2=BC2,即CDAO.因为PD平面ABC,CD平面ABC,所以PDCD,由PDAO=D得,CD平面PAB,又因为PA平面PAB,所以PACD.面面垂直的判定与性质【典例】(2018全国卷)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90,以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA. (1)证明:平

11、面ACD平面ABC.(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.【解析】(1)由已知可得,BAC=90,则BAAC.又BAAD,ADAC=A,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.作QEAC,垂足为E,则QECD且QE=DC=1.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,因此,三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=QESABP=132sin 45=1.1.如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,AB=AC=a,BC=a.求

12、证:平面PAB平面PAC.【证明】因为PA平面ABC,所以PAAB,PAAC,所以BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又AB=AC=a,BC=a,所以BAC=90,所以平面PAB平面PAC.2.如图,在ABC中,AC=BC=AB,四边形ABED是边长为1的正方形,平面ABED底面ABC,G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:GF平面ABC.(2)求几何体C-ADEB的体积.【解析】(1)如图,取BC的中点M,AB的中点N,连接GM,FN,MN.因为G,F分别是EC,BD的中点,所以GMBE,且GM=BE,NFDA,且NF=DA.又四边形ABED为正方形,所以BEAD,BE=AD,所以GM

13、NF且GM=NF.所以四边形MNFG为平行四边形.所以GFMN,又MN平面ABC,GF平面ABC,所以GF平面ABC.(2)连接CN,因为AC=BC,所以CNAB,又平面ABED平面ABC,CN平面ABC,所以CN平面ABED.易知ABC是等腰直角三角形,所以CN=AB=,因为C-ABED是四棱锥,所以VC-ABED=S四边形ABEDCN=1=.1.如图,已知PA平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MNCD.(2)若PDA=45,求证:MN平面PCD.【证明】(1)如图所示,取PD的中点E,连接AE,NE,因为N是PC的中点,E为PD的中点,所以NE

14、CD,且NE=CD,而AMCD,且AM=AB=CD,所以NEAM,所以四边形AMNE为平行四边形,所以MNAE.又PA平面ABCD,所以PACD,又因为ABCD为矩形,所以ADCD.而ADPA=A,AD,PA平面PAD,所以CD平面PAD,所以CDAE.又AEMN,所以MNCD.(2)因为PA平面ABCD,所以PAAD,又PDA=45,所以PAD为等腰直角三角形.又E为PD的中点,所以AEPD,又由(1)知CDAE,PDCD=D,CD,PD平面PDC,所以AE平面PCD.又AEMN,所以MN平面PCD.2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1BC,A1AC=60,A1A=AC=BC=1

15、,A1B=.(1)求证:平面A1BC平面ACC1A1.(2)如果D为AB中点,求证:BC1平面A1CD.【证明】(1)因为A1AC=60,A1A=AC=1,所以A1AC为等边三角形,所以A1C=1.因为BC=1,A1B=,所以A1C2+BC2=A1B2.所以A1CB=90,即A1CBC.因为BCA1A,BCA1C,AA1A1C=A1,所以BC平面ACC1A1.因为BC平面A1BC,所以平面A1BC平面ACC1A1.(2)连接AC1交A1C于点O,连接OD.因为ACC1A1为平行四边形,所以O为AC1的中点.因为D为AB的中点,所以ODBC1.因为OD平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.