江苏版2018年高考数学一轮复习专题9.6双曲线讲.doc

1、专题9.6 双曲线【考纲解读】内 容要 求备注ABC圆锥曲线与方程中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质1掌握双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程2掌握双曲线的几何性质3了解双曲线的一些实际应用【直击考点】题组一 常识题1已知双曲线两个焦点分别为F1(5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为_【解析】由已知可知，双曲线的焦点在x轴上，且c5，a3，b4，故所求双曲线的标准方程为1.2已知双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为_【解析】双曲线1的渐近线方程为3xay0，与已知方程比较系数得a2.

2、3已知双曲线1(a0)的右焦点为点(3，0)，则该双曲线的离心率等于_题组二常错题4动点P到点A(4，0)的距离比到点B(4，0)的距离多6，则动点P的轨迹是_【解析】依题意有|PA|PB|60，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为_【解析】由，得5，即5，所以4，得2，所以，渐近线方程为y2x.8已知双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0平行，则双曲线的方程为_【解析】依题意，2a4，2，所以a2，b4，所以双曲线的方程为1.【知识清单】考点1 双曲线的定义及标准方程1双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的

3、绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离2双曲线的标准方程标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形考点2 双曲线的简单几何性质双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)考点3 直线

4、和双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点；若即，0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点【考点深度剖析】除与椭圆有相同的重点及考点之外，在高考中还经常考查双曲线独有的性质渐近线，以双曲线为载体考查方程、性质，也是高考命题的热点【重点难点突破】考点1 双曲线的定义及标准方程【1-1】设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4

5、|PF2|，则PF1F2的面积等于_ 【答案】24【解析】双曲线的实轴长为2，焦距为2510.据题意和双曲线的定义知，2，.，.【1-2】已知F1，F2为双曲线1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为_【答案】2【1-3】已知双曲线C：=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为_【答案】=1 【解析】双曲线C：=1 的渐近线方程为y ,双曲线C：=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上 ,2c=10，a=2b , c2=a2+b2 , a2=20，b2=5 ,C的方程为=1 【1-4】与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6

6、,8)的双曲线的标准方程为_【答案】【解析】设所求双曲线为，把点(6,8)代入，得,解得 =-4，所求的双曲线的标准方程为故答案为：【1-5】双曲线的焦点为,且经过点,则其标准方程为_【答案】【思想方法】1.待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线1共渐近线的可设为(0)；(2)若渐近线方程为yx，则可设为(0)；(3)若过两个已知点则设为1(mn0，b0)的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好 落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为_【答案】2【2-3】斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是_【答案】【解析】如图

7、,要使斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需即可,从而有所以有离心率.【2-4】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于 轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_【答案】【2-5】双曲线C:的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于_【答案】4【解析】由已知可知渐近线的斜率k=且，即 且解得=1，所以c=2,2c=4. 【思想方法】1双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a0，b0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同若ab0，则双曲线的离心率e(1，)；若ab0，则双曲线的离心率e；若0ab，则双曲线的离心率e.2注

8、意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.3等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)4双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b5渐近线与离心率1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为 .可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小【温馨提醒】1、充分利用条件列关于的等式或不等式，可得离心率的取值或取值范围；2、双曲线的渐近线是与之间的比值关系，再结合，可得的关系，及离心率的关系，从这点而言，渐近线方程和离心率是有联系的考点3 直线和双曲线的位置关系【3-1】在

9、双曲线上求一点，使到直线的距离最短【解析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为：联立化简得（*），故切线方程为：代入双曲线方程解得（）【3-2】已知直线和双曲线相交于A，B两点，线段AB的中点为M.设直线的斜率为k1(k10)，直线OM的斜率为k2,则k1k2=_【答案】【3-3】已知双曲线方程是x21，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P(2，1)为P1P2的中点，则此直线方程是_【答案】4xy70【解析】设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由1，1，得k4，从而所求方程为4xy70.将此直线方程与双曲线方程联立得14x256x510，0，故此直线满足条件【3-

10、4】已知F是双曲线C:-=1(a0,b0)的左焦点,B1B2是双曲线的虚轴,M是OB1的中点,过F、M的直线与双曲线C的一个交点为A,且=2,则双曲线C离心率是.【答案】【3-5】已知函数是坐标原点O为中心的双曲线，在此双曲线的两支上分别取点，则线段的最小值为_.【答案】【解析】根据双曲线的性质，当直线经过双曲线的中心被双曲线截得的实轴长是线段是PQ的最小值，设点，则，.【思想方法】1、设直线交双曲线于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：2、若遇中点问题，可以利用“点差法”或者韦达定理处理【温馨提醒】1、直线和双曲线的位置关系可以从方程的角度求解，把交点个数以及范围问

11、题，转化为方程解的个数以及解的范围问题；2、涉及弦长和中点问题时，要考虑“设而不求”技巧【易错试题常警惕】忽视“判别式”致误典例(12分)已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？易错分析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误规范解答失误与防范1区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.2双曲线的离心率e(1，)，而椭圆的离心率e(0,1)3双曲线1 (a0，b0)的渐近线方程是yx，1 (a0，b0)的渐近线方程是yx.4若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点