河南省开封市2020届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）.doc

1、河南省开封市2020届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式求得集合，并计算，然后根据一元一

2、次不等式可得，最后根据交集的概念可得结果.【详解】由或所以或，则所以故选：D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法以及集合的运算，考查基础知识的认识，属基础题.2. 如图，在平行四边形中，顶点，在复平面内分别表示0，则点对应的复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平行四边形法则，求得，利用复数的运算法则求得结果.【详解】，所以对应的复数为，即点对应的复数为，故选：A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数在复平面内对应点的坐标的求解，属于基础题目.3. 设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.

3、充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得到结论【详解】由ab，当ab0时，不等式a|a|b|b|等价为aabb，此时成立当0ab时，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立当a0b时，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立，即充分性成立；由a|a|b|b|，当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab当a0，b0时，ab当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即a

4、b即必要性成立，综上可得“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件，故选：C【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及不等式的基本性质的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题.4. 随着年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长下面是年至年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是（ ）A. 年至年，中国雪场滑雪人次逐年增加B. 年至年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加C. 年与年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D. 年与年相比，中国雪场滑雪人次

5、增长率约为【答案】C【解析】【分析】观察年至年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，结合统计图的性质能求出结果【详解】由年至年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，得：对于A，年至年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故A正确；对于B，年至年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故B正确；对于C，年与年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数也不相等，年比年增长人数多，故C错误；对于D，年与年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为：故D正确故选：C【点睛】本题考查统计图表的应用，考查学生的数据分析能力，属于基础题.5. 执行如图的程序框图，若输入x的值为，则输出的

6、y（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】根据程序模拟运行,当满足条件时，计算的值，并再次进入循环体，当不满足条件时退出循环，计算并输出的值，即可求解.【详解】解：开始：输入,进入循环，满足条件,计算x，第二次进入循环，满足条件,计算x1log241，第三次进入循环，不满足条件,退出循环，计算输出,故选：B【点睛】本题考查程序框图的输入输出值的确定，涉及循环结构，对数运算，属基础题，难度较易.6. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】首先利

7、用辅助角公式化简，然后根据平移公式，判断平移方向和平移单位量.【详解】，根据平移左加右减的原则可知，向左平移个单位长度.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的平移问题.需注意平移前后的解析式，这种类型的平移量，需要提出，平移量为个单位.属于较易题.7. 若函数在x2处有极大值，则常数c为（ ）A. 2B. 6C. 2或6D. -2或-6【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，则，求出c值然后再代回去检验函数的导数在处左侧为正数，右侧为负数因为满足这个条件才能说在处取得极大值【详解】函数，它的导数为，由题意知，在x2处导数值为，c6，或c2，又函数在x2处有极大值，故导数值在x2处左侧为正数

8、，右侧为负数.当c2时，不满足导数值在x2处左侧为正数，右侧为负数.当c6时，满足导数值在x2处左侧为正数，右侧为负数.故c6.故选B.【点睛】函数在处取得极值的充要条件是：1） 2)导函数在处两端异号所以此类题先求，再判断导函数在处是否异号即可8. 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，根据题意求得直线与轴和直线的交点坐标，根据题意得出关于的等式，进而可求得的值.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图所示：直线交轴于点，交轴于点，.当直线过原点时，联立，解得，即点，则的面积为，当

9、不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，直线位于直线的上方，此时，直线交轴于点，联立，解得，即点，由题意可知，解得，得，解得，因此，.故选：D.【点睛】本题考查利用不等式组所表示的平面区域的面积求参数，解答的关键在于求得直线所过的点的坐标，考查计算能力，属于中等题.9. 已知A是ABC的一个内角，且sinA+cosAa，其中a（0，1），则关于tanA的值，以下答案中，可能正确的是（ ）A. 2B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】把已知的等式两边平方，由同角三角函数间的基本关系化简后，得到2sinAcosAa210，进而得到cosA0，得到sinAcosA，再结合三角函数

10、的基本关系式，求得tanA值的范围，即可判断出符合题意的tanA值的可能值【详解】由sinA+cosAa，两边平方得：（sinA+cosA）2a2，即sin2A+cos2A+2sinAcosA1+2sinAcosAa2，又因为a（0，1），所以2sinAcosAa210，因为0A，得到，所以cosA0，又由sinA+cosAa0，所以sinAcosA0，则tanA1比较四个选项，只有A正确故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数基本关系式的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题.10. 某地有，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的.对于因为难以判定是受还是受感染的，

11、于是假定他受和感染的概率都是.同样也假定受，和感染的概率都是.在这种假定下，中恰有两人直接受感染的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设直接受A感染为事件B、C、D，分析题意得出，中恰有两人直接受感染为事件，利用公式求得结果.【详解】根据题意得出：因为直接受A感染的人至少是B，而C、D二人也有可能是由A感染的，设直接受A感染为事件B、C、D，则事件B、C、D是相互独立的，表明除了外，二人中恰有一人是由A感染的，所以，所以B、C、D中直接受A传染的人数为2的概率为，故选：C.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有随机事件发生的概率，相互独立事件同时发生的概

12、率公式和互斥事件有一个发生的概率公式，属于简单题目.11. 若函数对、，同时满足：（1）当时有；（2）当时有，则称为函数下列函数中：；.是函数的为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得满足是上的奇函数，且为增函数，称为函数，由函数的奇偶性和单调性与导数之间的关系，分别判断、的函数的奇偶性和单调性，可得所求结论【详解】由（1）当时有，即为，则为上的奇函数；由（2）当时有，即为，可得为上的增函数，则函数为上的奇函数，且为增函数由，定义域为，,即为奇函数，又，可得为上的增函数，故是函数；，定义域为，即为奇函数，又，可得为上的增函数，故是函数；，定义域为，可得为偶函数，故不

13、是函数；，定义域为，时，可得为奇函数，又在，上单调递增，但在上不为增函数，比如，故不是函数故选：A【点睛】本题考查函数的新定义，主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，考查推理能力，属于中等题.12. 已知三棱锥中，平面，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据题意得到当的面积最大时，此时三棱锥的体积最大，设，利用正弦定理和余弦定理得到，从而得到当时，最大，再将三棱锥放入直三棱柱中，求外接球体积即可.【详解】如图所示：因为平面，所以当的面积最大时，此时三棱锥的体积最大.设，则，所以.所以，当，即时，最大.当时，则.将三棱锥放入直三棱柱中，

14、分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为，则的中点为直三棱柱外接球球心，设外接球半径为，如图所示：根据正弦定理，解得，所以.故外接球体积.故选：D【点睛】本题主要考查三棱锥外接球，根据题意求出三棱锥的体积最大值为解题的难点，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知为等差数列的前项和，若，则_.【答案】0【解析】【分析】设等差数列的公差为d，由已知结合等差数列的通项公式及求和公式得到即得的值.【详解】设等差数列的公差为d，由，所以则故答案为：0【点睛】本题主要考查等差数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14. 若平面向量，满足，则_.【答案】

15、【解析】【分析】由平面向量模的运算可得：，则即可得解【详解】因为向量，满足，所以，由得：，即，故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题15. 已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则的离心率_.【答案】【解析】【分析】设为双曲线的右焦点，为双曲线在第一象限内的点，由题意可知，代入计算得到答案.【详解】设为双曲线的右焦点，为双曲线在第一象限内的点，由题意可知，代入双曲线方程得，即，又，解得.故答案为：.【点睛】该题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于简单题目.16. 在中，角，的对边

16、分别为，若，则_，的面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】首先根据，切化弦整理得到，利用正弦和角公式以及诱导公式得到，再借助于正弦定理，利用题中所给的边长，求得，利用同角三角函数关系式求得，之后利用面积公式直接计算【详解】因为，所以，即，所以，由正弦定理可得，所以求得，又因为，所以，故答案为：；.【点睛】该题考查是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦和角公式，正弦定理，三角形面积公式，属于简单题目三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必

17、考题：共60分.17. 已知数列满足：，.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）依题意化简式子可得，根据等比数列的定义可得结果.（2）根据（1）的结论可得，然后利用错位相减的方法进行求和，可得结果.【详解】（1）由，得，则，又，所以所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，.，则，所以.【点睛】本题考查了利用定义证明等比数列,考查了错位相减法求和,熟悉常用的求和公式：公式法、裂项相消法、错位相减法，属于中档题.18. 如图，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，分别为和的中点，且.（1）证明：平面

18、平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）首先连接，根据题意易证，从而得到平面，再根据面面垂直的判定即可得到平面平面.（2）首先根据得到与平面所的成角等于与平面所成角，再以为原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角即可.【详解】连接，如图所示：四边形是边长为2的正方形，是的中点，也是的中点，又是的中点，平面，又平面，平面平面.（2）由（1）知，与平面所的成角等于与平面所成角，取中点，连接，是边长为2等边三角形，且，由（1）知平面平面，故平面，以为原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面的法向量为

19、，则，令，设与平面所成角为，则，与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查向量法求解线面角，同时考查学生的计算能力，属于中档题.19. 已知椭圆：的上顶点与左、右焦点，构成一个面积为1的直角三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相切，求证：点，到直线的距离之积为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用已知条件可得，求出，利用的关系求，即可得出结果. （2）首先讨论直线的斜率是否存在，当不存在时直线的方程为，求出点，到直线的距离之积；当存在时设其方程为，与椭圆的方程联立消元，让，得出的关系式，求出点，到直线的距离之积，即可证明出

20、结论.【详解】（1）解：椭圆的上顶点与左、右焦点，构成一个面积为1的直角三角形，椭圆的方程为.（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，点，到直线的距离之积为，当直线的斜率存在时，设其方程为，联立得，点到直线：的距离，点到直线：的距离.综上，可知当直线与椭圆相切时，点，到直线的距离之积为定值1.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系.属于中档题.20. 已知函数在处的切线方程为.（1）求，值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）求出导函数，根据切线斜率和切点纵坐标建立方程组即可求解；（2）分离参数，求出的最小值即可得解.【

21、详解】解：（1），因为函数在处的切线为，所以，解得，.（2）由得：，即，令，则，令， ,在单调递增，在存在零点，即，令由于，所以在单调递增，故，即，在减，在增，所以.【点睛】此题考查导数的几何意义，根据曲线上某点处的切线方程求解参数值，涉及参数的不等式问题利用分离参数，对新函数利用导函数讨论函数单调性解决最值问题，属于难题.21. 当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）

22、对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：30.5151546.5表中，.（1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.（2）已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？（3）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下

23、：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）.附：若随机变量，则，.【答案】（1）更适合作为关于的回归方程类型，；（2）54千万元；（3）2.27元.【解析】【分析】（1）观察散点图中各点更靠近曲线，因此得结论；对取对数有，即这是线性的方程，根据已知数据求出系数后可得回归方程；（2）把（1）的结论代入，利用导数求出最大值；（3）根据正态分布的概率公式计算出，由期望公式可得期望【详解】解：（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型.对两边取对数，得，即，由表中数据得：，所以，所以关于的回归方程为.（2）

24、，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减.所以预计下一年投入千万元时，年利润取得最大值为千万元.（3）因为，所以，（元）.【点睛】本题考查回归分析，考查用导数求最值，考查正态分布的概率公式，非线性的回归方程可通过取对数化为线性回归直线方程，从而求出，本题考查学生的数据处理能力，运算求解能力属于中档题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多选，则按所做的第一题计分.选修44：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1和C2在第一象限交于点A（1）求

25、点A的直角坐标；（2）直线与曲线C1，C2在第一象限分别交于点B，C，若ABC的面积为，求的值【答案】（1）（）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用三角形面积公式和三角函数关系式，求出结果【详解】（1）曲线C1的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为.根据转换为极坐标方程为. 联立曲线C1和C2得到：，解得，即转换为直角坐标为（）（2）连接OA，由（1）得：，可得：|OA|，将直线与曲线C1和C2联立可得：，.， ，所以则：SABCSAOCSAOB，整理得，所以【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、三角形面积公式、三角函数关系式，考查了数学运算能力，逻辑推理能力，转化数学思维，属于中档题.选修45：不等式选讲23. 关于x的不等式的解集为A，且A，A（1）求m的值；（2）设a，b，c为正实数，且，求的最大值【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）根据集合的特点可得A，A，从而得到关于的不等式，即可得答案；（2）利用基本不等式，即可得答案；【详解】（1）A，A，.（2）a，b，c为正实数，且，当且仅当时取等号最大值为3【点睛】本题考查利用不等式的解集确定参数值，以及利用基本不等式求最值，属综合基础题.