《单元测试》2022-2023学年高一年级北师大版（2019）数学必修一第一章 预备知识 WORD版含解析.docx

1、第一章预备知识学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设实数a,b,c满足：ab1,c1，则下列不等式中不成立的是()A. baa+bcb+acaB. 1aa+bcb+acbC. 1ca+bcb+accD. 1aba+bcb+acNB. MNC. M0，b0，则“a+b4”是“ab4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯

2、每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是()A. 10x20B. 15x20C. 15x20D. 10x0，b0，则下列不等式中不恒成立的是()A. a+1a2B. a2+b22(a+b-1)C. |a-b|a-bD. a3+b32ab28. 已知正数x，y，z满足x2+y2+z2=1，则S=1+z2xyz的最小值为()A. 3B. 3(3+1)2C. 4D. 2(2+1)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9. 对于实数a，b，c，下列命题中正确的是()A. 若ab则acbc；B. 若ababb2；C.

3、若cab0，则ac-abc-b；D. 若ab，1a1b，则a0，b010. 已知a、b均为正实数，则下列不等式不一定成立的是()A. a+b+1ab3B. a+b1a+1b4C. a2+b2aba+bD. 2aba+bab11. 已知关于x的不等式a34x2-3x+4b，下列结论正确的是()A. 当ab127三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若不等式ax2+bx-10的解集是x|1x0的解集为14. 写出一个一元二次不等式，使它的解集为-,1-21+2,+15. 已知x0，y0，满足x+2y+2x+1y=6，且对于任意x，y，mx+2y恒成立，则实数m的最大值为16. 长沙市为

4、了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“队伍构成满足以下条件：(1)有中学高级教师;(2)中学教师不多于小学教师;(3)小学高级教师少于中学中级教师;(4)小学中级教师少于小学高级教师;(5)支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级;(6)无论是否把我计算在内，以上条件都成立.”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题12.0分)已知全集U=R，集合A=x|-42(1)若m=1，求AB；(2)在xB，x

5、C这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答问题：已知p：xA，q：_，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围18. (本小题12.0分)已知a，b，c为正实数，且a+b+c=1，证明下列不等式：(1)(1a-1)(1b-1)(1c-1)8；(2)ab+c+ba+c+ca+b32；(3)bca+acb+abc119. (本小题12.0分)已知不等式ax2+4x+36的解集为x|xb(1)求a，b；(2)若c3，解不等式ax2-a(b+c)x-bc020. (本小题12.0分)十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察

6、和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员x(x0)户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4x，而从事水果加工的农民平均每户收入将为3(a-3x50)(a0)万元(1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值21. (本小题12.0分)(1

7、)已知正数x、y满足x+y=1，求1x+41+y的最小值;(2)求函数y=x2+7x+10x+1(x-1)的最小值;(3)已知x0,y0,z0，且x+y+z=6.求证：xy+yz+xz1222. (本小题12.0分)已知abc，a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求证：(1)1a+b43;(2)89a2+b2b1，c1，(a+bc)-(b+ac)=(a-b)(1-c)0，a+bcb+acb+bca+ac=ba，成立；B. 由A可得：a+bcb+acba1a，成立；C.a+bcb+ac1c=ac+bc2ac+bac+bac+b=1，成立D.令a=4，b=1.21，c=1000，则1ab=141

8、.21=5110.45，a+bcb+ac=4+1.2110001.21+410000.30a+bcb+ac，不成立故选D2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了基本不等式，注意满足条件“一正二定三相等”，属于中档题将已知变形为m+15+n+25=1，得到1m+1+1n+2=(1m+1+1n+2)(m+15+n+25)，展开后再根据基本不等式求出代数式的最小值即可【解答】解：正数m，n满足m+n=2，(m+1)+(n+2)=5，m+15+n+25=1，m+10，n+20，1m+1+1n+2=(1m+1+1n+2)(m+15+n+25)=25+n+25(m+1)+m+15(n+2)25+2n+25

9、(m+1)m+15(n+2)=45，当且仅当n+25(m+1)=m+15(n+2)，即m=32，n=12时“=”成立，故选B3.【答案】C【解析】【分析】本题考查作差法比较大小，属于基础题做差可得M-N=(a-c)22abc，因为a，b，c都是负数且互不相等，可得M-N0，即可得出结果【解答】解：M-N=1a+1c-2b=a+cac-2b=2bac-2b=2(b2-ac)abc=2abc(a+c)24-ac=(a-c)22abc，因为a，b，c都是负数且互不相等，所以M-N0，即M0，b0，所以a+b2ab，当且仅当a=b时等号成立，由a+b4可得2ab4，解得ab4，当且仅当a=b时等号成立

10、，所以充分性成立; 当ab4时，取a=8，b=13，满足ab4，但a+b4，所以必要性不成立所以“a+b4”是“ab4”的充分不必要条件故选A5.【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式的实际应用，考查一元二次不等式的解法，属于中档题首先根据题意建立不等关系，再利用一元二次不等式的解法求解即可【解答】解：由题意可知，x30-2(x-15)400，化简得，x2-30x+2000，(x-10)(x-20)0，解得10x20，又每盏最低售价为15元，15x0，n0，4a+3b-1=0，4(m-n)+3(2n-m)-1=0，整理得m+2n=1，又由12a+b+1a+b=1m+1n=(1m+1n)(m+

11、2n)=3+2nm+mn3+22nmmn=3+22，当且仅当2nm=mn，即m=2n，即m=2-1,n=1-22时，等号成立，12a+b+1a+b的最小值为3+22故选：A7.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式性质和基本不等式，属于较难题可利用不等式的性质和特殊值法即可求解；【解答】解：由a0，b0，得a+1a2a1a=2，当且仅当a=1时，等号成立，故选项A恒成立;由a2+b2-2(a+b-1)=(a-1)2+(b-1)20，得选项B恒成立;由(a+b)2(a-b)2，得(a+b)2(a-b)2(a-b)4，即(a-b)2(a-b)4，故选项C恒成立;取a=13，b=12，则a3+b3

12、2ab2不成立，故选项D不恒成立，故选D8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力和推理能力，难度较大由z(1-z)(z+1-z2)2=14以及1-z2=x2+y22xy进行变形即可求解，注意等号成立的条件【解答】解：由题意可得0z1，01-z1，z(1-z)(z+1-z2)2=14，当且仅当z=1-z，即z=12时取等号，又x2+y2+z2=1，1-z2=x2+y22xy，当且仅当x=y时取等号，1-z22xy1，(1+z)(1-z)2xy1，即1+z2xy11-z，1+z2xyz1(1-z)z4，当且仅当x=y=64且z=12时取等号，S=1+z2xyz

13、的最小值为4故选C9.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查命题真假，用到了不等式性质，特值的思想方法，属于中档题选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果【解答】解：A.c=0时不成立；B.若ab0，a2ab；ab-b2=b(a-b)0，abb2，a2abb2，故B正确；C.若cab0，则ac-a-bc-b=ac-ab-bc+abc-ac-b=ca-bc-ac-b0，故C正确；D.若ab，1a1b，则1a-1b=b-aab0，所以a0，b0，故D正确故选BCD10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查基本不等式的变形及应用根据基本不等式a,bR+,a+b2ab(当且仅当

14、a=b时取等)及不等式a2+b22ab(当且仅当a=b时取等)以及不等式的性质即可判断每个不等式是否成立，从而得出结果【解答】解：对于A，a+b+1ab2ab+1ab22，当且仅当a=b=22时等号同时成立，而22215，此时2aba+bab故选AD11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系在同一平面直角坐标系中作出函数y=34x2-3x+4=34(x-2)2+1的图象及直线y=a和y=b，根据函数图象逐项判断即可【解答】解：在同一平面直角坐标系中作出函数y=34x2-3x+4=34(x-2)2+1的图象及直线y=a和y=b，如图所示，由图知，34x

15、2-3x+41，从而当ab0，且a+b+c=1，1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=12(a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)+2ab+2ac+2bcab+bc+ac+2ab+2ac+2bc=3ab+3ac+3bc=3(ab+ac+bc)，当且仅当a=b=c=13时取等号，ab+bc+ac13，故A正确；B，a，b，c0，且a+b+c=1，1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=3+(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)3+2+2+2=9，当且仅当a=b=c=13时取等号，故B正确；C，a，b，c0，且a+b+c=1，(1a-1)

16、(1b-1)(1c-1)=(1-a)(1-b)(1-c)abc=1-(a+b+c)+ab+ac+bc-abcabc=1c+1b+1a-1，由B可知1a+1b+1c9，故(1a-1)(1b-1)(1c-1)=1c+1b+1a-18，当且仅当a=b=c=13时取等号，故C正确；D，当a=b=c=13时，abc=127，故D错误故选ABC13.【答案】(23,2)【解析】【分析】本题考查一元二次不等式与分式不等式的解法，属于中档题先根据不等式ax2+bx-10的解集是x|1x0的解集是x|1x2，所以-ba=3-1a=2，且a0可转化为-12x+132x-10(x2-1)(32x-1)0，解得23x

17、0)，则由题可知，方程ax2+bx+c=0的两根分别为1-2，1+2，因此结合韦达定理即可找出系数之间的关系，从而写出满足题意的不等式本题主要考查一元二次不等式的解集与对应二次方程的根之间的关系，考查韦达定理的应用，属于中档题【解答】解：设满足题意的一元二次不等式为ax2+bx+c0(a0)，因为不等式的解集为-,1-21+2,+，所以方程ax2+bx+c=0的两根分别为1-2，1+2，所以1-2+1+2=-ba1-21+2=caba=-2ca=-1,令a=1，则b=-2，c=-1，故满足题意的一个不等式为：x2-2x-10(答案不唯一)故答案为：x2-2x-1015.【答案】2【解析】【分析

18、】本题考查了基本不等式的应用问题，考查了转化与化归能力依题意求m(x+2y)min，由6=x+2y+2x+1y，应用基本不等式，后两项通分化为关于x+2y的关系式，求得2x+2y4，使得mx+2y恒成立，即可得出m的最大值【解答】解：由x0，y0时，x+2y+2x+1y=6，所以6=x+2y+2x+1y=x+2y+2y+xxy(x+2y)+x+2y12(x+2y2)2=(x+2y)+8x+2y，当且仅当x=2y时取等号，所以(x+2y)2-6(x+2y)+80，解得2x+2y4；又对于任意x，y，mx+2y恒成立，所以mx+2ymin，即m2 所以m的最大值为2故答案为216.【答案】小学中级

19、【解析】【分析】本题主要考查合情推理的应用，结合不等式组，利用分类讨论的思想是解决本题的关键，属于难题设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a，b，c，d，根据条件分别讨论队长的学段和职称是否满足题意即可【解答】解：设职称为小学中级、小学高级、中学中级、中学高级的人数分别为a，b，c，d，则a+b+c+d=13，d1，c+da+b，bc，ab，13-(a+b)a+b，a+b7，c+d6，若a+b=7，则c+d=6，abc，a=3，b=4，c=5，d=1，若a+b8，则c+d5，d1，c4，bb，与已知ab矛盾；队长为小学中级时，去掉队长则a=2，b=4，c=5，d=1，满足d=11

20、，c+d=6a+b=6，b=4c=5，a=2b=4;队长为小学高级时，去掉队长则a=3，b=3，c=5，d=1，不满足ab;队长为中学中级时，去掉队长则a=3，b=4，c=4，d=1，不满足bc;队长为中学高级时，去掉队长则a=3，b=4，c=5，d=0，不满足d1;综上可得队长为小学中级故答案为小学中级17.【答案】解：(1)当m=1时，不等式x2-2mx+m2-10化为x2-2x0，解得x0或x2，B=x|x0或x2，又A=x|-4x3，AB=x|-42，得xm+2，C=x|xm+2，RC=m-2,m+2，从而m-2,m+2(-4，3，m-2-4m+23，即-2m1【解析】本题考查不等式的

21、解法，考查集合的运算，考查充分不必要条件的判定及应用，考查数学转化思想，是中档题(1)把m=1代入一元二次不等式，求解化简B，再由交集运算得答案；(2)分别选择条件，由q是p的充分不必要条件，可得集合间的关系，转化为关于m的不等式组求解18.【答案】证明：(1)(1a-1)(1b-1)(1c-1)=1-aa1-bb1-cc=b+caa+cba+bc2bca2acb2abc=8，当且仅当“a=b=c=13”时取等号(2)ab+c+ba+c+ca+b=(a+b+cb+c-1)+(a+b+ca+c-1)+(a+b+ca+b-1)=12(b+c)+(a+c)+(a+b)(1b+c+1a+c+1a+b)

22、-3=12(3+b+ca+c+a+cb+c+b+ca+b+a+bb+c+a+ba+c+a+ca+b)-312(3+2+2+2)-3=32，当且仅当“a=b=c=13”时取等号(3)2(bca+acb+abc)=(bca+acb)+(bca+abc)+(acb+abc)2c+2b+2a=2，所以bca+acb+abc1当且仅当“a=b=c=13”时取等号【解析】本题考查利用基本不等式证明不等式，属于中档题(1)根据已知，不等式转化为(1a-1)(1b-1)(1c-1)=b+caa+cba+bc2bca2acb2abc=8即可得证；(2)不等式转化为12(3+b+ca+c+a+cb+c+b+ca+

23、b+a+bb+c+a+ba+c+a+ca+b)-312(3+2+2+2)-3=32得证；(3)不等式转化为2(bca+acb+abc)=(bca+acb)+(bca+abc)+(acb+abc)2c+2b+2a=2得证19.【答案】解：(1)因为不等式ax2+4x+36的解集为x|xb，所以方程ax2+4x+3=6的解为x=1或x=b且a0，即有x-3x-c3，不等式的解集为x3xc【解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法(1)根据题意可得方程ax2+4x+3=6的解为x=1或x=b，a0，即有x-3x-c3，即可得出原不等式的解集20.【答案】解：(1)动员x户农民从事水果加工后，要使从事

24、水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则(200-x)3(1+0.04x)2003，解得0x175(2)由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则3(a-3x50)x(200-x)3(1+0.04x)，(00)，由于0.02x+200x+720.02x200x+7=11，当且仅当0.02x=200x即x=100时等号成立，所以00)，利用基本不等式求最值即可21.【答案】解：(1)x+y=1，所以，x+(1+y)=2， 则2(1x+41+y)=x+(1+y)(1x+41+y)=4x1+y+1+yx+524x1+y1+yx+5=9，所以1x

25、+41+y92，当且仅当4x1+y=1+yxx+y=1，即当x=23y=13时，等号成立，因此，1x+41+y的最小值为92，(2)设x+1=m，则x=m-1(m0)， 所以y=(m-1)2+7(m-1)+10m=m+4m+52m4m+5=9，当且仅当m=4m,m=2,即x=1时取得等号所以函数的最小值是9 .(3)因为x0,y0,z0，且x+y+z=6，由基本不等式，可得x2+y22xy，当且仅当x=y时，等号成立；y2+z22yz，当且仅当y=z时，等号成立；x2+z22xz，当且仅当x=z时，等号成立；所以2(x2+y2+z2)2xy+2yz+2xz，即x2+y2+z2xy+yz+xz，

26、且当仅当x=y=z时，等号成立，因为(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36，所以(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz3(xy+yz+xz)即363(xy+yz+xz)，即xy+yz+xz12，则不等式得证 【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值，以及不等式的证明(1)由已知x+(1+y)=2，则2(1x+41+y)=x+(1+y)(1x+41+y)=4x1+y+1+yx+5，由基本不等式可求得最值；(2)设x+1=m，则x=m-1(m0)，所以y=(m-1)2+7(m-1)+10m=m+4m+5，由基本不等式可求得最值;(3)结合基本不等式可得

27、(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz3(xy+yz+xz)，从而得证22.【答案】解：(1)令a+b=t，则c=1-t，由a+b+c=1，则a+b+c2=1结合a2+b2+c2=1可得ab+bc+ca=0，而abc，若c0，则ab+bc+ca0，与前面矛盾，故c0，即1-t1，又由a2+b2+c2=1，所以a2+b2=1-c2，(a+b)2-2ab=1-c2，即t2-2ab=1-(1-t)2=2t-t2，又ab，则可得a-b20，化简可得2ab2a+b22，故2t2-2t=2ab2(a+b2)2=t22，所以3t2-4t0，得0t43，从而1t43，即1a+b43(2)由(1)知11-c43，所以-13c00c219，又因为a2+b2=1-c2，所以891-c21，即89a2+b21【解析】本题考查换元思想、不等式的综合应用，属于难题(1)利用换元法以及不等式即可证明 (2)结合第一问证明得到的结论，利用条件即可证明要求的结论