河南省洛阳市2020届高三数学上学期尖子生第一次联考试题 理（含解析）.doc

1、河南省洛阳市2020届高三数学上学期尖子生第一次联考试题 理（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合合题目要求的.1.全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别解出集合A和B，再结合交集的概念和补集的概念得到结果.【详解】，故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，属于基础题.2.已知复数满足，则（ ）A. B. 5C. D. 【答案】C【解析】,故选.3.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，又是角终边上一点，且(为坐标原点)，则等于

2、（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得，根据，求得的值，即可求解得值，得到答案.【详解】由题意，角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，所以为第三象限角.又是角终边上一点，所以，再根据（为坐标原点），所以，则，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答熟练应用三角函数的定义，列出方程求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知等比数列中，等差数列中，则数列的前项和等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质可得，求得，得到，再由等差数列的前n项和，即可求解，得到答案.【

3、详解】在等比数列中，满足，由等比数列的性质可得，即，所以，又由，所以所以数列的前项和，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由偶函数的定义求得当时，利用导数的几何意义求得切线的斜率和切线方程，令，可得切线与两坐标轴的交点，再由三角形的面积公式计算，即可求解.【详解】由题意，函数为偶函数，当时，当时，可得，则，则曲线在点处的切线斜率为，可得切线的方程为，令，可得，令，可得，所以切线与

4、两坐标轴围成的图形的面积为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的几何意义的应用，其中解答中正确求解函数的解析式，合理利用导数的几何意义求得切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.在内任取一个实数，设，则函数的图象与轴有公共点的概率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】图象与轴有公共点，或在内取一个实数，函数的图象与轴有公共点的概率等于，故选D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则该双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义和题设条件，求得，再在中，由余弦定理

5、，化简整理得或，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据双曲线的定义可得，又因为，可得，又由，可得，在中，由余弦定理可得，解得或，所以或，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的离心率的求解，其中解答中合理利用双曲线的定义，以及在中，利用余弦定理求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.8.若向量满足，的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造，得到四点共圆，结合图形，得到当线段为圆的直径时，此时最大，即可求解.【详解】如图所示，构造，因为，所以四点共圆，所以当线段为圆的直径时，此时最大，由余弦定理可得，所以，又由正弦定理可得，即

6、的最大值2，故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，正弦定理和余弦定理，以及四点共圆的应用，其中解答中构造出四点共圆，结合图形求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，构造思想的应用，属于中档试题.9.某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把剩余个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有辆不同型号的车，共有四个不同的元素，利用排列数公式，即可求解.【详解】由题意知，剩余的个车位连在一起，把剩余的个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有辆不同型号的车，所

7、有共有四个不同的元素，其中四个元素的排列共有种，故选C.【点睛】本题主要考查了排列的应用，其中解答中把剩余的个车位看成一个元素，共有四个不同的元素，利用排列数公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.已知函数.若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出函数的图象，根据方程恰有七个不同的实根，得到方程的其中一个根为1，另一根在内，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，画出函数的图象，如图所示，可得，因为方程恰有七个不同的实根，则方程的其中一个根为1，另一根在内，设，则满足且且且，即且且且，解

8、得，即实数的取值范围是，故选B. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程恰有七个不同的实根，转化为的其中一个根为1，另一根在内，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题.11.定义在上的函数导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造新函数，利用导数求得函数在上单调递减，再根据为奇函数，求得，得出不等式等价与，即可求解.【详解】由题意，构造新函数，则， 因为，所以，所以函数在上单调递减，又因为为奇函数，所以，所以，则，所以不等式等价与，即，所以不等式

9、的解集为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中构造新函数，合理利用函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以外接圆的半径是，设外接球的半径是，球心到该底面的距离，如图，则，由题设最大体积对应的高为，故，即，解之得，所以外接球的体积是，应选答案D。第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.1

10、3.已知圆，平面区域，若圆心，且圆与轴相交，则圆心与点连线斜率的取值范围是_【答案】【解析】分析】作出不等式组对应的平面区域，圆心与点连线的斜率，结合数形结合，即可求解，得到答案.【详解】由题意，圆与轴相交，所以，画出平面区域，如图所示，当圆心落在阴影部分时，此时圆与轴相交，当圆心与点重合时，此时,当圆心与点重合时，此时,结合图形可得圆心与点连线斜率的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了线性规划的应用，以及直线和圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用直线的斜率，结合图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.14.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的

11、发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是_，当时，点到轴的距离的最大值为；当时，函数单调递减；当时，【答案】【解析】【分析】求出圆的半径，利用周期求出，通过三角函数的解析式求解初相，求出函数的最值以及正弦函数的单调性判断，即可求解.【详解】由题意，可得，所以，点代入可得，因为，所以，所以正确；由，当时，点到轴的距离的最大值为6，所以正确；当时，函数单调递减，所以不正确；当时，点的纵坐标为6，所以正确.所以正确的是.【点睛】本题主要考查了由图

12、象求得函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中正确求得函数的解析式，合理利用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.15.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，分别是和的离心率，若，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义求得，由此可求得的最小值，得到答案.【详解】由题意，设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令在双曲线右支上，由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，两式平方相加，可得又由，则，所以，所以，当且

13、仅当时等号成立，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的离心率的最值问题，其中解答中熟练应用椭圆的定义，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.16.已知数列的首项，前项和为，设数列的前项和，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由，求得，令，则，得到，得出数列表示首项为3，公比为3的等比数列，求得，又由，得到，利用乘公比错位相减法，求得，进而求得的取值范围.【详解】由，可得，两式相减可得，即， 令，则，可得，即，所以数列表示首项为3，公比为3的等比数列，所以，又由，所以，所以，两式相减，可得，所以，因为，所以，又由，所以数列为递增数列，所

14、以，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了数列的与的递推关系，等比数列的定义和通项公式，以及乘公比错位相减法求和等知识的综合应用，其中解答中熟练应用数列的递推关系式，以及等比数列的通项和“乘公比错位相减法”求得数列的前n项和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知分别是内角的对边，且满足： .(1)求角的大小；(2)设，为的面积，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）运用正弦定理可得b2+c2a2bc，再由余弦定理计算可得所求角；（2）运用正弦定理求得b，c，由三

15、角形的面积公式可得S，再由两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值【详解】(1)，根据正弦定理，知，即.由余弦定理，得.又，所以.(2)根据，及正弦定理得，. .故当时，取得最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及余弦函数的值域，考查化简整理的运算能力，属于中档题18.如图,是边长为的正方形，平面平面，,.（1）求证：面面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由平面平面，可推出，再根据是正方形，可推出平面，从而可

16、证平面；（2）根据题设条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）点在线段上，设，求出平面的法向量，根据二面角的大小为，即可求出.试题解析：(1)证明：，. 又是正方形，平面. 又 . (2)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示，则， ，设平面的法向量为，,即，,则 . 直线与平面所成角的正弦值为. (3)解：点在线段上，设，则，设平面的法向量为，则,即，令则， ，整理得：解得：， 此时 19.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率

17、分布直方图所示（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；若，则，【答案】（1）26.5（2）0.6826见解析【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）根据

18、服从正态分布，从而求出；根据题意得，的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：（2）服从正态分布，且，落在内的概率是根据题意得，；.的分布列为0123420.已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.（1）求的方程；（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向（）若，求直线的斜率（）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形【答案】（1）；（2）（i），（ii）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据已

19、知条件可求得的焦点坐标为，再利用公共弦长为即可求解；（2）（i）设直线的斜率为，则的方程为，由得，根据条件可知，从而可以建立关于的方程，即可求解；（ii）根据条件可说明，因此是锐角，从而是钝角，即可得证试题解析：（1）由：知其焦点的坐标为，也是椭圆的一焦点，又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，联立，得，故的方程为；（2）如图，（i）与同向，且，从而，即，于是，设直线的斜率为，则的方程为，由得，而，是这个方程的两根，由得，而，是这个方程的两根，将带入，得，即，解得，即直线的斜率为.（ii）由得，在点处的切线方程为，即，令，得，即，而，于是，因此是锐角，从而

20、是钝角.，故直线绕点旋转时，总是钝角三角形.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此类问题的关键：（1）结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，等；（2）当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.21.已知函数，其导函数为当时，若函数在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；设，点是曲线上

21、的一个定点，是否存在实数使得成立？并证明你的结论【答案】（1）或；（2）见解析.【解析】【分析】当，由题意，令，则，解得，由此能求出或时，在R上有且只有一个零点由，得，假设存在，则，利用导数性质推导出不存在实数使得成立。【详解】当时，由题意得，即，令，则，解得，当时，单调弟增，当时，单调递减，当时，当时，则或时，在R上有且只有一个零点由，得，假设存在，则有，即，即，令，则，两边同时除以，得，即，令，令在上单调递增，且，对于恒成立，即对于恒成立，在上单调递增，对于恒成立，不成立，同理，时，也不成立不存在实数使得成立【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存

22、在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，属于难题。【选考题】请考生在第22.23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在平而直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为 ，曲线的极坐标方程为（1）求曲线和的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点、分别是和上的点，求的最大值.【答案】（1）；（2）15.【解析】【分析】（1）由曲线参数方程消去参数可得曲线普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线和的直角坐标方程.（2

23、）由双曲线的定义可得，由点是曲线上一点、分别是和上的点，得到，即可求解的最大值.【详解】（1）由曲线的方程为（为参数），消去参数可得曲线的方程为，由曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，且，可得曲线直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）知双曲线，则，可得，所以，由双曲线的定义，可得，因为点是曲线上一点、分别是和上的点，可得，所以，所以的最大值为.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及双曲线的定义和圆的性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23.设函数，恒成立.（1）求实数的取值范围；（2）求证：【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由恒成立，转化为恒成立，令，求得函数的最大值，得到的不等式，即可求解.（2）转化为证明，利用基本不等式，即可作出证明.【详解】（1）由题意知恒成立，即恒成立，即恒成立.令可得函数在上是增函数，在上是减函数，所以，则，即，整理得，解得，综上实数的取值范围是.（2）由，知，即，所以要证，只需证，即证，又，成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的恒成立问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，以及合理使用基本不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.