2023届高三数学 寒假二轮微专题45讲 39 数列求和的七大视角.doc

1、数列求和的七大视角一倒序相加法倒序相加法是计算等差数列前项和的重要方法，数学王子高斯利用它很快的计算出来了1到100相加之和. 实质上，倒序将加法的核心点即在于“等距配对，其和相等”，倘若能够把握住这个点，我们会发现该方法不仅适合等差数列求和公式推导，还可以与中心对称的函数完美搭配，命制出一些综合性较强的函数与数列综合问题，其往往以压轴题出现，颇具挑战性！1.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心. （公众号：凌晨讲数学）用代数式表示：(1). ；(2). 一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.特别地

2、，奇函数(关于原点对称)，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.注：由中心对称的定义可知，距离对称点距离相等的点与，它们的函数值之和是相等的，这就符合“等距配对，其和相等”的特点！2.常见的一些中心对称函数.此处近列举奇函数的情形，因为中心对称的函数皆可由奇函数平移产生.同时，对于一些较常见的奇函数：正弦函数等不再单独列举. 假设且. .为奇函数.为奇函数 .可转化为或.都是奇函数.注意：个人觉得，要想把倒序相加法这类题目做好，上面这些函数一定要非常面熟才行，否则，往往不知道真实的命题意图. 只有熟悉上述函数的对称性，才可通过平移找到对称中心.例1若，满足，则A2022B

3、2023C4044D4046解析：由于，故另一方面，由于，则令，则，两式相加得，故选:A其实下面这道高考压轴试题本质上也是倒序相加法的体现，两个函数图像均关于同一个点中心对称.（公众号：凌晨讲数学）例2.（2016年全国卷理科）已知函数满足,若函数与图像的交点为,，（），则A. B. C. D.解析：选B.例3设，设，（1）计算的值（2）求数列的通项公式（3）若，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围解析：（1）.（2）由题知，当时，又，两式相加得，所以.又不符合，所以.（3）由（2）知，因为，所以，由，得，当时，由，得，因为对勾函数在上单调递增，又，所以，所以，综上，由，得.小结：若函数

4、的对称中心是.，.2公式法求和：用等差（等比）数列求和公式.例4.(2018年全国2卷)记为等差数列的前n项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值.解析：（1）设的公差为，由题意得，由，得，所以的通项公式为.（2）代入等差数列求和公式，得，所以当时，取到最小值，且最小值为. 例5.（2020新高考2卷）已知公比大于的等比数列满足（1）求的通项公式；（2）求.解析：（1）设等比数列的公比为q(q1)，则，整理可得：，数列的通项公式为：.（2）由于：，故：.类型3裂项相消求和1.分母是等差数列相邻两项乘积，则：，则：.2.有理化后求和：.3.指对式裂相求和：，一般地，指数型：对数型

5、：三类应用：裂相求和；证明不等式；求范围.例6.(2015年全国2卷)为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解析：（1）与已知作差得：，当时，.（2），.例7（2018年天津）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，.（1）求和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.解析：（1）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）（i）由（I），有，故.（ii）因为，所以.类型4：错位相减法型如的数列求和，其基本解题步骤如下：Step1

6、：由题可得： Step2：故， Step3：由得：Step4：化简： .例8.(2020年新课标全国卷I17)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项.（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和.解析：（1）设公比为，得 即， 得（舍去），.（2）设为的前n项和，由（1）及题设可得，所以，用-可得：故.类型5. 分组求和适用对象：主要适用于通项是由两部分不同的形式构成的数列，其次还适用于一些几项放在一起可以化简的数列.例如：型，可分别单独求出的前项和再求和.或者分段型，具体见下面的2021新高考1卷.例9.（2021新高考1卷）.已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前20

7、项和.解析：（1）由题设可得又，故即即所以为等差数列，故.（2） 设的前项和为，则，进一步分组可得：因为，所以.除上例之外，分组求和还适用于出现摆动数列型中，具体解法见下例.例10.（2014年湖南文科）已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解析：（1）当时，；当时，故数列的通向公式为：.（2）由（1）知，记数列的前项和为，则,进一步，若记，分别求和可得：，故数列的前项和为.注：此处是一个分段形式：，分组求和是处理分段形式的数列求和的一把利器！类型6. 并项求和在处理一些非等差，等比数列时，我们可以通过项的关系（相邻两项等），将其看成一个小组来计算，例如型，分奇偶

8、后相邻两项之差就是一个公差，即常数列求和.再例如下面例9中，我们将相邻两项合并，就可以得到一个相邻两项和成等比的结构来处理.例11已知数列的前n项和公式为（1）求证：数列是等比数列；（2）令，求数列的前n项和.解析：（1）数列的前n项和，则当时，即，当时，解得，所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，当n为偶数时，于是得，当n为奇数时，所以.例12已知数列满足：，（）（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式解析：（1）证明：，数列是以为首项，4为公比的等比数列（2）由（1）知， 当时，当n=1时，满足上式例13已知数列的前项和为，则（）ABCD解析：因为，所以，又

9、，所以，所以是等比数列，公比为4，首项为3，则数列也是等比数列，公比为，首项为3所以故选：A类型7.定积分方法定积分的定义：一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分.记为：.2.定积分的几何意义： 当时，由前述可知，定积分在几何上表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积.例14（2014陕西）设函数，其中是的导函数.（1），求的表达式；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明.解：由题设得，（2）的取值范围是（3）是由曲线及轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和.所以，结论得证.习题（2020全国1卷）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和解析：（1）设的公比为，为的等差中项，；（2）设前项和为，得，.