江苏省南京市中华中学2024届高三数学暑期小练（1）（Word版附解析）.docx

1、中华中学2023-2024学年度暑期小练（1）试卷高三数学本卷考试时间：90分钟 总分：100分命题人： 审核人：一选择题（本大题共8小题，每小题 3分，共24 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知复数，且复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【分析】根据复数的除法运算先求出，再根据共轭复数的关系求出复数，根据复数的几何意义，即可求出结果.【详解】因为复数，所以，所以复数，所以在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C.2设命题：，则为（）A，B，C，D，【答案】A【分析】由全称量词命题的否定求解即可.【详解】全称

2、量词命题的否定步骤为：“改量词，否结论”，因为：，所以为，.故选：A.3在中，角的对边分别为，则外接圆的面积为（）ABCD【答案】B【分析】利用正弦定理结合已知可求出三角形外接圆的半径，从而可求出外接圆的面积【详解】设外接圆的半径为，则，解得，所以外接圆的面积为.故选：B.4在中，则（）ABCD【答案】C【分析】先由得到，结合余弦定理，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，由余弦定理，可得：，所以.故选:C5设直线与椭圆交于、两点，点在直线上若，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】先消参将参数方程转化为普通方程，得、两点关于原点对称，转化为，则问题转化为定点O到直线上一点P距离为

3、1，建立不等式求斜率范围即可.【详解】椭圆方程为，椭圆中心在原点，直线与椭圆交于、两点，则由对称性可知，、关于原点对称，所以，所以，故原点到直线的距离，解得或，故选：D.【点睛】关于三角形中线的向量表示：在中，是边上的中线，则.6比较，的大小（ ）ABCD【答案】B【分析】由对数函数的性质可知，由指数函数的性质可求出，进而可判断三者的大小关系.【详解】解：因为，所以，则，故选：B.备选：设，则（）ABCD【答案】A【分析】因为，所以构造函数，利用导数判断单调性，可得，令，利用导数判断单调性，可得.【详解】因为，所以设，所以在上为增函数，所以，所以，所以，即，所以.令，所以在上为增函数，所以，所

4、以，即，所以，综上所述：.故选：A【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数判断单调性，根据单调性比较大小是解题关键.7.设函数为奇函数且在上为减函数，则关于的值表述正确的是（）ABCD【答案】C【分析】根据函数奇偶性的定义结合二次函数的单调性即可得解.【详解】因为函数为上的奇函数，且递减，所以且，即，所以，解得，经检验符合题意，故，因为函数在上为减函数，所以，所以.故选：C.8.已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（）ABCD【答案】A【分析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解.【详解】由题意，所以，即，所以，所以，又，则，所以，即，由，所以，所以，当且仅当时等

5、号成立，又在上单调递减，所以当取最大值时，.故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.二多选题（本大题共4小题，每小题 4 分，共16 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4 分，部分选对的得2 分，有选错的得0分）9若，为实数，下列说法正确的是（）A若，则B若，则C“关于的不等式恒成立”的充要条件是“，”D“”是“关于的方程有两个异号的实根”的必要不充分条件【答案】BD【解析】若，则A选项不成立；根据不等式的性质，可判断B正确；根据充要条件

6、的概念，可判断C错；根据充分条件和必要条件的概念，结合方程根的个数，可判断D正确.【详解】A选项，若，则，A错；B选项，若，则，即，B正确；C选项，不等式不一定是一元二次不等式，所以不能推出；由，可得出不等式恒成立，所以“关于的不等式恒成立”的充要条件不是“，”，C错；D选项，若关于的方程有两个异号的实根，则，即，因此“”是“关于的方程有两个异号的实根”的必要不充分条件，D正确.故选：BD.10声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为，其中A影响音的响度和音长，影响音的频率，响度与振幅有关，振幅越大，响度越大；音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低

7、沉平时我们听到的音乐都是由许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是则下列说法正确的有（）A是偶函数；B的最小正周期可能为；C若声音甲的函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音的响度大；D若声音乙的函数近似为，则声音乙一定比纯音低沉【答案】CD【分析】对于A，根据奇函数的定义判断，可知A错误；对于B，根据函数周期性的定义，可知B错误；对于C，比较振幅的大小，可知C正确；对于D，求出频率，比较大小，可知D正确.【详解】对于A，因为，所以函数是奇函数，故A错误；对于B，因为 ，故B错误；对于C，因为，所以声音甲的振幅大于，而纯音的振幅等于，所以声音甲的响度一定比纯音响度大，故C正确；对于D，因为的最

8、小正周期为，的最小正周期为，所以 的最小正周期为，频率为，的频率为，所以声音甲一定比纯音更低沉故D正确.故选：CD11.已知，则下列结论正确的是（）A的最大值为B的最大值为1C的最小值为D的最小值为3【答案】AC【分析】根据均值不等式及不等式等号成立的条件判断ACD，取特例判断B即可得解.【详解】.对于，当且仅当时取等号，故正确；对于，当时，故错误；对于，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，但是当时，不符合题意，故等号不成立，故错误.故选：AC.12.已知两曲线与，则下列结论不正确的是（）A若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标B若，则两曲线只有一条公切线C若，则两曲线有两条公切线，且两条公

9、切线的斜率之积为D若分别是两曲线上的点，则两点距离的最小值为1【答案】ABD【分析】对于选项A，由公切线斜率相等，可得关系，借助导数求出范围；对于选项B，由有两个零点可判断为错误；对于选项C，由导数的几何意义，表示出切线方程，解方程组可判断；对于选项D，由图象，或找到两曲线斜率相等的切线，求出切线间的距离，可判断.【详解】若两曲线只有一个交点，记交点为，则，且在此处的切线为公切线，所以，即满足.设，则时单调递增，所以错误.如上图，时，设，则，由于，所以存在，使得，那么当时，为单调递减函数， 当时，为单调递增函数，且，所以有两个零点，则两曲线有两个公共点，故没有公切线，所以错误.时，设是曲线上的

10、一点，所以在点处的曲线切线方程为，即，设是曲线上的一点，所以在点处的切线方程为，即所以，解得或所以所以两斜率分别是1和，所以正确.时，曲线的一条切线为，的一条切线,两切线间的距离为最小值，所以错误.二填空题（本大题共4小题，每小题 4分，共16 分.将答案填写在题中的横线上.）13已知命题p：对，若p为真命题，则实数a的最小值是_【答案】【分析】利用一元二次不等式恒成立，求出a的范围作答.【详解】因为，于是，解得，所以实数a的最小值是.故答案为：14. 已知sin，则_.【答案】【解析】【分析】“给值求值”问题，找角与角之间的关系【详解】所以所以故答案为：15已知，是非零向量，向量在向量方向上

11、的投影为，则 .【答案】2【分析】根据数量积的性质，结合投影定义求解可得.【详解】，向量在向量方向上的投影为，.故答案为：216. 若存在实数使得，则的值为_.【答案】/【分析】由已知得，令，利用导数可得，再根据等号成立的条件可得答案.【详解】由已知得，令，则，当时，单调递增， 当时， ，单调递减，所以，可得，所以，即，当且仅当即等号成立，此时的值为.故答案为：.备选在中，分别是角，所对的边，为最大角，若.且，则的最小值为_【答案】【解析】由，利用二倍角公式，和差化积化简为，再根据为最大角，得到，设，则，由，得到，从而得到，然后令，利用三角函数的性质求解.【详解】因为，所以，又因为为最大角，所

12、以，所以，即，设，则，所以，解得，所以，令，则，所以，即，解得或（舍去），所以的最小值为4，故答案为：4【点睛】关键点点睛：本题关键是由 ，结合为最大角，得到，从而设，建立，利用三角函数的性质得解.四解答题（本大题共4小题，共44分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤）17(10分)已知集合，.(1)求集合；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简集合A、B，再利用并集定义去求即可解决；（2）利用题给条件列出关于实数m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围.【详解】（1）因为集合，所以（2）由（1）得，当时，满足，符合题意；当时，若则，解之得综上，实数m的取值范

13、围是18(10分)在中，角所对的边分别为，且（1）求；（2）若，当取最小值时，求的面积【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由正弦定理得，利用三角恒等变换及特殊角的三角函数即得；（2）利用余弦定理得及基本不等式可得不等式成立时可得为等边三角形，进而即得.【详解】（1）在中，由正弦定理得，又，所以，得，又，所以，即（2）因为，所以又，所以 当且仅当时，取得最小值1，即为等边三角形 所以19(12分)已知函数.(1)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；(2)若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值

14、范围.【答案】(1)4(2)(1)由题意得，.因为，所以，所以，所以当时，的最小值为1；当时，的最大值为2，所以.由题意得，所以对一切恒成立，所以，解得，所以整数m的最大值为4.(2)由题意知，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再向右平移个单位得，因为关于x的方程在区间上有解，整理得：，即（*）在区间上有解，因为，所以令，（*）式可转化为：在内有解，所以，又因为和在为增函数，所以在为增函数，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，所以，综上所述：k的取值范围为.20(12分)设函数，其中.(1)讨论函数在上的极值；(2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范

15、围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出，分、讨论，可得答案；（2）由零点存在定理可知，而题设，消去a可得，令，且，求出，将其代入得，再利用导数分、讨论可得答案.【详解】（1）由知，1）当时，且有，单调递增，故无极值；2）当时，有，单调递减，而，单增，故，无极大值.综上，当时，无极值；当时，极小值为，无极大值；（2）由（1）可知当时，且，由零点存在定理可知，而题设可知，消去a可得，令，且，即， 将其代入，整理可令得，而，1)当时，且，有，单调递增，满足题设；2)当时，且，有，单调递减，不满足题设；综上，的取值范围为.【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点是消去a可得，令得、， 将其代入构造函数，本题还考查了学生思维能力、运算能力.