江苏省南通市海安市实验中学2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）.docx

1、实验中学2021-2022学年度第二学期期中考试试题高二数学一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四不选项申，只有一项是符合题目要求的.1. 直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知，直线的方向向量与平面的法向量平行，由此即可求出结果.【详解】直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，所以，所以.故选：A.2. 展开后的项数为（ ）A. 10B. 18C. 24D. 36【答案】C【解析】【分析】根据分步乘法原理求解即可.【详解】根据分步乘法原理，展开后的项数有：项.故选：C3. 给出

2、下列说法：回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位.其中说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】 中，根据回归直线方程的特征，可判定是不正确； 中，根据相关系数的意义，可判定是正确的； 中，根据方差的计算公式，可判定是正确的；中，根据回归系数的含义，可判定是正确的.【详解】对于 中，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本点，所以不正确；对于 中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则

3、相关系数就越接近1，所以是正确的；对于 中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的；对于 中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的.故选：B.4. 2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装若甲、乙必须安

4、装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C【解析】【分析】先安排甲乙两人，然后剩余3人分两组，一组1人，一组2人，先分组后安排即可【详解】甲和乙必须安装不同的吉祥物，则有种情况，剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有，则共有种，故选：5. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据两点分布的性质可得，结合题意求得，再根据两点分布的期望公式即可得解.【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布，所以，则，解得或，又因，所以，则，所以.故选

5、：C.6. 北京时间年月日时分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定矩形以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动现有两队报名参加，两队均由两名高一学生和两名高二学生组成，比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不会来自同一年级的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出四个学生来自同一年级的概率，再利用对立事件，即可得到答案；【详解】四个学生来自同一年级的概率为，四个学生不全来

6、自同一年级的概率为，故选：C7. 已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】D【解析】【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，则，因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，所以.故选：D8. 已知，则A. B. 0C. 14D. 【答案】B【解析】【分析】由题可知，将转化为，再根据二项式展开式的性质，即可求出和，便可得出.【详解】解：由题知，且，则，所以.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用以及二项展开式的性质，考查计算能力

7、.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）A. 直线BC1与直线所成的角为90B. B1D平面ACD1C. 点B1到平面ACD1的距离为D. 直线B1C与平面所成角的余弦值为【答案】BD【解析】【分析】根据空间向量夹角公式，结合空间点到面的距离公式逐一判断即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：.A：，因为，所以，因此本选项不正确；B：，因为，所以，而平面ACD1，因此平面ACD1，所以本选项正确；C：因为平面ACD1，所以是平面ACD

8、1的法向量，所以点B1到平面ACD1的距离为，因此本选项不正确；D：由上可知：，所以直线B1C与平面所成角的余弦值，因此本选项正确，故选：BD10. 则下列说法正确的是（ ）A. 在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；B. 在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；C. 若数据，的平均数为1，则，的平均数为2；D. 对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大.【答案】ABC【解析】【分析】根据残差的意义，可判定AB真命题；根据数据的平均值的计算公式，可得C真命题；根据独立性检验中观测值的几何意义，可判定D为假命题.【详解】

9、根据残差的意义知，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好，所以A正确；由残差的意义知，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，所以B正确；若数据，的平均数为1，则，的平均数为也扩大为原来的2倍，即平均数为2，所以C正确；对分类变量与的随机变量的观测值来说，应该是越大，判断“与有关系”的把握越大，所以D不正确.故选：ABC.11. 设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，下列判断正确的是（ ）A. B. C. 存在，满足D. 存在，满足【答案】BC【解析】【分析】根据已知X、Y的正态分布，利用正态分布曲线的性质，即可判断各选项的正误【详解】由题设知，的正态分布的参数为，

10、的正态分布的参数为，.A：，所以，错误；B：，所以，正确；C：由，所以，正确；D：大致作出和的正态曲线，如图所示，可知在轴左侧，的正态曲线总在的正态曲线的下方，的正态曲线下方的区域面积总小于的正态曲线下方的区域面积，即，从而，错误.故选：BC12. 2022年世界田联半程马拉松锦标赛，是扬州首次承办高规格、大规模国际体育赛事.运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，下列说法正确的有（ ）A. 设“抽取的3人中恰有1名女志愿者”为事件A，则B. 设“抽取的3人中至少有1名男志愿者”为事件B，则C. 用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则D. 用Y表示抽取的

11、3人中男志愿者的人数，则【答案】BD【解析】【分析】理解题意，利用超几何分布，求概率，求期望，求方差即可.【详解】对于A：从7名志愿者中抽取3人，所有可能的情况有（种），其中恰有1名女志愿者的情况有（种），故，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：由题意知X的可能取值为0，1，2，3，则，所以，故C错误对于D：由题可知Y的可能取值为0，1，2，3，则，则，则，故D正确.故选：BD.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 计算_.【答案】35【解析】【分析】根据组合数的性质计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.14. 若函数在区间上是单调增函数，

12、则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据函数在区间上是单调增函数，转化为导数不小于0在区间上恒成立，分离参数，利用函数最值求解.【详解】，函数在区间上是单调增函数，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，由(),所以，即，故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式恒成立问题，二次函数最值，转化思想，属于中档题.15. 电影夺冠讲述了中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，在夺冠上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是_.【答案】16【解析】【分析】将四人作

13、全排列，再排除两个家长相邻和两个小孩相邻情况，即可得结果.【详解】将四个人全排列，再减去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故.故答案为：16.16. 新冠病毒存在人际间传播现象，即存在A传B，B又传C，C又传D的传染现象，那么A，B，C就被称为第一代第二代第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代第二代第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为_；若小明被感染，则是被第三代传播者感染的概率为_.【答案】 . 0.83#

14、； . .【解析】【分析】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，则，根据事全概率公式以及贝叶斯公式计算可得答案.【详解】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，则，所以小明被感染的概率为；小明被感染,则是被第三代感染的概率为故答案为：0.83；.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 在等差数列中，已知 且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由等差

15、数列基本量的计算即可求解；（2）由裂项相消求和法即可求解.【小问1详解】解：由题意，设等差数列的公差为，则,， 解得, ,；【小问2详解】解：，.18. 在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.条件：第3项与第7项的二项式系数相等；条件：只有第5项的二项式系数最大；条件：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，_.（1）求的值；（2）若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有的有理项.【答案】（1）条件选择见解析， （2）有理项为：，.【解析】【分析】（1）选，根据二项式系数的性质求得正确答案；选，根据二项式系数的最值求得正确答案；选，根据二项式系数和求得正确

16、答案.（2）利用二项式展开式的通项公式求得所有的有理项.【小问1详解】选，所以；选，第5项的二项式系数最大，所以；选，二项式系数的和为.【小问2详解】二项式展开式的通项公式为：，当时，（负根舍去）.所以有理项为，；即，.19. 教育部于2021年1月15日下发文件关于加强中小学生手机管理工作的通知，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定.某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记A为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；B为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件A的频率是事件B的频率的2倍.（1）求表中a，b的值，并补

17、全表中所缺数据；（2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响?不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数12学习成绩不优秀人数26合计参考数据：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析 （2）有【解析】【分析】（1）根据题意列方程组求解（2）根据数据计算后判断【小问1详解】由已知得，解得补全表中所缺数据如下：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880【小问2详解】根据题意计算观测值为，所以有99.5%的把握认为中学生使用

18、手机对学习有影响.20. 如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD是的菱形，侧面PAD是边长为2的等边三角形.（1）求直线PC与平面APB所成角的余弦值；（2）求平面PAD与平面APB所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理、空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可【小问1详解】连接，因为侧面PAD是边长为2的等边三角形，所以，又因为侧面底面ABCD，侧面底面ABCD ，侧面，所以底面ABCD，连接OB，在等边三角形ABD中， 以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，

19、建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，.设平面APB的法向量为，由得令，可得.设直线PC与平面APB所成角为，直线PC与平面APB所成角的余弦值为；【小问2详解】平面APB的法向量，平面PAD的法向量，设平面PAD与平面APB所成角为，所以21. 高尔顿板是英国生物数学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞.且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一

20、次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右流下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.（1）若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入2号球槽的概率；（2）若进行5次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为.求的分布列与期望.【答案】（1） （2）分布列答案见解析，数学期望【解析】【分析】（1）根据题意小球需要向右1次向左5次，根据n次独立重复事件的概率公式求解即可；（2）计算出一次试验中掉入偶数槽的概率，问题转化为服从二项分布问题，由二项分布求解即可.【小问1详解】设这个小球掉入2号球槽为事件A.掉入2号球

21、槽，需要向右1次向左5次,所以所以这个小球掉入2号球槽的概率为.【小问2详解】小球掉入偶数号球槽的概率为,由题意知，且的可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5,由，可得分布列为：012345P22. 已知椭圆：的离心率为，圆：与x轴交于点M、N，P为椭圆E上的动点，面积最大值为（1）求圆O与椭圆E的方程；（2）圆O的两条平行的切线分别与椭圆交于点A、B、C、D，求四边形的面积的取值范围【答案】（1）圆方程为，椭圆的方程为. （2）【解析】【分析】（1）由离心率公式和的关系，结合椭圆的定义可得即为椭圆的焦点，可得，再由位于椭圆短轴端点时，的面积取得最大值，解方程即可得到的值，从而得到圆和椭圆

22、的方程；（2）根据圆与椭圆的对称性，由两条平行的圆切线与椭圆交点构成的四边形为平行四边形，且两平行线间距离为，即可得四边形面积为.讨论直线的斜率不存在时，求得切线的方程，代入椭圆方程可得交点和弦长；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，运用直线和圆相切的条件可知与的关系，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，将弦长化为关于的函数式，结合换元法和二次函数的最值求法，即可得到所求弦长的范围，进而得到四边形面积的范围【小问1详解】由题意得，解得，因为，所以点、为椭圆的焦点，则，设，则，所以，当时，代入解得，所以，所以，圆的方程为，椭圆的方程为.【小问2详解】因为，平行，且与圆O相切，所以两条直线间的距离，且四边形为平行四边形，设四边形的面积为，则，当直线斜率存在时，设直线的方程为，因为直线与圆相切，所以，即，联立消去可得， ，令，则，所以，所以，所以，则；当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，解得，故，则综上，四边形的面积的取值范围的取值范围是【点睛】（1）解决直线与椭圆的题目时，时常需把两个方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，一定要考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.