河南省郑州市2021届高三数学第二次质量预测（二模）试题 理（含解析）.doc

1、河南省郑州市2021届高三数学第二次质量预测（二模）试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分）.1设集合AxN|2x6，Bx|log2（x1）2，则AB（）Ax|3x5Bx|2x5C3，4D3，4，52若复数（aR，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A2BCD23如图是某统计部门网站发布的某市2020年212月国民经济和社会发展统计公报中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）下列说法错误的是（）2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化20

2、20年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%ABCD4函数f（x）sinxln在（，）的图象大致为（）ABCD5Sn是公比不为1的等比数列an的前n项和，S9是S3和S6的等差中项，则（）ABCD6已知x，y满足，则z2x+4y的取值范围是（）A0，4B4，6C0，6D6，87已知实数a，b，c满足lnaeb，则下列不等式中不可能成立的是（）AabcBacbCcabDcba8关于函数f（x）|sin（2x）+cos（2x）|，下列判断正确的是（）Af（x）的值域为0，Bf（x）是以为最小正周期的周期函数Cf（x）在0，上有两个零点Df

3、（x）在区间，上单调递减9元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯，其中2盏是人物灯现要求这3个地方都有灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有（）A114B92C72D4210已知函数f（x）2x4+ex+ex1，若不等式f（1+ax）f（2+x2）对任意xR恒成立，则实数a的取值范围是（）A（2，2）B（2，2）C（2，2）D（2，2）11已知三棱锥PABC的各个顶点都在球O的表面上，PA底面ABC，ABAC，AB6，AC8，D是线段AB上一点，且AD5

4、DB过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28，则球O的表面积为（）A128B132C144D15612已知梯形ABCD中，以AB中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系|AB|2|CD|，点E在线段AC上，且，若以A，B为焦点的双曲线过C、D、E三点，则该双曲线的离心率为（）ABCD二、填空题（每小题5分）.13函数f（x）ln（x+1）+x2ex的图象在点（0，f（0）处的切线方程为 14已知向量与的夹角为60，|3，|6，则2在方向上的投影为 15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC90，ABC的平分线交AC于点D若a+4c的最小值为9，则BD

5、 16已知a0，不等式（x+1）1aex+1aln（x+1）0对任意的x（0，+）恒成立，则实数a的取值范围为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列an满足a11，Sn（）求数列an的通项公式；（）若bn（1）n+1，数列bn的前n项和为Tn，求T202118在四棱锥PABCD中，APPDDCCB1，AB2，APDDCBCBA90，平面PAD平面ABCD（）求证：PBPC；（）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值19已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别

6、为F1，F2，左顶点为A，点D（1，）是椭圆C上一点，离心率为（）求椭圆C的方程；（）若直线l过椭圆右焦点F2且与椭圆交于P、Q两点，直线AP、AQ与直线x4分别交于M，N（）求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；（）求AMN面积的最小值20已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（280，25）（）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率；（）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续

7、运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y的分布列与数学期望参考数据：若ZN（，2），则P（pZ+）0.6827，P（2Z+2）0.9545，P（3Z+3）0.9974，0.9987100.987121已知函数f（x）xexalnxe（）当a2e时，不等式f（x）mxm在1，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（）若a0，f（x）最小值为g（a），求g（a）的最大值以及此

8、时a的值(二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数，0，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是4sin（）2cos（）写出曲线C2的直角坐标方程；（）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2sincos的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x4|+|x+a|（a0）（）若a1，求不等式f（x）5的解集；（）若f（x）a22a+4恒成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（每小题5分

9、）.1设集合AxN|2x6，Bx|log2（x1）2，则AB（）Ax|3x5Bx|2x5C3，4D3，4，5解：A3，4，5，Bx|0x14x|1x5，AB3，4故选：C2若复数（aR，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A2BCD2解：复数，它是纯虚数，所以2a10，a故选：B3如图是某统计部门网站发布的某市2020年212月国民经济和社会发展统计公报中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）下列说法错误的是（）2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%2020年9月CP1环比上升0.2%

10、，同比无变化2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%ABCD解：根据折线图（下图）可得，其中上一条折线为月度同比折线图，下一条为月度环比折线图，所以根据数据可得，9月份月度环比比上年上涨0.5%，同比比上年上涨2.1%，故正确；根据数据可得，3月份月度环比比上年下降0.2%，同比比上年上涨1.7%，故正确；因此错误故选：B4函数f（x）sinxln在（，）的图象大致为（）ABCD解：根据题意，函数f（x）sinxln，x（，），f（x）sin（x）lnsinxlnf（x），则f（x）在区间（，）上为偶函数，排除BC，又由f（）

11、sinlnln0，排除D，故选：A5Sn是公比不为1的等比数列an的前n项和，S9是S3和S6的等差中项，则（）ABCD解：S9是S3和S6的等差中项，S3+S62S9，Sn是公比不为1的等比数列an的前n项和，整理得，q3（2q6q31）0，q0，2q6q310，则（2q3+1）（q31）0，又q1，2q3+10，解得，则故选：A6已知x，y满足，则z2x+4y的取值范围是（）A0，4B4，6C0，6D6，8解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z2x+4y得yx+，平移直线yx+，由图象知当直线经过A点时，直线的截距最大，此时z最大，此时x+2y3，即z2x+4y6，经过点C（2，0）时，

12、直线的截距最小，此时z最小，z2x+4y4+04，即4z6，即z的取值范围是4，6，故选：B7已知实数a，b，c满足lnaeb，则下列不等式中不可能成立的是（）AabcBacbCcabDcba解：实数a，b，c满足lnaeb，eb0，a1，c0，当ae时，b0，c1，此时acb，故B可能成立；当ae3时，bln3（1，2），c（0.5，1），此时abc，故A可能成立；当b1时，ce，a，此时，cab，故C可能成立；由排除法得D不可能成立故选：D8关于函数f（x）|sin（2x）+cos（2x）|，下列判断正确的是（）Af（x）的值域为0，Bf（x）是以为最小正周期的周期函数Cf（x）在0，上有

13、两个零点Df（x）在区间，上单调递减解：f（x）|sin（2x）+cos（2x）|sin（2x）+sin2x|2sin（2x）cos|sin（2x）|，对于A，f（x）的值域为0，不是0，所以A错；对于B，f（x）的最小正周期为，不是，所以B错；对于C，因为f（x）一个周期（0，内只有一个零点，f（0）0，所以f（x）在0，上有两个零点，所以C对；对于D，因为区间，长度为，所以f（x）在区间，上不是单调函数，所以D错故选：C9元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯，其中2盏是人物灯现要求这3个地方都有灯

14、（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有（）A114B92C72D42解：根据题意，分2步分析：将5盏不同的灯分为3组，要求两盏人物灯不在同一组，若分为3、1、1的三组，有C53C317种分组方法，若分为2、2、1的三组，有C3212种分组方法，则有7+1219种分组方法，将分好的三组全排列，安排到3个不同的地方，有A336种情况，则有196114种安排方法，故选：A10已知函数f（x）2x4+ex+ex1，若不等式f（1+ax）f（2+x2）对任意xR恒成立，则实数a的取值范围是（）A（2，2）B（2，2）C（2，2）D（2，2）解：函数f（x）

15、2x4+ex+ex1，所以f（x）2（x）4+ex+ex1f（x），故函数f（x）为偶函数，故当x0时，f（x）8x3+exex单调递增，故f（x）f（0）0，所以f（x）在（0，+）上单调递增，则不等式f（1+ax）f（2+x2）对任意xR恒成立，等价于不等式f（|1+ax|）f（|2+x2|）对任意xR恒成立，即|1+ax|2+x2|对任意xR恒成立，即|1+ax|2+x2对任意xR恒成立，所以2x21+ax2+x2对任意xR恒成立，则对任意xR恒成立，所以，解得2a2，所以实数a的取值范围是（2，2）故选：D11已知三棱锥PABC的各个顶点都在球O的表面上，PA底面ABC，ABAC，AB

16、6，AC8，D是线段AB上一点，且AD5DB过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28，则球O的表面积为（）A128B132C144D156解：因为ABAC，AB6，AC8，所以，设面ABC所截的截面圆的圆心为O，外接球的球心为O，则O为BC的中点，且OO平面ABC，则有OAOBOC，取AB的中点E，连结OE，OO，则OE，因为AD5DB，AB8，E为AB的中点，所以DE2，所以，设OOx，则有OD2OD2+OO220+x2，则球的半径R2OA2+x252+x225+x2，故与OD垂直的截面圆的半径，所以截面圆面积的最小值为r25，截面圆面积的最大值为R2，由题意可得R25

17、28，解得R233，所以球的表面积为S4R2132故选：B12已知梯形ABCD中，以AB中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系|AB|2|CD|，点E在线段AC上，且，若以A，B为焦点的双曲线过C、D、E三点，则该双曲线的离心率为（）ABCD解：设双曲线方程为，由题中的条件可知|CD|c，且CD所在直线平行x轴，设C（），A（c，0），E（x，y），由，可得，点E的坐标满足双曲线方程，所以，联立可得，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13函数f（x）ln（x+1）+x2ex的图象在点（0，f（0）处的切线方程为xy0解：f（x）ln（x+1）+x2ex，f（x）+2x

18、ex+x2ex，则f（0）1，又f（0）0，函数yf（x）图象在点（0，0）处的切线方程为：y0x，即函数yf（x）图象在点（0，0）处的切线方程为yx；故答案为：xy014已知向量与的夹角为60，|3，|6，则2在方向上的投影为3解：向量与的夹角为60，|3，|6，可得2在方向上的投影为：3故答案为：315在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC90，ABC的平分线交AC于点D若a+4c的最小值为9，则BD解：如图，ABC的平分线交AC于点D，所以ABDCBD45，所以SABCacsin90cBDsin45+aBDsin45，可得2accBD+aBD，可得1，所以a+4cBD

19、，a+4cBD（+5+）BD（5+2）BD9，当且仅当a2c时取等号，所以BD故答案为：16已知a0，不等式（x+1）1aex+1aln（x+1）0对任意的x（0，+）恒成立，则实数a的取值范围为（0，e解：不等式（x+1）1aex+1aln（x+1）0对任意的x（0，+）恒成立，令tx+1，则t1，所以不等式等价于t1aetalnt0对t1恒成立，变形可得不等式tettalnta对t1恒成立，令f（t）tet，t1，则不等式等价于f（t）f（lnta）对t1恒成立，f（t）（t+1）et，当t1时，f（t）0，故f（t）单调递增，所以不等式转化为tlnta对t1恒成立，即对t1恒成立，令，所

20、以，令g（t）0，解得te，当1te时，g（t）0，则g（t）单调递减，当te时，g（t）0，则g（t）单调递增，所以当te时，g（t）取得最小值g（e）e，所以ae，又a0，所以实数a的取值范围为（0，e故答案为：（0，e三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列an满足a11，Sn（）求数列an的通项公式；（）若bn（1）n+1，数列bn的前n项和为Tn，求T2021解：（）由a11，Sn，可得n2时，Sn1，由可得anSnSn1，化为（n1）annan1，

21、即1，可得ann，上式对n1也成立，则数列an的通项公式为ann，nN*；（）bn（1）n+1（1）n+1（1）n+1（+），所以T2021（1+）（+）+（+）+（+）1+18在四棱锥PABCD中，APPDDCCB1，AB2，APDDCBCBA90，平面PAD平面ABCD（）求证：PBPC；（）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值【解答】（）证明：设AD，BC的中点分别为O，E，连结PO，OE，EP，则OE为直角梯形ABCD的中位线，故BCOE，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，POAD，所以PO平面ABCD，又BC平面ABCD，所以POBC，又POOEO，PO，OE平面

22、PEO，所以BC平面PEO，又PE平面PEO，所以BCPE，又E为BC的中点，所以PBPC；（）解：在AB上取一点F，使得AB4AF，则OF，OE，OP两两垂直，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面PCD的法向量为，则有，令z1，则y0，x，故，所以，故直线PA与平面PCD所成角的正弦值为19已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，点D（1，）是椭圆C上一点，离心率为（）求椭圆C的方程；（）若直线l过椭圆右焦点F2且与椭圆交于P、Q两点，直线AP、AQ与直线x4分别交于M，N（）求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；（）求AMN面积的最小值解：（

23、）由题意可知，解得a24，b23，所以椭圆C的方程为+1（）（）设直线l的方程为xmy+1，联立，得（3m2+4）y2+6my90，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以y1+y2，y1y2，直线AP的方程为y（x+2），令x4得yM，同理可得yN，所以yMyN9（）SAMN6|yMyN|3|yM+|3218当且仅当yM3，yN3或yM3，yN3时等号成立20已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（280，25）（）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率；（）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，

24、包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y的分布列与数学期望参考数据：若ZN（，2），则P（pZ+）0.6827，P（2Z+2）0.9545，P（3Z+3）0.9974，0.9987100.9871解：（）因为XN（280，25），则280，5，

25、2653，所以P（X265）0.0013，所以从该生产线生产的零件中随机抽取10个，至少有一个尺寸小于265mm的概率为：P1（10.0013）1010.9987100.0129（）由题意可得Y的所有可能取值为20000，22000，24000，26000，28000，P（Y20000），P（Y22000），P（Y24000），P（Y26000），P（Y28000），所以Y的分布列为：Y2000022000240002600028000P 数学期望E（Y）20000+22000+24000+26000+280002200021已知函数f（x）xexalnxe（）当a2e时，不等式f（x）mxm

26、在1，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（）若a0，f（x）最小值为g（a），求g（a）的最大值以及此时a的值解：（）a2e时，f（x）xex2elnxe，令u（x）f（x）mx+mxex2elnxemx+m，则u（x）（x+1）exm，u（x）（x+2）ex+0，故u（x）在1，+）递增，u（1）m，u（x）u（1），当m0时，u（1）m0，故存在x01，使得u（x）在1，x0）递减，u（x0）u（1）0，u（x）0在1，+）上不恒成立，m0不可取，m0可取，m的取值范围是（，0；（）f（x）（x+1）ex，令f（x）0，得aex（x2+x），令h（x）ex（x2+x），则h（x）ex（x2

27、+3x+1）0，h（x）在（0，+）递增，aex（x2+x）至多1个解，设该解是x0，即a（+x0），f（x）的最小值是g（a）xalnx0ex0（+x0）lnx0e，令F（x0）x0（+x0）lnx0e，则F（x0）lnx0（+3x0+1），x00，令F（x0）0，解得：0x01，令F（x0）0，解得：x01，F（x0）在（0，1）递增，在（1，+）递减，F（x0）的最大值是F（1）0，即g（a）的最大值是0，此时x01，a2e(二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xO

28、y中，曲线C1的参数方程是（t是参数，0，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是4sin（）2cos（）写出曲线C2的直角坐标方程；（）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2sincos的值解：（）曲线C2的极坐标方程是4sin（）2cos，根据转换为直角坐标方程为x2+y22x+4y，即（x1）2+（y2）25（）曲线C1的参数方程是（t是参数，0，），转换为直角坐标方程为ykx+5，（k0），利用圆心（1，2）到直线的距离公式，解得k，（负值舍去），故k2，即tan2，所以sin，cos，故sin2sincos选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x4|+|x+a|（a0）（）若a1，求不等式f（x）5的解集；（）若f（x）a22a+4恒成立，求实数a的取值范围解：（）若a1，不等式f（x）5即为|2x4|+|x+15，等价为或或，解得x1或1x0或x4，所以原不等式的解集为（，04，+）：（）若f（x）a22a+4恒成立，即为（|2x4|+|x+a|）mina22a+4，a0，而|2x4|+|x+a|x2|+（|x2|+|x+a|）|22|+|x2xa|a+2|a+2，当x2时，上式取得等号，所以a22a+4a+2，即a23a+20，解得1a2，即a的取值范围是1，2