4.5.1函数的零点与方程的解-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义.doc

1、新教材必修第一册4.5.1：函数的零点与方程的解课标解读：1. 函数零点的概念.（理解）2. 有解与有零点的关系.（理解）3. 函数零点的判断.（理解）学习指导：在熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图像与性质的基础上，提炼方程的解与函数的图像与x轴交点的关系，进而理解并准确把握函数零点的概念，以及函数零点、方程的实数解、函数图像与x轴交点三者之间的关系，并能从“形”（函数图像）与“数”（函数零点存在定理）两个角度分析解决函数零点有关问题.知识导图知识点1：函数的零点1.函数零点的概念对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.即哈数的零点就是使函数值为零的自变量的值.2.函

2、数的零点与方程的解的关系函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图像与x轴的公共点的横坐标.所以方程有实数解函数有零点函数的图像与x轴有公共点.3.几种常见函数的零点（1）二次函数的零点一元二次方程的实数根也称为函数的零点.当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：的实数根（其中）方程无实数根的图像的零点函数无零点类似可得当的情形.（2） 正比例函数仅有一个零点0.（3） 一次函数仅有一个零点（4）反比例函数没有零点.（5）指数函数没有零点.（6）对数函数仅有一个零点1.（7）幂函数当时仅有一个零点0；当时，没有零点.例1-1：观察如图所示的四个函数图像，指出在上哪个函数

3、有零点.答案：在上有零点，在上没有零点.例1-2：判断下列说法是否正确：（1） 函数的零点为1；（2） 函数的零点为（0,0），（2,0）.答案：（1）不正确 （2）不正确例1-3：函数的零点个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：D例1-4：是“函数有零点”的（ ）A. 充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案：C知识点2：函数零点存在定理1.函数零点存在定理如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个c也就是方程的解.2.函数零点存在定理的几何意义.在闭区间上有连续不断的曲线，且

4、曲线的起点与终点分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.3.函数零点的性质如果函数图像通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点.如图（1）所示，都是变号零点；如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点，如图（2）所示，二次函数有一个不变号零点（或叫二重零点）.对于任意函数，只要它的图像是连续不断的，则有：（1） 当它的图像听过零点且穿过x轴时，零点两侧的函数值异号；（2） 相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.例2-5：若函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ ）A.若，则不存在实数，使得B.若，则只存在实数，使得C.若，则有可能在实数，使得D.若，则有可

5、能不存在实数，使得答案：C例2-6：已知定义在R上的函数的图像是连续不断的，当x=1,2,3,5时对应的函数值如下表，那么下列区间内，函数不一定存在零点的是（ ）x1235f(x)3-120A.（1,2） B.1,3 C.2,5) D.（3,5） 答案：D变式训练1：针对例2-6，函数在区间1,5上的零点至少有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个答案：C题型与方法题型1：求函数的零点（方程的根）例7：判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.；.答案：（1）零点为；（2）零点为；（3）不存在零点；（4）零点为.例8：函数的零点的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D.

6、3答案：C变式训练2：若函数的图像如图所示，则函数的零点是 .答案：题型2：函数零点存在定理的应用判断函数零点（方程的根）例9：若是方程的根，则属于区间（ ）A.（） B.（） C.（） D.（） 答案：C例10：函数的一个零点在区间（1,2）内，则实数的取值范围是（ ）A.（1,3） B.（1,2） C.（0,3） D.（0,2）答案：C变式训练3：表示不超过的最大整数，例如.已知是方程的根，则（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5答案：C题型3：利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题1.函数零点的个数例11：已知函数，则函数的零点个数为（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

7、答案：B变式训练4：函数的零点的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案：B2.已知函数零点个数或零点所在区间求参数的取值范围例12：已知函数有且只有两个零点，则的取值范围是（ ）.A. B. C. D.答案：B变式训练5：已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.答案：C3.涉及图像变换例13：若关于有两个不等的实数根，则的取值范围是 .答案：4.函数零点位置的确定例14：已知是函数的一个零点.若，则（ ）A. B.C. D.答案：B例15：若方程的根为，方程的根为，则的取值范围为（ ）.A.（0,1） B.（1，+） C

8、.（1,2） D.1，+）答案：A题型4：一元一次方程根的分布及应用例16：当为何值时，方程有；两个不相等的实根？答案：方程有两个不相等的负根，故当时，方程有两个不相等的负根.例17：若方程的两个根满足，求实数的取值范围.答案：由题意可知，即，解得故实数的取值范围是【变式1】若本例题中的条件改为“方程的一根小于1，另一根大于1”，实数的取值范围是什么呢？答案：【变式2】若将本例题中的条件改为“方程在时有两个相异实根”，实数的取值范围是什么呢？答案：例18：已知，关于的方程，给出下列四个命题：存在实数，使得方程恰有2个不同的实数解；存在实数，使得方程恰有4个不同的实数解；存在实数，使得方程恰有5

9、个不同的实数解；存在实数，使得方程恰有8个不同的实数解；其中真命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案：D易错提醒易错1：误解零点的概念例19：函数的零点是（ ）A.（1,0） B.（2,0） C.（1,0）,（2,0） D. 1,2答案：D易错2：错用函数零点存在定理例20：函数的零点个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 4答案：B易错3：求参数的取值范围忽略限制条件例21：若函数在区间0,4内至少有一个零点，求实数的取值范围.答案： 解得 高考链接考向1：确定函数零点所在的区间例22：已知函数在下列区间中，包含零点的区间是（ ）A.（0,1） B.（1,2）

10、C.（2,4） D.（4,）答案：C考向2：确定函数零点的个数例23：已知函数，函数，则函数的零点个数为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5答案：A考向3：与函数零点相关的参数问题例24：已知函数，.若存在2个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.答案：C基础巩固1.下列命题中真命题的个数是（ ）若，函数在上单调且图像连续，则函数在上只有一个零点；若，函数在上单调且图像连续，则函数在内一定没有零点；若，函数在上不单调且图像连续，则函数在内是否存在零点不确定；若，则或是函数的零点.A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.下列函数不存在零点的是（ ）A. B. C. D.3.根

11、据表格中的数据可以判定方程的一个根所在的区间为（ ）1234500.6931.0991.3861.609-10123A.（1,2） B.（2,3） C.（3,4） D.（4,5）4.若是函数的零点，则（ ）A. B. C. D.5.方程的根所在的区间为（ ）A.（-1,0） B.（0,1） C（1,3） D.（2,3）6.函数有两个零点，其中，则实数的取值范围是（ ）.A. B. C. D.7.已知函数（1）如果函数的一个零点为0，求的值；（2）当函数有两个零点，求的取值范围；（3）当函数有两个零点，且其中一个大于1，另一个小于1，求的取值范围.能力提升8.若函数的零点与的零点之差的绝对值不大

12、于0.5，则可以是（ ）.A. B.C. D.9.函数的零点个数为（ ）.A. 1 B. 2 C. 3 D. 410.已知分别是关于的方程的根，则下面为定值的是（ ）.A. B. C. D.11.设函数.若实数满足，则（ ）.A. B. C. D.12.定义在R上的偶函数满足，且在时，.若关于的方程在时恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）A.（1,2） B.（2,+） C.（） D.（） 13.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为 .14.偶函数满足，且当时，则函数在（0,10）上的零点的个数为 .15.若函数有两个零点，则实数的取值范围是 .16.已知函数，当时，函数的零点，则 .17.设函数（1）当时，求函数在-1,1上的最小值的表达式；（2）已知函数在-1,1上存在零点，.求的取值范围.参考答案1. D2. D3. C4. C5. B6. A7.,的取值范围为：.，解得.故的取值范围为8.D9.B10.C11.A12.D13.14.1015.（0,2）16.217.（1） （2）设为方程的解，且，则.由于，因此当时，由于所以，当 时，由于和，所以故b的取值范围是