江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（理科）.docx

1、2022-2022学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1命题p“xR，sinx1”的否定是2准线方程x=1的抛物线的标准方程为3底面半径为1高为3的圆锥的体积为4双曲线的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为5若直线l1：x+4y1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直，则k的值为6函数f（x）=x33x的单调减区间为7在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱共有条8已知函数f（x）=cosx+sinx，则的值为9“a=b”是“a2=b2”成立的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）1

2、0若圆x2+y2=4与圆（xt）2+y2=1外切，则实数t的值为11如图，直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4）处的切线，则f（4）+f（4）的值等于12椭圆（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P，满足F1PF2=120，则该椭圆的离心率的取值范围是13已知A（3，1），B（4，0），P是椭圆上的一点，则PA+PB的最大值为14已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x，当x2时k（x2）xf（x）+2g（x）+3恒成立，则整数k最大值为二、解答题：本大题共6小题，共计90分15在三棱锥PABC中，AP=AB，平面PAB平面ABC，ABC=90，D，E分别为PB，BC的中点

3、（1）求证：DE平面PAC；（2）求证：DEAD16已知圆C的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为P（1，2），Q（3，4）（1）求圆C的方程； （2）若直线y=2x+b被圆C截得的弦长为，求b的值17在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值18某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S（1）写出S关于x的函数关系式

4、，并写出定义域；（2）如何设计瓶子的尺寸（不考虑瓶壁的厚度），可以使表面积S最小，并求出最小值19已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（c4），其导函数y=h（x）的图象如图所示，函数f（x）=8lnx+h（x）（1）求a，b的值； （2）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调增函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意k1，1，x（0，8，不等式（k+1）xf（x）恒成立，求实数c的取值范围20把半椭圆=1（x0）与圆弧（xc）2+y2=a2（x0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点如图，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知B1FB2=，扇形F

5、B1A1B2的面积为（1）求a，c的值； （2）过点F且倾斜角为的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将A1PQ的周长L表示为的函数；（3）在（2）的条件下，当A1PQ的周长L取得最大值时，试探究A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围2022-2022学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1命题p“xR，sinx1”的否定是xR，sinx1【考点】命题的否定【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时对应，对应【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“xR，sinx1”的否定是：x

6、R，sinx1故答案为：xR，sinx12准线方程x=1的抛物线的标准方程为y2=4x【考点】抛物线的标准方程【分析】直接由抛物线的准线方程设出抛物线方程，再由准线方程求得p，则抛物线标准方程可求【解答】解：抛物线的准线方程为x=1，可设抛物线方程为y2=2px（p0），由准线方程x=，得p=2抛物线的标准方程为y2=4x故答案为：y2=4x3底面半径为1高为3的圆锥的体积为【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】利用圆锥的体积公式，能求出结果【解答】解：底面半径为1高为3的圆锥的体积为：V=故答案为：4双曲线的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为6【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题意

7、，由双曲线的标准方程可得该双曲线的焦点在x轴上，且a=，b=，可得其渐近线方程为y=x，进而结合题意可得=1，解可得m的值，即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为：，则其焦点在x轴上，且a=，b=，故其渐近线方程为y=x，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=1，解可得m=6；故答案为：65若直线l1：x+4y1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直，则k的值为4【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】利用直线与直线垂直的性质求解【解答】解：直线l1：x+4y1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直互相垂直，（k）=1，解得k=4故答案为：46函数f（x）=x33x的单调

8、减区间为（1，1）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求函数的导函数，令导函数小于零，解此不等式即可求得函数y=x33x的单调递减区间【解答】解：令y=3x230解得1x1，函数y=x33x的单调递减区间是（1，1）故答案为：（1，1）7在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱共有4条【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】画出正方体，利用数形结合思想能求出结果【解答】解：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱有：DD1，CC1，A1D1，B1C1，共4条故答案为：48已知函数f（x）=cosx+sinx，则的值为0【考点】导数的运算【分析】求

9、函数的导数，利用代入法进行求解即可【解答】解：函数的导数为f（x）=sinx+cosx，则f（）=sin+cos=+=0，故答案为：09“a=b”是“a2=b2”成立的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】结合充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若a2=b2，则a=b或a=b，即a=b”是“a2=b2”成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要10若圆x2+y2=4与圆（xt）2+y2=1外切，则实数t的值为3【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】利用圆x2+y2=4与圆（xt）2+y2=1

10、外切，圆心距等于半径的和，即可求出实数t的值【解答】解：由题意，圆心距=|t|=2+1，t=3，故答案为311如图，直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4）处的切线，则f（4）+f（4）的值等于【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算【分析】根据题意，结合函数的图象可得f（4）=5，以及直线l过点（0，3）和（4，5），由直线的斜率公式可得直线l的斜率k，进而由导数的几何意义可得f（4）的值，将求得的f（4）与f（4）的值相加即可得答案【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（4）=5，直线l过点（0，3）和（4，5），则直线l的斜率k=又由直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4

11、）处的切线，则f（4）=，则有f（4）+f（4）=5+=；故答案为：12椭圆（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P，满足F1PF2=120，则该椭圆的离心率的取值范围是，1）【考点】椭圆的简单性质【分析】如图根据椭圆的性质可知，F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足F1PF2=120，F1AF2120，F1AO60，即可，【解答】解：如图根据椭圆的性质可知，F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足F1PF2=120，F1AF2120，F1AO60，tanF1AO=，故椭圆离心率的取范围是，1）故答案为，1）

12、13已知A（3，1），B（4，0），P是椭圆上的一点，则PA+PB的最大值为【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意画出图形，可知B为椭圆的左焦点，A在椭圆内部，设椭圆右焦点为F，借助于椭圆定义，把|PA|+|PB|的最大值转化为椭圆上的点到A的距离与F距离差的最大值求解【解答】解：由椭圆方程，得a2=25，b2=9，则c2=16，B（4，0）是椭圆的左焦点，A（3，1）在椭圆内部，如图：设椭圆右焦点为F，由题意定义可得：|PB|+|PF|=2a=10，则|PB|=10|PF|，|PA|+|PB|=10+（|PA|PF|）连接AF并延长，交椭圆与P，则此时|PA|PF|有最大值为|AF|=|PA|

13、+|PB|的最大值为10+故答案为：10+14已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x，当x2时k（x2）xf（x）+2g（x）+3恒成立，则整数k最大值为5【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】k（x2）xf（x）+2g（x）+3恒成立，等价于k（x2）xlnx+2（x2）+3对一切x（2，+）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围【解答】解：因为当x2时，不等式k（x2）xf（x）+2g（x）+3恒成立，即k（x2）xlnx+2（x2）+3对一切x（2，+）恒成立，亦即k=+2对一切x（2，+）恒成立，所以不等式转化为k+2对任意x

14、2恒成立设p（x）=+2，则p（x）=，令r（x）=x2lnx5（x2），则r（x）=1=0，所以r（x）在（2，+）上单调递增因为r（9）=4（1ln3）0，r（10）=52ln100，所以r（x）=0在（2，+）上存在唯一实根x0，且满足x0（9，10），当2xx0时，r（x）0，即p（x）0；当xx0时，r（x）0，即p（x）0所以函数p（x）在（2，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，又r（x0）=x02lnx05=0，所以2lnx0=x05所以p（x）min=p（x0）=+2=+2（5，6），所以kp（x）min（5，6），故整数k的最大值是5 故答案为：5二、解答题：本大题

15、共6小题，共计90分15在三棱锥PABC中，AP=AB，平面PAB平面ABC，ABC=90，D，E分别为PB，BC的中点（1）求证：DE平面PAC；（2）求证：DEAD【考点】直线与平面平行的判定【分析】（1）推导出DEPC，由此能证明DE平面PAC（2）推导出ADPB，BCAB，从而ADBC，进而AD平面PBC，由此能证明DEAD【解答】证明：（1）因为D，E分别为PB，BC的中点，所以DEPC，又DE平面PAC，PC平面PAC，故DE平面PAC（2）因为AP=AB，PD=DB，所以ADPB，因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，又BCAB，BC平面ABC，所以BC平面PAB

16、，因为AD平面PAB，所以ADBC，又PBBC=B，PB，BC平面ABC，故AD平面PBC，因为DE平面PBC，所以DEAD16已知圆C的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为P（1，2），Q（3，4）（1）求圆C的方程； （2）若直线y=2x+b被圆C截得的弦长为，求b的值【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）由已知可知PQ为圆C的直径，故可得圆心C的坐标，求出半径，即可求圆C的方程； （2）求出圆心C到直线y=2x+b的距离，利用直线y=2x+b被圆C截得的弦长为，建立方程，即可求b的值【解答】解：（1）由已知可知PQ为圆C的直径，故圆心C的坐标为（2，1），圆C的半径，所以圆C的方

17、程是：（x2）2+（y1）2=10（2）设圆心C到直线y=2x+b的距离是，据题意得：，即，解之得，b=2或b=817在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角【分析】（I）以，为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，可得和的坐标，可得cos，可得答案；（II）由（I）知， =（2，0，4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角

18、为，则sin=|cos，|=，进而可得答案【解答】解：（I）以，为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），=（2，0，4），=（0，2，4），cos，=异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；（II）由（I）知， =（2，0，4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），则可得，即，取x=1可得=（1，1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为，则sin=|cos，|=直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：18某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为

19、半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S（1）写出S关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）如何设计瓶子的尺寸（不考虑瓶壁的厚度），可以使表面积S最小，并求出最小值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义【分析】（1）根据体积公式求出h，再根据表面积公式计算即可得到S与x的关系式，（2）根据导数和函数的最值得关系即可求出【解答】解：（1）据题意，可知x2h=3，得，（2），令S=0，得x=1，舍负，当S（x）0时，解得x1，函数S（x）单调递增，当S（x）0时，解得0x1，函数S（x

20、）单调递减，故当x=1时，函数有极小值，且是最小值，S（1）=9答：当圆柱的底面半径为1时，可使表面积S取得最小值919已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（c4），其导函数y=h（x）的图象如图所示，函数f（x）=8lnx+h（x）（1）求a，b的值； （2）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调增函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意k1，1，x（0，8，不等式（k+1）xf（x）恒成立，求实数c的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质【分析】（1）利用导函数y=h（x）的图象确定a，b的值即可；（2）要使求函数f（x）在区间（m，m+）上是单调增函数，则f（x）的

21、符号没有变化，可以求得实数m的取值范围；（3）函数y=kx的图象总在函数y=f（x）图象的上方得到kx大于等于f（x），列出不等式，构造函数，求出函数的最小值即可得到c的范围【解答】解：（1）二次函数h（x）=ax2+bx+c的导数为：y=h（x）=2ax+b，由导函数y=h（x）的图象可知，导函数y=h（x）过点（5，0）和（0，10），代入h（x）=2ax+b得：b=10，a=1；（2）由（1）得：h（x）=x210x+c，h（x）=2x10，f（x）=8lnx+h（x）=8lnx+x210x+c，f（x）=+2x10=，当x变化时 （0，1）1（1，4）4（4，+）f（x）+00+f（x

22、）所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（4，+）单调递减区间为（1，4），若函数在（m，m+）上是单调递增函数，则有或者m4，解得0m或m4；故m的范围是：0，4，+）（3）若对任意k1，1，x（0，8，不等式（k+1）xf（x）恒成立，即对k=1时，x（0，8，不等式cx28lnx+10x恒成立，设g（x）=x28lnx+10x，x（0，8，则g（x）=，x（0，8，令g（x）0，解得：1x4，令g（x）0，解得：4x8或0x1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，4）递增，在（4，8递减，故g（x）的最小值是g（1）或g（8），而g（1）=9，g（8）=1624ln349，c4，故

23、cg（x）min=g（8）=1624ln3，即c的取值范围是（，1624ln320把半椭圆=1（x0）与圆弧（xc）2+y2=a2（x0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点如图，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知B1FB2=，扇形FB1A1B2的面积为（1）求a，c的值； （2）过点F且倾斜角为的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将A1PQ的周长L表示为的函数；（3）在（2）的条件下，当A1PQ的周长L取得最大值时，试探究A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由扇形FB1A1B2

24、的面积为可得a，在OFB2中，tanOFB2=tan60=，又因为c2+b2=a2，可得c（2）分 当（0，）； 当（）； 当（，）求出A1PQ的周长； （3）在（2）的条件下，当A1PQ的周长L取得最大值时P、Q在半椭圆：（x0）上，利用弦长公式、点到直线的距离公式，表示面积，再利用单调性求出范围【解答】解：（1）扇形FB1A1B2的面积为=，a=2，圆弧（xc）2+y2=a2（x0）与y轴交点B2（0，b），在OFB2中，tanOFB2=tan60=，又因为c2+b2=a2，c=1（2）显然直线PQ的斜率不能为0（0，），故设PQ方程为：x=my+1由（1）得半椭圆方程为：（x0）与圆弧方

25、程为：（x1）2+y2=4（x0），且A1（1，0）恰为椭圆的左焦点当（0，）时，P、Q分别在圆弧：（x1）2+y2=4（x0）、半椭圆：（x0）上，A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin，A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4sin，当（）时，P、Q分别在圆弧：（x1）2+y2=4（x0）、半椭圆：（x0）上，A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4cos，A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4cos，当（，）时，P、Q在半椭圆：（x0）上，A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin，A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=4a=8 （3）在（2）的条件下，当A1PQ的周长L取得最大值时P、Q在半椭圆：（x0）上，联立得（3m2+4）y2+6my9=0y1+y2=，y1y2=|PQ|=，点A1到PQ的距离d=A1PQ的面积s=|PQ|d=12令m2+1=t，t1，s=12=12；g（t）=9t+在1，+上递增，g（1）g（t）g（），；10g（t），s3A1PQ的面积不为定值，面积的取值范围为：18 / 19