5.4.3 正切函数的性质与图象-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第一册）.doc

1、高一数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第一册)5.4.3正切函数的性质与图象【考点梳理】考点一函数ytan x的图象与性质解析式ytan x图象定义域值域R最小正周期奇偶性奇函数单调性在每个开区间(kZ)上都是增函数对称性对称中心(kZ)【题型归纳】题型一：正切函数的图象的应用1（2021全国高一）函数的图象可能是（ ）ABCD2（2021上海高一期中）函数与的图像在上的交点有（ ）A9个B13个C17个D21个3（2021全国高一课时练习）在（0，）内，使成立的的取值范围为（ ）A（，）BCD题型二：正切函数的单调性的应用4（2021全国高一课时练习）已知，不通过

2、求值，判断下列大小关系正确的是（ ）ABCD5（2021云南隆阳高一期中）已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ）A B C D6（2021江西景德镇一中高一期中（文），实数的大小关系为（ ）ABCD题型三：正切函数的定义域、值域7（2021云南昆明二十三中高一期中）函数的定义域为（ ）ABCD8（2021全国高一课时练习）函数，的值域为（ ）ABCD9（2020黑龙江哈尔滨市第六中学校高一月考）函数的定义域为（ ）ABCD题型四：正切函数的奇偶性和对称性10（2021上海高一专题练习）下列命题中正确的是（ ）A在第一象限单调递增B在函数中，越大，也越大C当时，总有D 的图象关于原点对

3、称11（2021上海高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）A是奇函数B最小正周期为C为图象的一个对称中心D其图象由的图象右移个单位得到12（2021山东齐河县第一中学高一月考）的对称中心为（ ）ABCD题型五：正切函数图像和性质的综合应用13（2021全国高一课时练习）已知，求的值域14（2021安徽定远县育才学校高一期中（文）设函数（1）求函数的定义域、周期、和单调区间；（2）求不等式的解集15（2021全国高二课时练习）已知函数的图像与x轴相交的两相邻点的坐标分别为和，且过点.求：（1）函数的解析式；（2）满足的x的取值范围.【双基达标】一、单选题16（2021全国高一课时练习）函

4、数（ ）A在上是增函数B在上是增函数，在上是减函数C在上是减函数D在上是减函数，在）上是增函数17（2021全国高一课时练习）函数的最小正周期是（ ）ABCD18（2021上海高一期末）方程的解集是（ ）ABCD19（2021云南隆阳高一期中）与函数的图象不相交的一条直线是（ ）ABCD20（2021江西景德镇一中高一期中）关于函数，下列叙述正确的是（ ）A最小正周期为，渐近线为直线：B最小正周期为，渐近线为直线：C最小正周期为，渐近线为直线：D最小正周期为，渐近线为直线：21（2021山东潍坊高一期中）函数的定义域为（ ）ABCD22（2021北京北师大实验中学高一期中）在函数， ，中，最小

5、正周期为 的所有函数为（ ）ABCD23（2021江西景德镇一中高一期末（文）函数在区间内的图象是（ ）ABCD24（2021全国高一专题练习）函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（ ）A(0，0)B(，0)C(，0)D以上选项都不对25（2021全国高一课时练习）直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD【高分突破】一：单选题26（2021河南信阳市浉河区新时代学校高一月考）函数的最小正周期是，则（ ）A4B2CD2或27（2020陕西千阳县中学高一期末）函数的定义域是（ ）ABCD28（2021全国高一课时练习）函数的一个对称中心是

6、（ ）ABCD29（2021宁夏六盘山高级中学高一月考）函数的单调增区间为（ ）ABCD30（2021上海高一课时练习）设、，那么“”是“”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件31（2021上海高一课时练习）函数，的图像是（ ）ABCD二、多选题32（2021全国高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）A函数在定义域内是增函数B函数的增区间是C函数的定义域是D函数在上的最大值为，最小值为033（2021全国高一课时练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A的最小正周期为B的图象关于中心对称C在区间上单调递增D的值域为34（2021湖北十堰高一期末）已

7、知函数，则下列结论中正确的有（ ）A的最小正周期为B点是图象的一个对称中心C的值域为D不等式的解集为35（2021山西实验中学高一开学考试）下列关于函数的说法错误的是（ ）A在区间上单调递增B最小正周期是C图象关于点成中心对称D图象关于直线成轴对称36（2021江苏启东高一期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A若的最小正周期是，则B当时，的对称中心的坐标为C当时，D若在区间上单调递增，则37（2020广东深圳实验学校高中部高一月考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）A函数满足B函数在上单调递增C函数在区间上单调递增D函数图像关于点对称三、填空题38（2021全国高一单元测试）若，则的值域为

8、_39（2021全国高一课时练习）函数，若，则的值为_40（2021贵州兴仁市凤凰中学高一期末）函数的单调递减区间为_.41（2021上海市奉贤中学高一期中）已知函数和函数的图像交于、三点，则的面积为_42（2021上海高一专题练习）利用图像，不等式的解集为_.四、解答题43（2021全国高一课时练习）比较下列各组中两个正切函数值的大小（1）与；（2）与；（3）与44（2021全国高一课时练习）判断函数的奇偶性45（2021全国高一课时练习）已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求函数的单调区间及对称中心46（2021安徽省蚌埠第三中学高一月考）已知.（1）求的最小正周期；（2）若是奇函数，则

9、应满足什么条件？并求出满足的值.47（2021上海市七宝中学高一期中）已知函数，其中，（1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心；（2）若函数在上严格递增，求的取值范围；（3）若函数在（且）满足：方程在上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2021，求的取值范围9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案详解】1B【分析】采用排除法，根据函数的奇偶性以及函数在处的函数值大小，可得结果.【详解】由，则所以，即函数是偶函数故排除A，C，当时，排除D.故选：B【点睛】本题考查根据函数解析式判断大致图象，针对这种题型常常从定义域、奇偶性、单调性、对称性、值域、特

10、殊值入手，考验分析问题的能力，属中档题.2A【分析】直接解方程确定【详解】，则或，显然的解包含在中，共9个故选：A【点睛】本题考查正弦函数与正切函数图象交点问题，可通过解方程确定解的个数3B【分析】画出和直线的图象，由图象可得不等式的解集.【详解】画出和直线的图象，由图象可得,在上解集为，故选B.【点睛】本题考查利用正切函数的图象解不等式，关键是掌握正切函数的图像和性质，利用数形结合思想求解.4C【分析】利用诱导公式进行化简，结合正切函数的单调性进行判断即可.【详解】又即故选：C5A【分析】由对任意，恒成立，则只要即可，根据函数的单调性求出函数的最小值即可得出答案.【详解】解：由对任意，恒成立

11、，则只要即可，因为函数和在上都是增函数，所以函数，在上是增函数，所以，所以.故选：A.6A【分析】利用三角函数的诱导公式及正切函数的单调性判断与的大小，再比较与，则答案可求【详解】解：，在上单调递增，即，因为综上，即故选：A7A【分析】结合正切的三角函数的定义域计算即可.【详解】由故选：A8A【分析】首先由的取值范围求出的取值范围，再根据正切函数的性质计算可得；【详解】解：因为，所以因为在上单调递增，所以即故选：A9A【分析】由题意可得，且，结合正切函数的性质可求【详解】解：由题意可得，且，且，解可得，故选：【点睛】本题主要考查了正切函数的定义域的求解，属于基础题10D【分析】取特殊值代入检验

12、结合奇偶性定义即可判断出结果【详解】在第一象限内取两个数，有 因为，但，不满足增函数定义，故A，B错；取，有，故C错；由的定义域为关于原点对称，且 故为奇函数，所以图象关于原点对称，D正确故选：D11C【分析】根据正切函数的性质逐一判断即可.【详解】A，由，则，解得，定义域为，定义域不关于原点对称，故A错误. B，由解析式可得，故B错误；C，由正切函数的中心对称点可得，解得，当时，故C正确；D，的图象右移个单位得到，故D错误.故选：C12D【分析】由正切函数的对称中心，可令求即可.【详解】由的对称中心为，令，可得.故选：D13【分析】令，结合已知及正切函数的性质可得，再利用二次函数的性质求的值

13、域即可.【详解】令，又，故函数化为，且对称轴为当时，当时，的值域为14（1）定义域为，周期为，增区间为，；（2），【分析】（1）利用正切函数的定义域、周期性和单调性，即可求出结果；（2）由题意可得，结合函数图象与性质可知，解不等式即可求出结果.【详解】（1）根据函数，可得，求得，故函数的定义域为周期为令，得，故函数的增区间为，（2）求不等式，即，求得，故不等式的解集为，15（1）；（2）【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，根据它的图像过点求出，根据它的图像过点，求出的值即得解；（2）利用正切函数的图象得到，化简即得解.【详解】（1）由题意可得的周期为，所以，所以，因为它的图像过点，所以，即

14、，所以，即.又，所以，于是.又它的图像过点，所以，得.所以.（2）由（1）得，所以，即.解得.所以满足的x的取值范围是16D【分析】由同角间的三角函数关系化简函数，然后分类讨论即可得【详解】因为由函数在上是增函数，知函数在上是减函数，在上是增函数，故选：D17A【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解.【详解】函数的最小正周期是 ，故选：A.18C【分析】把方程化为，结合正切函数的性质，即可求解方程的解，得到答案.【详解】由题意，方程，可化为，解得，即方程的解集为.故选：C.19D【分析】利用正切函数的定义域求解.【详解】由，得，则函数的定义域为.故选：D20D【分析】直接利用正切型函数性质求

15、解，即可得出结果.【详解】解：由函数可知最小正周期.令，解得.故选：D.21D【分析】先根据对数函数定义域的求法得到，再利用三角不等式的解法求解.【详解】若函数有意义，则，所以函数的定义域为.故选：D22C【分析】根据三角函数的解析式，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论【详解】=，=；图象是将=在轴下方的图像对称翻折到轴上方得到，所以周期为，由周期公式知，为，为，故选：C.23A【分析】先化简函数的表达式，再代入求出特殊函数值的符号，运用排除法可得选项.【详解】函数，当时，所以，故排除C、D选项，当时，所以，故排除B选项，故选：A.24C【分析】根据正切函数y=tanx图象的对称中心是(，

16、0)求出函数y=tan(3x+)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)，kZ；令3x+=，解得，kZ；所以函数y=tan(3x+)的图象的对称中心为(，0)，kZ；当k=3时,C正确，故选：C.25B【分析】由条件可得，即，然后求出的单调递增区间可得答案.【详解】因为直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，所以，所以，即由可得当时可得在上单调递增因为函数在区间上是增函数，所以实数的取值范围是故选：B26D【分析】利用求出答案即可.【详解】的最小正周期是，所以，解得.故选：D27D【分析】由，解不等式可得结果.【详解】由函数由意义得，所以，所以

17、，所以函数的定义域是.故选：D28A【分析】解方程，即得解.【详解】函数中，令，；解得，；所以时，的一个对称中心是，故选：A【点睛】方法点睛：求函数，只需解方程. 注意是不是.29B【分析】根据正切函数的单调增区间整体换元求解即可.【详解】解：因为函数的单调递增区间为，所以，解得，所以函数的单调增区间为.故选：B30C【分析】由正切函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】由、，若，由正切函数的单调性可得，充分性成立；若，则也成立，必要性成立；所以“”是“”的充要条件.故选：C.31C【分析】结合特值法与排除法即可得到结果.【详解】当时，排除B、D选项；当时，排除A选项；故选：

18、C.32BD【分析】根据正切函数的定义域、最值、单调性判断【详解】函数在定义域内不具有单调性，故A错误；由，得，故B正确；由，解得，故C错误；因为函数在上是增函数，所以函数在时取得最大值，在时取得最小值0，故D正确故选：BD33BC【分析】去绝对值，化为分段函数，画出函数的图象，即可判断【详解】解：函数，画出函数的图象，如图所示：，的最小正周期是，的值域为，在区间上单调递增，根据的图象，的图象关于中心对称，说法正确的是BC故选：BC34CD【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答.【详解】，作出的图象，如图，观察图象，的最小正周期

19、为，A错误；的图象没有对称中心，B错误；的值域为，C正确；不等式，即时，得，解得，所以的解集为，D正确.故选：CD35ACD【分析】本题可根据单调递增区间为判断出A错误，然后根据最小正周期判断出B正确，再然后根据关于点成中心对称判断出C错误，最后根据正切函数没有对称轴判断出D错误.【详解】A项：令，即，函数的单调递增区间为，A错误；B项：最小正周期，B正确；C项：令，即，函数关于点成中心对称，C错误；D项：正切函数没有对称轴，则函数也没有对称轴，D错误，故选：ACD.36AD【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案.【详解】解:对于A选项，当的最小正周期是，即：，则，

20、故A选项正确；对于B选项，当时，所以令，解得：，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项错误；对于C选项，当时，由于在单调递增，故，故C选项错误；对于D选项，令，解得： 所以函数的单调递增区间为：，因为在区间上单调递增，所以，解得：，另一方面，所以，即，又因为，所以，故，故D选项正确.故选：AD【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得，再结合和得，进而得答案.37AD【分析】选项A. 直接化简由诱导公式，可判断；选项B. 求出函数的单调区间可判断；选项C求出的定义域可判断；选项D求出对称中心坐标可判断.

21、【详解】选项A. ，故A正确.选项B. 函数的单调递减区间：即，当时，函数在上单调递减，所以B不正确.选项C. 的定义域为 由，所以函数在区间上不单调，所以C不正确.选项D. 函数的对称中心满足：即，所以的对称中心坐标为当时，为函数的一个中心对称点，所以D正确.故选：AD38【分析】分，两种情况求函数的值域，再整体讨论求解即可.【详解】解：当时，可得，此时，则；当时，可得，此时，则所以函数的值域为故答案为：390【分析】由，可得，然后再求出【详解】因为，且，所以，得，所以，故答案为：040【分析】由题得，利用正切函数的单调区间列出不等式，解之即得.【详解】由题意可知，则要求函数的单调递减区间只

22、需求的单调递增区间，由得，所以函数的单调递减区间为.故答案为：.41【分析】联立方程组，求出交点坐标，利用三角形的面积公式求出面积.【详解】由，得或，因为，所以或或，所以函数与函数图像的交点为，所以的面积故答案为：.42【分析】依题意画出函数图象，分别求出、时的取值，数形结合即可得到原不等式的解集；【详解】解：函数图象如下所示：令，则，解得；令，则，解得，因为，所以，即原不等式的解集为，故答案为：.43（1）（2）（3）【分析】利用正切函数的单调性比较大小，角不在同一单调区间上的，利用诱导公式化为同一单调区间上角的正切值（1）因为，且在上是增函数，所以（2）易得，因为，函数在上是增函数，所以，

23、即（3）因为，而函数在上是增函数，所以，即44是奇函数【分析】首先求出函数的定义域，再计算即可判断；【详解】解：由，得或，则或，；函数的定义域为，关于原点对称又，是奇函数45（1），；（2）单调区间是，；对称中心，【分析】（1）根据正切函数有意义的条件确定定义域；（2）根据正切函数的性质求解.【详解】（1）函数，解得，函数的定义域，；（2）函数，令，解得，的单调区间是，令，解得，函数的对称中心是，46（1）；（2），.【分析】（1）根据正切型函数的周期公式，即可得答案.（2）由题意得，根据其为奇函数，可得，即可求得的表达式，根据的范围，即可得答案.【详解】（1）因为函数，所以函数的最小正周期为

24、；（2）若是奇函数，则，解得，令，解得，且，所以，0，1，2.故.【点睛】易错点为：为奇函数，不是，而是，也为奇函数.47（1），；（2）；（3）.【分析】（1）由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得的范围【详解】解：（1）由于，的最小正周期为，令，求得，故的图象的对称中心为，（2）若函数在，上严格递增，则，求得，即的范围为（3）方程在，上至少存在2021个根，故当，时，至少有2021个根，即，至少有2021个根，即当，时， 至少有2021个根且在所有满足上述条件的，中，的最小值不小于2021，故至少包含2020个周期，即，所以33原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！