《赢在指导》2016届高三数学理课标版（陕西专用）二轮专题能力训练22 几何证明选讲（选修4—1） WORD版含解析.docx

1、专题能力训练22几何证明选讲(选修41)能力突破训练1.(2015云南弥勒模拟)如图,圆O的两弦AB和CD交于点E,EFCB,EF交AD的延长线于点F,FG切圆O于点G.(1)求证:DEFEAF;(2)如果FG=1,求EF的长.2.(2015全国高考)如图,AB是O的直径,AC是O的切线,BC交O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是O的切线;(2)若OA=3CE,求ACB的大小.3.如图,已知AB为圆O的一条直径,以端点B为圆心的圆交直线AB于C,D两点,交圆O于E,F两点,过点D作垂直于AD的直线,交直线AF于点H.(1)求证:B,D,H,F四点共圆;(2)若AC=2,AF=22,求

2、BDH外接圆的半径.4.如图,在ABC中,AB=AC=4,D是AC的中点,E是BC上一点,AE与DB交于点F,BAE=CBD.(1)求证:C,D,F,E四点共圆;(2)已知BF=2,求FD的长.5.(2015河北唐山一中仿真)如图,AB是O的弦,C,F是O上的点,OC垂直于弦AB,过点F作O的切线交AB的延长线于点D,连接CF交AB于点E.(1)求证:DE2=DBDA;(2)若BE=1,DE=2AE,求DF的长.6.(2015湖南高考)如图,在O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N.直线MO与直线CD相交于点F.证明:(1)MEN+NOM=180;(2)FEFN=FMFO.7.如图

3、,已知AB为O的直径,CD是O的切线,C为切点,ADCD交O于点E,连接AC,BC,OC,CE,延长AB交CD于点F.(1)证明:BC=CE;(2)证明:BCFEAC.思维提升训练8.如图,在ABC中,ABC=90,以AB为直径的O交AC于D,过点D作O的切线交BC于E,AE交O于点F.(1)证明:E是BC的中点;(2)证明:ADAC=AEAF.9.如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAE=DCAF,B,E,F,C四点共圆.(1)证明:CA是ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外

4、接圆面积的比值.10.(2015中原名校联盟模拟)如图,ABC的顶点都在圆O上,点P在BC的延长线上,且PA与圆O切于点A.(1)若ACB=70,求BAP的度数;(2)若ACAB=25,求PCPB的值.参考答案能力突破训练1.(1)证明:因为EFCB,所以DEF=ECB.又ECB=BAD,所以DEF=BAD.因为DFE=DFE,所以DEFEAF.(2)解:由EAFDEF,得FE2=FDFA,因为FG为切线,所以FG2=FDFA,所以EF=FG=1.2.(1)证明:连接AE,由已知得,AEBC,ACAB.在RtAEC中,由已知得,DE=DC,故DEC=DCE.连接OE,则OBE=OEB.又ACB

5、+ABC=90,所以DEC+OEB=90,故OED=90,DE是O的切线.(2)解:设CE=1,AE=x,由已知得AB=23,BE=12-x2.由射影定理可得,AE2=CEBE,所以x2=12-x2,即x4+x2-12=0.可得x=3,所以ACB=60.3.(1)证明:因为AB为圆O的一条直径,所以BFFH.又DHBD,所以B,D,H,F四点共圆.(2)解:因为AH与圆B相切于点F,由切割线定理得AF2=ACAD,代入解得AD=4,所以BD=12(AD-AC)=1,BF=BD=1.又AFBADH,所以DHBF=ADAF,由此得DH=ADBFAF=2.由(1)知,BH为BDH外接圆的直径,BH=

6、BD2+DH2=3,故BDH外接圆的半径为32.4.(1)证明:因为AB=AC,所以ABC=ACB.因为BAE=CBD,所以ABEBCD.所以AEB=BDC.所以C,D,F,E四点共圆.(2)解:由(1)知ABEBCD,所以ABBC=BECD.因为AB=AC=4,D是AC的中点,所以BCBE=ABCD=8.又由(1)知,C,D,F,E四点共圆,所以BFBD=BEBC=8.因为BF=2,所以BD=4.所以FD=BD-BF=2.5.(1)证明:连接OF.OC=OF,OCF=OFC.DF是O的切线,OFDF.OC垂直于弦AB,AEC与OCF互余,DFE与OFC互余,AEC=DFE,DEF=DFE,D

7、E=DF.DF是O的切线,DF2=DBDA,DE2=DBDA.(2)解:设AE=x,则DE=2x,DF=2x.DF2=DBDA,(2x)2=3x(2x-1),解得2x=3,DF的长为3.6.证明:(1)如图,因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OMAB,ONCD,即OME=90,ENO=90,因此OME+ENO=180.又四边形的内角和等于360,故MEN+NOM=180.(2)由(1)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FEFN=FMFO.7.证明:(1)CD为圆O的切线,C为切点,AB为圆O的直径,OCCD.ADCD,OCAD,OCA=CAE.又OC=OA,OAC=OCA,OA

8、C=CAE,BC=CE.(2)由弦切角定理可知,FCB=OAC,FCB=CAE.四边形ABCE为圆O的内接四边形,FBC=CEA,BCFEAC.思维提升训练8.证明:(1)连接BD,因为AB为O的直径,所以BDAC.又ABC=90,所以CB切O于点B,且ED切O于点D,因此EB=ED,EBD=EDB,CDE+EDB=90=EBD+C,所以CDE=C,得EC=ED,因此EB=EC,即E是BC的中点.(2)连接BF,可知BF是RtABE斜边上的高,可得ABEAFB.于是有ABAF=AEAB,即AB2=AEAF,同理可证AB2=ADAC,所以ADAC=AEAF.9.(1)证明:因为CD为ABC外接圆

9、的切线,所以DCB=A.由题设知BCFA=DCEA,故CDBAEF,所以DBC=EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以CFE=DBC,故EFA=CFE=90.所以CBA=90,因此CA是ABC外接圆的直径.(2)解:连接CE.因为CBE=90,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.由DB=BE,有CE=DC.又BC2=DBBA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DBDA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为12.10.解:(1)PA与圆O切于点A,CAP=ABC.而ACP=ABC+BAC,ACP=PAC+BAC=BAP,ACB+BAP=ACB+ACP=180,而ACB=70,BAP=110.(2)由(1)可得CAP=ABC,而APC=APC,PACPBA,PCPA=ACAB,PA=ABPCAC,即PA2=AB2PC2AC2.由切割线定理可得PA2=PBPC,故PBPC=AB2PC2AC2,PCPB=AC2AB2=425.