97海淀区五月数学抽样测试理科.doc

1、海淀区数学抽样测试(理科)1997.5一、选择题：本大题共15小题；第110题每小题4分,第1115题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112131415答案(1)函数y=x-3,y=log2x,y=(1/2)x的定义域分别是P,Q,W,则它们之间的关系是 (A)QP (B) P=Q (C)QP,Q,P (D) PQ(2)不等式 x+12的解集为 (A)x-1x3 (B)xx-1 (C)xx3 (D)xx3(3)双曲线=1上一点P到一个焦点的距离为4,P到相应准线的距离为 (A)2 6 (B)4 6/3 (C)4 6/3+4

2、(D)2 6+4(4)数列an对任意自然数n,都满足a2n+2=anan+4,且a3=2,a7=4,an0,则a11的值是 (A)16 (B)8 (C)32 (D)不确定(5)已知函数f(x)=x2-lg(x+ x2+1),f(1)0.62,则f(-1) (A)1.62 (B)0.62 (C)1.38 (D)0.38(6)已知平面与平面相交,直线m,则 (A)内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直 (B)内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直 (C)内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直 (D)内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直(7)极坐标系内,点(3,/2)关于

3、直线=/6(R)的对称点坐标为 (A)(3, 0) (B)(3,3/2) (C)(-3,2/3) (D)(3, 11/6)(8)等于 (A)0.5 (B)2 (C)1 (D)0(9)椭圆C的方程为=1,直线l的方程为+y=1,点P的坐标为(2,-1),那么 (A)点P在C的内部,l与C相交 (B)点P在C的外部,l与C相交 (C)点P在C的内部,l与C相离 (D)点P在C的外部,l与C相离(10)(a+b)n的展开式中各项系数和为256,则系数最大的项是 (A)第4项 (B)第5项 (C)第6项 (D)第7项(11)圆台上下底面积之比为1:4, 它的中截面将圆台分成两部分的体积之比为 (A)

4、1:7 (B) 9:16 (C) 27:64 (D) 19:37(12)函数y=cosx(x2)的反函数 (A)y=+arccosx (B) y=5/2-arcsinx (C)y=3/2+arcsinx (D) y=-arccosx(13)若=arg(2+i),=arg(-3+i),则-等于 (A)5/4 (B)3/4 (C)-/4 (D)-3/4(14)由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,百位数字最大,万位数字比千位数字小,个位数字比十位数字小,这样的五位数的个数为 (A)12 (B)8 (C)6 (D)4(15)已知函数f(x)=log(x2-ax+3a)在区间2,+)上是减函数

5、,则实数a的取值范围是 (A)(-,4) (B)(-4,4 (C)(-,-4)12,+) (D)-4,4)二、填空题：本小题共4小题,共16分.把答案填在题中横线上.(16)光线从(-1,2)点出发,射到直线x+y=0上,反射线的斜率为2,则反射光线所在直线方程为 .(17)满足tg= - 3,且在区间0,2上的x的值为 .(18)y=3sin2x的图象的对称轴中,在y轴右边第二条对称轴方程是 .(19)如图,一块铁皮呈等腰梯形状,两底长分别为4a,2a,高SC为a,S是AA1的中点,将它沿虚线折成一个四棱锥S-ABCD的侧面(A重合于A1),该四棱锥的体积为_三、解答题：本大题共6小题,共6

6、9分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(20)(本小题满分11分)求函数y=2sinxcos(3/2+x)+ 3cosxsin(+x)+sin(/2+x)cosx的周期和值域,并写出使函数y取得最大值的x的集合.(21)(满分12分)已知复数z=1-2i,其中i是虚数单位.()若复数满足=2/(z+i)-(z+1),求并化为三角形式；()求适合不等式log的实数a的取值范围.(22)(满分12分)三棱锥V-ABC中,AH侧面VBC,且H是VBC的垂心.()求证VCAB；()若二面角H-AB-C的大小为30,求VC与面ABC所成角的大小.(23)(满分10分)某隧道横断面由抛物线及矩形的

7、三边组成,尺寸如图,某卡车空车时,能通过 3米此隧道,现载一集装箱,箱宽3米,车与箱共高 4.5米,此车能否通过此隧道？说明理由 6米 2米(24)(满分12分)an是等差数列,数列bn满足bn=anan+1an+2(nN),bn的前n项和用Sn表示,()若an的公差等于首项a1,证明对于任意自然数n都有Sn=bnan+3/4d；()若an中满足3a5=8a120.试问n多大时,Sn取得最大值？证明你的结论.(25)(满分12分)已知抛物线y2=2x,直线l:y=x-4, y是否存在矩形ABCD,它的一条对角线AC在直线l上,顶点B,D在抛物线上,且AC与BD的夹角等于arctg3? o x若

8、存在,求出这个矩形的面积；若不存在,说明理由.海淀区数学(理科)参考答案一、ADBBC ADCAB DCDCB.二、(16)2x-y+5=0； (17)4/3； (18)x=3/4； (19) 2a3/3三、(20)解：y=2sinxcos(3/2+x)+ 3cosxsin(+x)+sin(/2+x)cosx =2sinxsinx- 3cosxsinx+cos2x 3分 =1-cos2x-( 3/2)sin2x+(1+cos2x)/2 6分 =3/2-( 3/2)sin2x-(1/2)cos2x =3/2-sin(2x+/6) 8分 周期T= 9分 值域1/2,5/2 10分 y取得最大值时,

9、x的集合为x|x=k-/3,kZ 11分(21)解：()=2/(z+i)-(z+1) =2/(1-i)-(2+2i)=(1+i)-(2+2i) =-1-i 4分 = 2(cos(5/4)+isin(5/4) 6分()|az-i|= 5a2+4a+1 由题意log1/2(|az-i|/ a+1)1/2 10分 即： (5a2+4a+1)/(a+1)1/2 a+10 10a2+7a+10解之得 -1a-1/2或a-1/5a的取值范围是a|-1a-1/2或a-1/5(22)解：()设BH交VC于D,H是VBC的垂心,BDVC又AH侧面VBC,故BH是AB在面VBC的射影,ABVC 5分()作VO面A

10、BC于O,连CO并延长交AB于E,连DE,VCAB,VO面ABC,CEAB又ABVC,AB面VCE,ABDE,DEC是二面角H-AB-C的平面角,DEC=30又VCO是VC与面ABC所成角 9分VCAB,VCAH,VC面ABD,VCED,VCO=90-DEC=60即VC与面ABC所成角是60 12分(23)解：如图建立坐标系, A点的坐标为(3,-3) y设抛物线方程为x2=-2py 则9=6p,p=3/2 o x抛物线方程为x2=-3y 5分如果此车能过隧道,集装箱应处于对称位置 A将x=1.5代入方程,得y=-0.75,此时集装箱角离隧道的底为5-0.75=4.25米,不及车与箱总高4.5

11、米即4.254.5此车不能通过此隧道 10分(24)证：当n=1时 S1=b1 且 b1a4/4d=b1(a1+3d)/4d=b14d/4d=b1原式成立.假设n=k时,Sk=bkak+3/4d成立则Sk+1=Sk+bk+1=bkak+1/4d+bk+1 =(akak+1ak+2ak+3+bk+14d)/4d =(akbk+1+bk+14d)/4d=bk+1(ak+4d)/4d =bk+1ak+4/4dn=k+1时,等式也成立对任意nN,有Sn=bnan+3/4d 6分()由3a5=8a12有3a5=8(a5+7d)a5=-56d/5, a16=a5+11d=-d/50a17=a5+12d=-

12、56d/5+12d=4d/50a1a2a160a17a18b1b2b140b17b18b15=a15a16a170, b16=a16a17a180S14S13S1, S14S15, S15S16又a15=a5+10d=-6d/5, a18=a5+13d=9d/5a15|a18|, |b15|b16 b15+b160S16S14 故Sn中S16最大 12分(25)解：AC方程y=x-4斜率为1,设BD斜率为k,由AC与BD的夹角为arctg3，得|(k-1)/(1+k)|=3 解出k=-2或k=-1/2 2分(i)当k=-2时,设BD方程为 y=-2x+b y=-2x+b y2=2x 消y,得4

13、x2-2(2b+1)x+b2=0 设AC与BD交于M,则xM=2(2b+1)/(24)=(2b+1)/4yM=-2(2b+1)/4+b=-1/2, M(2b+1)/4,-1/2)且在y=x-4上,-1/2=(2b+1)/4-4, b=13/2 即M(7/2,-1/2),代入,整理,得16x2-112x+169=0|BD|= 1+k2|x2-x1|= 5(x1+x2)2-4x1x2 = 5(112/16)2-4169/16=3 15/2 7分SABCD=(1/2)|BD|2sinAMB =(1/2)(915/4)3/ 10=405 10/80=81 10/16 10分(ii)当k=-1/2时,BD方程为y=-x/2+b代入y2=2x整理,得x2-4(b+2)x+4b2=0, 类似(i)可求出： xM=2b+4 yM=-2代入y=x-4可求b=-1,进而代入 x2-4(b+2)x+4b2=0,得x2-4x+4=0x1=x2=2,即BD与抛物线只有一个公共点k=-1/2时,不存在满足题设的矩形ABCD 12分注：也可由b=-1,求出M(2,-2)在y2=2x上,而M为中点,故不存在矩形ABCD满足题设.