江苏省南通市天星湖中学2015_2016学年高二数学上学期期中试题含解析.doc

1、2015-2016学年江苏省南通市天星湖中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1在直角坐标系中，直线y+1=0的倾斜角的大小是_弧度2若直线x+ay2a2=0与直线ax+ya1=0平行，则实数a=_3双曲线2x2y2=1的渐近线方程是_4点（2，t）在直线2x3y+6=0的上方，则t的取值范围是_5点A（4，5）关于直线l的对称点为B（2，7），则l的方程为_6若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为_7设x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为_8两圆x2+y2=9与x2+y2+8x6y+25r2=0（r0）相交，则r的取值范围

2、是_9已知圆C1：（x+2）2+y2=1，圆C2：x2+y24x77=0，动圆P与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心的轨迹方程是_10直线Ax+By+C=0与O：x2+y2=4相交于M，N两点，若C2=A2+B2，则（O为坐标原点）等于_11设实数x、y满足，则z=|x+y+4|的取值范围为_12已知动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若ABx，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是_13若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围为_14如图，已知过椭圆（ab0）的左顶点A（a，0）作直

3、线1交y轴于点P，交椭圆于点Q，若AOP是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为_二、解答题（本大题共有6个小题，共90分）15（14分）已知y=2x是ABC中C的内角平分线所在直线的方程，若A（4，2），B（3，1）（1）求点A关于y=2x的对称点P的坐标；（2）求直线BC的方程；（3）判断ABC的形状16（14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x3y6=0，点T（1，1）在AD边所在直线上（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程17（14分）如图，已知椭圆C：+=1（ab0）的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，b），直线AF与椭圆

4、的右准线交于点B，若F恰好为线段AB的中点（1）求椭圆C的离心率；（2）若直线AB与圆x2+y2=2相切，求椭圆C的方程18（16分）已知圆M：x2+（y2）2=1，设点B，C是直线l：x2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4（tR），点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A（1）若t=0，求直线PA的方程；（2）经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L（t）19（16分）已知以点A（1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切过点B（2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P（I）求圆A的方程；（）当时，求直线l的

5、方程；（）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由20（16分）如图，A，B是椭圆的左右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，若椭圆C的离心率为，且右准线l的方程为x=4（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交直线MB于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求出R点的坐标2015-2016学年江苏省南通市天星湖中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1在直角坐标系中，直线y+1=0的倾斜角的大小是0弧度【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【专题】作图题【分析】因为对于平行于x轴的直线，规定其倾斜角为0弧度

6、，所以直接可得结果【解答】解：直线y+1=0可化为y=1，图象是平行于x轴的直线，倾斜角为0弧度故答案为0【点评】本题主要考查倾斜角的概念，属于基础题2若直线x+ay2a2=0与直线ax+ya1=0平行，则实数a=1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】直线与圆【分析】根据直线平行的条件，建立方程即可【解答】解：若a=0，则两个直线方程为x=2和y=1此时两直线不平行若a0，若两直线平行，则，解得a=1或a=1，当a=1时，两直线方程为x+y4=0和x+y2=0，满足两直线平行当a=1时，两直线方程为xy=0和x+y=0，不满足两直线平行a=1故答案为：a=1【点评】本题主要考查直线

7、的方程以及直线平行的等价条件，注意对a要进行讨论3双曲线2x2y2=1的渐近线方程是【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】将双曲线化成标准方程，得到a、b的值，再由双曲线的渐近线方程是y=x，即可得到所求渐近线方程【解答】解：双曲线2x2y2=1的标准方程为：，b2=1，可得a=，b=1又双曲线的渐近线方程是y=x双曲线2x2y2=1的渐近线方程是y=x故答案为：y=x【点评】本题给出双曲线方程，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题4点（2，t）在直线2x3y+6=0的上方，则t的取值范围是t【考点】两条直线的交点坐标【专题】计算题【分析】点在直线上方，点的

8、坐标代入方程，有43t+60，求出t的取值范围【解答】解：点（2，t）在直线2x3y+6=0的上方，则43t+60 则t的取值范围是：t故答案为：t【点评】本题考查点与直线的位置关系，是基础题5点A（4，5）关于直线l的对称点为B（2，7），则l的方程为3xy+3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【专题】计算题【分析】先求出A、B的中点，再求AB的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程【解答】解：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线A、B的中点坐标（1，6），AB的斜率为：中垂线的斜率为：3则l的方程为：y6=3（x1）即：3xy+3=0故答案为：3xy+3=0【点评】本

9、题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查计算能力，是基础题6若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为4【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，可得c=，可得右焦点F（c，0）由抛物线y2=2px可得焦点利用=c即可得出【解答】解：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，c=2，右焦点F（2，0）由抛物线y2=2px可得焦点=2，解得p=4故答案为：4【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7设x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为8【考点】简单线性规划【专题】

10、不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=2xy得y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点A时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大由，解得，即A（5，2）将A的坐标代入目标函数z=2xy，得z=252=8即z=2xy的最大值为8故答案为：8【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法8两圆x2+y2=9与x2+y2+8x6y+25r2=0（r0）相交，则r的取值范围是2r8【考点

11、】圆与圆的位置关系及其判定【专题】计算题【分析】求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系，【解答】解：圆x2+y2=9的圆心（0，0），半径为3，圆x2+y2+8x6y+25r2=0（r0）的圆心（4，3），半径为：r，因为圆x2+y2=9与x2+y2+8x6y+25r2=0（r0）相交，所以，解得2r8故答案为：2r8【点评】本题考查两个圆的位置关系，通过圆心距在半径差与半径和之间求解，也可以联立方程组，利用判别式解答9已知圆C1：（x+2）2+y2=1，圆C2：x2+y24x77=0，动圆P与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心的轨迹方程是【考点】轨迹方程【专题】综合题；圆锥曲

12、线的定义、性质与方程【分析】由两圆的方程分别找出圆心C1与C2的坐标，及两圆的半径r1与r2，设圆P的半径为r，根据圆P与C1外切，得到圆心距PC1等于两半径相加，即PC1=r+1，又圆P与C2内切，得到圆心距PC2等于两半径相减，即PC2=9r，由PC1+PC2等于常数2a，C1C2等于常数2c，利用椭圆的基本性质求出b的值，可得出圆心P在焦点在x轴上，且长半轴为a，短半轴为b的椭圆上，根据a与b的值写出此椭圆方程即可【解答】解：由圆C1：（x+2）2+y2=1，圆C2：（x2）2+y2=81，得到C1（2，0），半径r1=1，C2（2，0），半径r2=9，设圆P的半径为r，圆P与C1外切而

13、又与C2内切，PC1=r+1，PC2=9r，PC1+PC2=（r+1）+（9r）=2a=10，又C1C2=2c=4，a=5，c=2，b=，圆心P在焦点在x轴上，且长半轴为10，短半轴为2的椭圆上，则圆心P的轨迹方程为：故答案为：【点评】此题考查了圆与圆的位置关系，椭圆的基本性质，以及动点的轨迹方程，两圆的位置关系由圆心角d与两圆半径R，r的关系来判断，当dRr时，两圆内含；当d=Rr时，两圆内切；当RrdR+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当dR+r时，两圆外离10直线Ax+By+C=0与O：x2+y2=4相交于M，N两点，若C2=A2+B2，则（O为坐标原点）等于2【考点】平面向量

14、数量积的运算；直线与圆的位置关系【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2）当B0时，直线方程与圆的方程联立并利用A2+B2=C2可得根与系数的关系，利用=x1x2+y1y2即可得出当B=0时，A0，C=A，直线化为y=x，联立，解得即可【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2）当B0时，联立，A2+B2=C2化为C2x2+2ACx+C24B2=0，y1y2=x1x2+y1y2=2当B=0时，A0，C=A，直线化为y=x，联立，解得x=y=或此时=2综上可知：故答案为2【点评】本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中

15、档题11设实数x、y满足，则z=|x+y+4|的取值范围为【考点】简单线性规划【专题】转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】根据题意，画出可行域，求出最优解，计算z=|x+y+4|的最小值与最大值即可【解答】解：根据题意，实数x、y满足，画出可行域，如图所示；求出最优解，则当x=1，y=1时，z=|x+y+4|取得最小值zmin=1+1+4=6，当x=5，y=2时，z=|x+y+4|取得最大值zmax=5+2+4=11；z的取值范围是故答案为：【点评】本题考查了线性规划的应用问题，解题时应根据线性约束条件画出可行域，求出最优解，从而求出目标函数的取值范围，是基础题目12已知动点A、B

16、分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若ABx，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是（）【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出A，B点的横坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的B点横坐标方位计算即可【解答】解：由得，抛物线y2=4x与椭圆在第一象限的交点横坐标为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则0x1，x22，由可得，三角形ABN的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=x1+x2x1+aex2=+a+x2=3+x2

17、，x22，3+x24故答案为（）【点评】本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知13若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围为【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】求出圆心与半径，则圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2等价为圆心到直线l：ax+by=0的距离d，从而求直线l的斜率的取值范围【解答】解：圆x2+y24x4y10=0可化为（x2）2+（y2）2=18，则圆心为（2，2），半径为3；则由圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到

18、直线l：ax+by=0的距离为2，则圆心到直线l：ax+by=0的距离d32=；即，则a2+b2+4ab0，若b=0，则a=0，故不成立，故b0，则上式可化为1+（）2+40，由直线l的斜率k=，则上式可化为k24k+10，解得2k2+，故答案为：【点评】本题考查了直线与圆上点的距离的应用以及直线斜率的求解，将圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2转化为圆心到直线l：ax+by=0的距离d是本题解答的关键，属于中档题14如图，已知过椭圆（ab0）的左顶点A（a，0）作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q，若AOP是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为【考点】椭

19、圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程即可【解答】解：AOP是等腰三角形，A（a，0）P（0，a）设Q（x0，y0），（x0，y0a）=2（ax0，y0），解得代入椭圆方程得，化为=故答案为【点评】熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键二、解答题（本大题共有6个小题，共90分）15（14分）已知y=2x是ABC中C的内角平分线所在直线的方程，若A（4，2），B（3，1）（1）求点A关于y=2x的对称点P的坐标；（2）求直线BC的方程；（3）判断ABC的形状【考点】与直线关于点、直线对称

20、的直线方程；三角形的形状判断；直线的一般式方程【专题】计算题；解三角形；直线与圆【分析】（1）设P（m，n）根据轴对称的性质建立关于m、n的方程组，解之得m=4且n=2，即可得到所求点P的坐标；（2）根据角的两边关于角平分线所在直线对称，得到P（4，2）在BC上，用点斜式写出直线PB的方程，即得直线BC的方程；（3）则BC方程与AC方程联解得出C（2，4），从而得到AB、BC、AC的长度，算出|AB|2=|BC|2+|AC|2，从而得到ABC为以C为直角的直角三角形【解答】解：（1）设A关于y=2x的对称点为P（m，n）解之得，即点P的坐标为（4，2）（2）P（4，2）在BC上，BC的方程为y

21、1=3（x3），即3x+y10=0（3）由，解得C的坐标为（2，4）由，得|AB|2=|BC|2+|AC|2，ABC为以C为直角的直角三角形【点评】本题给出ABC的顶点A、B的坐标，在给出角A平分线的基础之上求BC的方程，并判断三角形的形状，着重考查了两点的距离公式、直线与直线的位置关系和三角形形状的判断等知识，属于中档题16（14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x3y6=0，点T（1，1）在AD边所在直线上（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程【考点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标；圆的标准方程【专题】计算题【分析】（1

22、）由已知中AB边所在直线的方程为x3y6=0，且AD与AB垂直，我们可以求出直线AD的斜率，结合点T（1，1）在直线AD上，可得到AD边所在直线的点斜式方程，进而再化为一般式方程（2）根据矩形的性质可得矩形ABCD外接圆圆心即为两条对角线交点M（2，0），根据（I）中直线AB，AD的直线方程求出A点坐标，进而根据AM长即为圆的半径，得到矩形ABCD外接圆的方程【解答】解：（1）AB边所在直线的方程为x3y6=0，且AD与AB垂直，直线AD的斜率为3又因为点T（1，1）在直线AD上，AD边所在直线的方程为y1=3（x+1），3x+y+2=0（2）由，解得点A的坐标为（0，2），矩形ABCD两条对

23、角线的交点为M（2，0）M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2=（20）2+（0+2）2=8，从而矩形ABCD外接圆的方程为 （x2）2+y2=8【点评】本题考查的知识点是直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）的关键是根据已知中AB边所在直线的方程及AD与AB垂直，求出直线AD的斜率，（2）的关键是求出A点坐标，进而求出圆的半径AM长17（14分）如图，已知椭圆C：+=1（ab0）的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，b），直线AF与椭圆的右准线交于点B，若F恰好为线段AB的中点（1）求椭圆C的离心率；（2）若直线AB与圆x2+y2=2相切，求椭圆C的方程【考点】

24、椭圆的简单性质；椭圆的标准方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由B在右准线x=上，且F（c，0）恰好为线段AB的中点可求得2c=，从而可求得其斜率；（2）由（1）可知a=c，b=c，从而可设AB的方程为y=xc，利用圆心O（0，0）点到直线y=xc间的距离等于半径2即可求得c，从而使问题得到解决【解答】解 （1）因为B在右准线x=上，且F（c，0）恰好为线段AB的中点，所以2c=，即=，所以椭圆的离心率e= （2）由（1）知a=c，b=c，所以直线AB的方程为y=xc，即xyc=0，因为直线AB与圆x2+y2=2相切，所以=，解得c=2所以a=2，b=2所以椭圆C的方程

25、为+=1 【点评】本题考查椭圆的简单性质与椭圆的标准方程，考查化归思想与方程思想，求得椭圆的离心率是关键，属于中档题18（16分）已知圆M：x2+（y2）2=1，设点B，C是直线l：x2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4（tR），点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A（1）若t=0，求直线PA的方程；（2）经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L（t）【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；压轴题【分析】（1）由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，因为P在直线l上，所以设P的坐标为（a，2a），然后由M和P的坐标，利用两点间的距离公式表示出MP的长，根据列出

26、关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到P的坐标，设过P点切线方程的斜率为k，根据P的坐标和斜率k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离公式等于半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心M到切线方程的距离d，让d等于圆的半径r，即可得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线PA的方程即可；（2）根据圆的切线垂直于过切点的半径得到AP垂直AM，所以三角形APM为直角三角形，所以外接圆圆心D为斜边PM的中点，根据M和设出的P的坐标利用中点坐标公式表示出D的坐标，然后利用两点间的距离公式表示出OD的长，得到关于a的函数为开口向上的抛物线，分三种情况：大于抛物线顶点的横坐标，

27、小于抛物线顶点的横坐标小于+2，和+2小于顶点的横坐标，利用二次函数的图象即可求出函数的最小值线段DO长的最小值L（t）为一个分段函数，写出此分段函数的解析式即可【解答】解：（1）由圆M：x2+（y2）2=1，得到圆心M（0，2），半径r=1，设P（2a，a）（0a2），解得a=1或（舍去）P（2，1）由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k所以直线PA的方程为y1=k（x2），即kxy2k+1=0直线PA与圆M相切，解得k=0或直线PA的方程是y=1或4x+3y11=0；（2）设PA与圆M相切于点A，PAMA经过A，P，M三点的圆的圆心D是线段MP的中点M（0，2），D的坐标是设DO2=f（a

28、）当，即时，；当，即时，；当，即时，则【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切是所满足的条件，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，灵活运用二次函数求最值的方法解决实际问题，是一道比较难的题19（16分）已知以点A（1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切过点B（2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P（I）求圆A的方程；（）当时，求直线l的方程；（）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；圆的标准方程【专题】计算题；证明题【分析】（）设出圆A的半径，根据以点A（1，2）为圆

29、心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l过点B（2，0），求出直线的斜率，进而得到直线l的方程；（）由直线l过点B（2，0），我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论【解答】解：（）设圆A的半径为R，由于圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，圆A的方程为（x+1）2+（y2）2=20（） 当直线l与x轴垂直时，易知x=2符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+2），即kxy+2k=0，连接A

30、Q，则AQMN，则由，得，直线l：3x4y+6=0故直线l的方程为x=2或3x4y+6=0（）AQBP，当l与x轴垂直时，易得，则，又，当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），则由，得P（，），则综上所述，是定值，且（14分）【点评】本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，直线的一般式方程，圆的标准方程，其中（I）的关键是求出圆的半径，（II）的关键是根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出弦心距（即圆心到直线的距离），（III）中要注意讨论斜率不存在的情况，这也是解答直线过定点类问题的易忽略点20（16分）如图，A，B是椭圆的左右顶点，M是椭圆上异于A，B的任

31、意一点，若椭圆C的离心率为，且右准线l的方程为x=4（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交直线MB于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求出R点的坐标【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由椭圆C的离心率为，且右准线l的方程为x=4，联立方程组成方程组，即可求得椭圆C的方程；（2）设直线AM的方程，可得点P的坐标，根据MQPQ，可得kMQkPQ=1，利用M在椭圆上，即可得直线PQ与x轴的交点R为定点【解答】（1）解：由题意：，解得椭圆C的方程为 （2）证明：由（1）知，A（2，0），B（2，0），设M（x0，y0），R（t，0），则直线AM的方程为，令x=4，得，即点P的坐标为，由题意，MQPQ，kMQkPQ=1，即，又，直线PQ与x轴的交点R为定点 （16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题