《随堂优化训练》2014年数学（人教A版）必修1配套课件：1.3.1 函数的单调性.ppt

1、1.3函数的基本性质1.3.1函数的单调性【学习目标】1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义2能够熟练应用定义判断函数在某区间上的单调性3学会运用函数图象理解和研究函数的性质1增函数与递增区间设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D上的_两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有_，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数，区间 D 称为函数 f(x)的单调递增区间任意f(x1)f(x2)2减函数与递减区间设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D上的_两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有_，那

2、么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数，区间 D 称为函数 f(x)的单调递减区间任意f(x1)f(x2)3单调性与单调区间如果函数 yf(x)在区间 D 上是_，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做yf(x)的_增函数或减函数单调区间练习 1：函数 yx2 在区间8，2上是_函数，在区间2,3上是_函数减增)C练习 2：下列函数在区间(0,2)上是增函数的是(【问题探究】根据 f(x)x2(x0)的图象进行讨论：随着 x 的增大，函数值怎样变化？当 x1x2 时，f(x1)与 f(x2)有怎样的大小关系？答案：随着 x(x0)的增大，f(x)的函数值增大

3、，当 x1x2 时，f(x1)f(x2)题型 1 用定义证明函数的单调性1，)上是增函数思维突破：证明的关键是对 f(x1)f(x2)进行变形，尽量变形成几个最简单的因式的乘积形式证明：设任意的 x1，x2(0,1，且x1x2，0 x1x21，x1x20，x1x210.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)同理可证：f(x)在1，)上是增函数(1)利用增函数、减函数的定义证明或判断函数的单调性的步骤是：设出指定区间上的任意两个值作差变形判断符号下结论数，在(1,0)上为减函数；在(，1上为增函数(3)解答本题易出现以下的错误结论：f(x)在(1,0)(0,1上是减函数，在(，11，)上

4、是增函数，或说 f(x)在(，0)(0，)上是单调函数排除障碍的关键是正确理解函数单调性的概念注意：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交的区间的并集【变式与拓展】1用函数单调性的定义证明：f(x)2x23xc(c 为常数)由 x10，题型 2 利用函数的图象求函数的单调区间【例 2】画出函数 yx22|x|3 的图象，并指出函数的单调区间思维突破：准确画出函数的图象，根据函数图象写出其单调区间函数的图象如图 D9.图 D9函数的单调递增区间是(，1，(0,1，单调递减区间是(1，0，(1，)研究函数单调区间的一般方法有：图象法、定义法及利用已知函数的单调性数形结合始终是研

5、究函数性质及其应用的重要思想【变式与拓展】2如图 1-3-1，已知函数 yf(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，它是增函数还是减函数图 1-3-1解：函数 yf(x)的单调递减区间有3，2)，0,2)，yf(x)在区间3，2)，0,2)上是减函数单调递增区间有2,0)，2，)，yf(x)在区间2,0)，2，)上是增函数3求函数 f(x)|x2x12|的单调区间作出函数的简图，如图 D10.观察其图象，知函数 f(x)的单调递增区间为和4，)；单调递减区间为(，3)和.图D10题型 3 函数单调性的应用【例 3】(1)若函数 f(x)x22(a1)x1 在区间(，4上是

6、减函数，求实数 a 的取值范围；的取值范围思维突破：(1)处理二次函数的单调性问题需要对对称轴进行讨论(2)处理含参数的二次函数需要对参数进行讨论解：(1)f(x)x22(a1)x1，其对称轴为 x2(a1)211a，若二次函数在(，4上是减函数，必须满足 1a4，解得 a3.当 k0 时，抛物线开口向上，在0，)上不可能单调递减；综上所述，k0.对已知函数在某区间 D 上的单调性，求参数取值范围的问题，可先由函数本身求得的单调区间视为 I(函数在 D 和 I 上单调性相同)，进而利用 DI 求得参数【变式与拓展】数，则实数 b 的取值范围为()解析：令 f1(x)(2b1)xb1(x0)，f

7、2(x)x2(2b)x(x0)，要使 f(x)在R 上为增函数，须有f1(x)单调递增，f2(x)单调递增，且 f2(0)f1(0)，答案：A过坐标原点，对称轴是x.区间2,4应在直线x 的左侧或右侧，【例 4】已知函数 f(x)x2kx 在2,4上是单调函数，则实数 k 的取值范围为_易错分析：应将区间在对称轴左侧和右侧分别进行讨论解析：函数 f(x)x2kx 的图象是开口向下的抛物线，经已知函数在2,4上是单调函数，答案：k4 或 k8方法规律小结1函数单调性的判定方法(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值作差变形判断符号下结论”的步骤，进行判断(2)图象法：画出函数的图象，根

8、据图象的上升或下降趋势判断函数的单调性(3)直接法：对于熟悉的函数，如一次函数、二次函数和反比例函数等，直接写出它们的单调区间2区间 D 上的单调函数 f(x)具有的结论(1)函数 yf(x)与函数 yf(x)在区间 D 上的单调性相反(2)当函数 f(x)在区间 D 上恒为正或负时，函数 y 1f(x)与函数 yf(x)在区间 D 上的单调性相反(k0)，f(x)n(nN，n1)都是增函数3求函数 yfg(x)的单调区间的步骤(1)确定定义域；(2)将函数分解成函数 yf(u)，ug(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增同减，则 yfg(x)为增函数；若一增一减，则 yfg(x)为减函数(同“增”异“减”)4在研究函数的单调性时，对单调区间的表述要准确如述为(，0)(0，)5对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x)，证明单调性时，