（人教通用）2014届数学（理）一轮复习知识点逐个击破专题讲座：椭圆 WORD版含解析.doc

1、【名师面对面】2014 届数学一轮知识点讲座：考点 33 椭圆 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 椭圆的定义、标准方程、几何性质；椭圆的几何性质及其应用，椭圆方程的求法。二.知识梳理 1.椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹 2椭圆的标准方程：12222byax，12222bxay（0 ba）3椭圆的性质：由椭圆方程12222byax(0 ba)(1)范围:axa,byb，椭圆落在byax,组成的矩形中(2)对称性:图象关于轴对称图象关于轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心轴、轴叫椭圆的对称轴从椭

2、圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2 aAaA，),0(),0(2bBbB加两焦点)0,(),0,(21cFcF 共有六个特殊点21AA叫椭圆的长轴，21BB叫椭圆的短轴长分别为ba 2,2 ba,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 (4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比ace 2)(1abe10 e 椭圆形状与的关系：0,0ce，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0e时的特例,1ace椭圆变扁，直至成为极限位置线段21FF，此时也可认为圆为椭圆在1e时的特例

3、4（*）.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆,其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 5（*）椭圆的准线方程 对于12222byax，左准线caxl21:；右准线caxl22:对于12222bxay，下准线cayl21:；上准线cayl22:焦点到准线的距离cbccaccap2222（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 6（*）椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01exar,（右焦半径）02exar,其中是离心

4、率,焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式：0201eyaMFeyaMF（其中21,FF分别是椭圆的下上焦点）焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关,可以记为：左加右减，上减下加 7（*）.椭圆的参数方程)(sincos为参数byax 三.考点逐个突破 1.椭圆的标准方程 例 1.（1）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为13，则椭圆方程为()A.x2144 y21281 B.x236y2201 C.x232y2361 D.x236y2321 答案 D 解析 2a12，a6，eca13，c2，b2a2c232，故选 D.（2）已知焦点在

5、x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆 C：x2y22x150 的半径，则椭圆的标准方程是()A.x24y231 B.x216y2121 C.x24y21 D.x216y241 答案 A 解析 由 x2y22x150 得，(x1)2y216，r4，2a4，a2，eca12，c1，b2a2c23.故选 A.2.椭圆的定义 例 2.（1）已知圆(x2)2y236 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 答案 B 解析 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故|PA|PN|，又

6、AM 是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆（2）已知 F1、F2分别为椭圆 C：x24y231 的左、右焦点，点 P 为椭圆 C 上的动点，则PF1F2的重心 G 的轨迹方程为()A.x236y2271(y0)B.4x29 y21(y0)C.9x24 3y21(y0)Dx24y23 1(y0)答案 C 解析 椭圆 C：x24y231 中，a24，b23，c2a2b21，焦点 F1(1,0)，F2(1,0)，设 G(x，y)，P(x1，y1)，则 x11x13yy13，x13xy13y，P 在椭圆 C 上，3x243y231，9x24 3y21.

7、当 y0 时，点 G 在 x 轴上，三点 P、F1、F2构不成三角形，y0，点 G 的轨迹方程为9x24 3y21.(y0)3.椭圆的离心率 例 3.(1)个正数 a、b 的等差中项是52，等比中项是 6，且 ab，则椭圆x2a2y2b21 的离心率 e等于 A.32 B.133 C.53 D.13 答案 C 解析 由题意可知 ab5，ab6，又因为 ab，所以解得 a3，b2，所以椭圆的半焦距为 c 5，所以椭圆的离心率 eca 53，故选 C.(2)已知 P 是以 F1，F2为焦点的椭圆x2a2y2b21(ab0)上的一点，若PF1PF20，tanPF1F212，则此椭圆的离心率为_ 答案

8、 53 解析 PF1PF20，PF1PF2，在 RtPF1F2中，tanPF1F2|PF2|PF1|12，设|PF2|x，则|PF1|2x，由椭圆的定义|PF1|PF2|2a，x2a3，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，x24x24c2，209 a24c2，eca 53.(3)已知1m2n1(m0，n0)，则当 mn 取得最小值时，椭圆x2m2y2n21 的离心率是_ 答案 32 解析 m0，n011m2n22mn，mn8，当且仅当1m2n，即 n2m 时等号成立，由 n2m，mn8，解得 m2，n4.即当 m2，n4 时，mn 取得最小值 8，离心率 e n2m2n 32.4.椭圆中的

9、最值问题 例 4.直线 l：xy0 与椭圆x22y21 相交 A、B 两点，点 C 是椭圆上的动点，则ABC 面积的最大值为_ 答案 2 解析 设与 l 平行的直线方程为 xya0，当此直线与椭圆的切点为 C 时，ABC 的面积最大，将 yxa 代入x22y21 中整理得，3x24ax2(a21)0，由 16a224(a21)0 得，a 3，两平行直线 xy0 与 xy 30 的距离 d 62，将 yx 代入x22y21 中得，x1 63，x2 63，|AB|11|63(63)|4 33，SABC12|AB|d124 33 62 2.5.椭圆与其他知识的综合 例 5.（1）已知实数 k 使函数

10、 ycoskx 的周期不小于 2，则方程x23y2k1 表示椭圆的概率为_ 答案 12 解析 由条件2|k|2，k，当 0b0)的离心率为 63，右焦点为(2 2，0)，斜率为 1 的直线 l与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(3,2)(1)求椭圆 G 的方程；(2)求PAB 的面积 解析(1)由已知得，c2 2，ca 63，解得 a2 3，又 b2a2c24，所以椭圆 G 的方程为x212y241.(2)设直线 l 的方程为 yxm，由 yxm，x212y241，得 4x26mx3m2120.设 A、B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b

11、0)的离心率为 22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 xy 20 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)设过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A，B，设 P 为椭圆上一点，且满足OAOBtOP(O 为坐标原点)，当|PAPB|0，k212.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，x1x2 8k212k2，x1x28k2212k2.OAOBtOP，(x1x2，y1y2)t(x，y)，xx1x2t8k212k2，yy1y2t1tk(x1x2)4k4k12k2.点 P 在椭圆上，8k22t212k2222t212k222，16k2t2(12t2)|PAPB|2

12、53，1k2|x1x2|2 53，(1k2)(x1x2)24x1x2209，即(1k2)64k412k2248k2212k20，解得：k214，14k212.又 16k2t2(12k2)，t2 16k212k28812k2，83t24，2t2 63 或2 63 tb0)，它与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴正半轴交于 C点，点 D(0,4)，若ACBC3，|BD|2 5.(1)求椭圆 G 的方程；(2)过点 D 的直线 l 交椭圆 G 于 M，N 两点，若NMO90，求|MN|的长 解析(1)A(a,0)、B(a,0)、D(0,4)、C(0，b)，ACBC3，|BD|2 5，a，a，3a2422 5，a24，b21，椭圆 G 的方程为x24y21.(2)设 M(x1，y1)，则有 x214y214，y14x1 y1x11.x12 53，y123，直线 l 的斜率 k 5 则直线 l 的方程为 y 5x4，由 y 5x4x24y2421x232 5x600，x1x232 521，x1x26021.|MN|1k2x1x224x1x24 3021.