（人教通用）2014届数学（理）一轮复习知识点逐个击破专题讲座：直线的方程与两条直线的位置关系 WORD版含解析.doc

1、【名师面对面】2014 届数学一轮知识点讲座：考点 30 直线的方程与两条直线的位置关系（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 直线的倾斜角与斜率的概念；直线方程的各种形式及适应条件；两直线平行与垂直的判定与应用；点到直线的距离公式、两点间的距离公式；直线方程各种形式适应条件的掌握；含参数的直线的位置关系的确定；二.知识梳理 1 数轴上两点间距离公式：ABxxAB 2 直角坐标平面内的两点间距离公式：22122121)()(yyxxPP 3 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合

2、时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角 当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 0 可见，直线倾斜角的取值范围是 0180 4 直线的斜率：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k表示，即 k=tan（90）倾斜角是 90的直线没有斜率；倾斜角不是 90的直线都有斜率，其取值范围是（，+）5 直线的方向向量：设 F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量21FF=（x2x1，y2y1）称为直线的方向向量 向量121xx 21FF=（1，1212xxyy）=（1，k）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率特别地，垂直于轴的直线

3、的一个方向向量为a(0,1)6 求直线斜率的方法 定义法：已知直线的倾斜角为，且90，则斜率 k=tan 公式法：已知直线过两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且 x1x2，则斜率 k=1212xxyy 方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率 k=mn 平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率 对于直线上任意两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当 x1=x2时，直线斜率 k 不存在，倾斜角=90；7 直线方程的五种形式 点斜式：)(00 xxkyy，斜截式：bkxy 两点式：121121xxxxyyyy，截距式：1 byax 一般

4、式：0CByAx 8 特殊情况下的两直线平行与垂直 当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 90，另一条直线的倾斜角为 0，两直线互相垂直 9 斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即21/ll1k=2k 且21bb 已知直线 1l、2l 的方程为 1l：0111CyBxA，2l：0222CyBxA)0,0(222111CBACBA 1l 2l 的充要条件是212121CCBBAA 两条

5、直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是1k 和2k，则这两条直线垂直的充要条件是121kk 已知直线 1l 和 2l 的一般式方程为 1l：0111CyBxA，2l：0222CyBxA，则 1l2l 02121BBAA 10.直线 1l 到 2l 的角的定义及公式：直线 1l 按逆时针方向旋转到与 2l 重合时所转的角,叫做 1l 到 2l 的角.1l 到 2l 的角：0 180，如果.2,1,012121 则即 kkkk如果0121kk，12121tankkkk 11 直线 1l 与 2l 的夹角定义及公式:1l 到 2l 的角是1,2l 到 1l 的角是-1,当 1l 与 2l 相交但不

6、垂直时,1 和-1 仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线 1l 2l 时,直线 1l 与 2l 的夹角是 2.夹角：090 如果.2,1,012121 则即 kkkk如果0121kk，12121tankkkk 12 两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：00222111CyBxACyBxA是否有惟一解 13 点到直线距离公式：点),(00 yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd 14 两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 1l 和 2l 的一般式方程为 1l：01 CByAx，2l：02 CByAx，则

7、 1l 与 2l 的距离为2221BACCd 15 直线系方程:若两条直线 1l：0111CyBxA，2l：0222CyBxA有交点，则过 1l与 2l 交点的直线系方程为)(111CyBxA0)(222CyBxA或)(222CyBxA+0)(111CyBxA(为常数)。三考点逐个突破 1.直线的倾斜角和直线的斜率 例 1.（1）直线 l：axy2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是_ 答案 2 或 1 解析 令 x0 得 y2a，令 y0 得 xa2a，由条件知 2aa2a，a2 或 1.（2）若直线 m 被两平行线 l1：xy10 与 l2：xy30 所截得的线段的长为

8、2 2，则 m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号为_(写出所有正确答案的序号)答案 解析 求得两平行线间的距离为 2，则 m 与两平行线的夹角都是 30，而两平行线的倾斜角为 45，则 m 的倾斜角为 75或 15，故填.(3)若三直线 l：2x3y80，l2：xy10，l3：xkyk120 能围成三角形，则 k不等于 A.32 B2 C.32和1 D.32、1 和12 答案 D 解析 由 xy10，2x3y80，得交点 P(1，2)，若 P 在直线 xkyk120 上，则 k12.此时三条直线交于一点；k32时，直线 l1与 l3平行 k1 时，直线 l2与 l

9、3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有 k12，32和1.（4）数 yasinxbcosx 的图象的一条对称轴方程为 x4，则直线 axbyc0 的倾斜角为 A45 B60 C120 D 135 答案 D 分析 由函数的对称轴方程可以得到 a、b 的关系式，进而可求得直线 axbyc0 的斜率 k，再由 ktan 可求倾斜角.解析 令 f(x)asinxbcosx，f(x)的一条对称轴为 x4，f(0)f2，即ba，ab1.直线 axbyc0 的斜率为1，倾斜角为 135.2.直线方程的几种形式 例 2.(1)过点 A(3，1)作直线 l 交 x 轴于点 B，交直线 l1：y2x 于点

10、 C，若|BC|2|AB|，求直线 l 的方程 解析 当 k 不存在时 B(3,0)，C(3,6)此时|BC|6，|AB|1，|BC|2|AB|，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为：y1k(x3)，令 y0 得 B(31k，0)，由 y2xy1x得 C 点横坐标 xc13kk2 若|BC|2|AB|则|xBxC|2|xAxB|，|13kk2 1k3|2|1k|，13kk2 1k32k或13kk2 1k32k，解得 k32或 k14.所求直线 l 的方程为：3x2y70 或 x4y70.(2)已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点为 P（2，3），求过两点

11、 Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1a2）的直线方程 分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答 解：P（2，3）在已知直线上，2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0 2（a1a2）+3（b1b2）=0，即2121aabb=32 所求直线方程为 yb1=32（xa1）2x+3y（2a1+3b1）=0，即 2x+3y+1=0 3.两条直线的平行与垂直 例 3.（1）a2”是“直线 2xay10 与直线 ax2y20 平行”的 A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 两直线平行的充要条件是2aa212，即两直线平行的充要条件是 a2

12、.故 a2 是直线 2xay10 与直线 ax2y20 平行的充分不必要条件 点评 如果适合 p 的集合是 A，适合 q 的集合是 B，若 A 是 B 的真子集，则 p 是 q 的充分不必要条件，若 AB，则 p，q 互为充要条件，若 B 是 A 的真子集，则 p 是 q 的必要不充分条件（2）已知两条直线 l1：axbyc0，直线 l2：mxnyp0，则 anbm 是直线 l1l2的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 l1l2时，anbm0；anbm0 时/l1l2.故 anbm 是直线 l1l2的必要不充分条件(3)已知直线 a2xy2

13、0 与直线 bx(a21)y10 互相垂直，则|ab|的最小值为 A5 B4 C2 D1 答案 C 解析 由题意知，a2b(a21)0 且 a0，a2ba21，aba21aa1a，|ab|a1a|a|1|a|2.(当且仅当 a1 时取“”)(4)已知 a、b 为正数，且直线(a1)x2y10 与直线 3x(b2)y20 互相垂直，则3a2b的最小值为 A12 B.136 C1 D25 答案 D 解析 两直线互相垂直，3(a1)2(b2)0，3a2b1，a、b0，3a2b(3a2b)(3a2b)136ba 6ab 1326ba 6ab 25.等号成立时，6ba 6ab3a2b1，ab15，故3a

14、2b的最小值为 25.4.两条直线相交 例 4.（1）已知两直线 l1：mx8yn0 和 l2：2xmy10.试确定 m、n 的值，使(1)l1与 l2相交于点 P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且 l1在 y 轴上的截距为1.解析(1)由题意得 m28n0，2mm10，解得 n7，m1，当 m1，n7 时，l1与 l2相交于点 P(1，1)(2)l1l2m28m n1，得：m4，n2，或 m4，n2.(3)l1l2m28m0，m0，则 l1：8yn0.又 l1在 y 轴上的截距为1，则 n8.综上知 m0，n8.点评 讨论 l1l2时要排除两直线重合的情况处理 l1l2时，利用

15、l1l2A1A2B1B20可避免对斜率存在是否的讨论.（2）若三直线 2x3y80，xy10，xkyk120 相交于一点，则 k 的值为 A2 B12 C2 D.12 答案 B 解析 由 xy102x3y80得交点 P(1，2)，P 在直线 xkyk120 上，k12.（3）k 为何值时，直线 1l：yk3k2 与直线 2l：4y40 的交点在第一象限.解：由142714121204423kkykkxyxkkxy得 两直线的交点在第一象限72014270141212kkkkk1.即当 72 k1 时，两直线的交点在第一象限 5.点到直线距离公式、两平行线间的距离公式 例 5.（1）已知点 A(

16、0,2)，B(2,0)若点 C 在函数 yx2的图象上，则使得ABC 的面积为 2的点 C 的个数为 A4 B3 C2 D1 答案 A 解析 因为|AB|2 2，要使三角形面积是 2，则 C 点到直线 AB 的距离为 2.直线 AB 的方程为 xy20，设 C 点所在的直线方程为 xym0，所以 d|m2|2 2，解得 m0或 m4，所以 C 点的轨迹为 xy0，或 xy40.又因为点 C 在函数 yx2的图象上，xy0，和 xy40 与 yx2分别有两个交点故这样的点共有 4 个 点评 可利用点到直线距离公式，转化为方程解的个数的判定（2）已知直线 l1：(k3)x(4k)y10 与直线 l

17、2：2(k3)x2y30 平行，则 l1与l2的距离为_ 答案 3 或 5 解析 由(k3)(2)2(k3)(4k)0，且21(4k)30，k3 或 5.当 k3 时，l1：y10，l2：2y30，此时 l1与 l2距离为：52；当 k5 时，l1：2xy10，l2：4x2y30，此时 l1与 l2的距离为|32|422 510.(3)求点 P（3，2）到下列直线的距离：(1)y4143x；（2）y6；（3）y 轴.解：(1)把方程 y4143x写成 34y10 由点到直线的距离公式得d518)4(31)2(43322 (2)因为直线 y=6 平行于轴，所以d6（2）8.（3）d33.说明：求

18、点到直线的距离，一般先把直线的方程写成一般式，对于与坐标轴平行的直线，=a或 y=b，求点到它们的距离，既可用点到直线的距离公式也可以直接写成 dx0a或 dy0b.(4)求与直线l：5-12y+6=0 平行且到l 的距离为 2 的直线的方程.解：设所求直线的方程为 5-12y+c=0.在直线 5-12y+6=0 上取一点 P0（0，21），点 P0 到直线5-12y+c=0 的距离为 d=136)12(5211222cc，由题意得136c=2.所以 c=32 或 c=-20.所以所求直线的方程为 5-12y+32=0 和 5-12y-20=0.说明：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直

19、线上取一点，求这点到另一条直线的距离.即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离 6.数形结合思想 例 6.若曲线 C1：x2y22x0 与曲线 C2：y(ymxm)0 有 4 个不同的交点，则实数 m 的取值范围是 A(33，33)B(33，0)(0，33)C 33，33 D(，33)(33，)答案 B 解析 曲线 C1：(x1)2y21，图形为圆心为(1,0)，半径为 1 的圆；曲线 C2：y0 或者 ymxm0，直线 ymxm0 恒过定点(1,0)，即曲线 C2图象为 x 轴与恒过定点(1,0)的两条直线 作图分析：k1tan30 33，k2tan30 33，又直线 l1(或直线 l2

20、)、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知 mk(33，0)(0，33)7.对称问题 例 7.（1）点 P(3,4)关于直线 xy20 的对称点 Q 的坐标是 A(2,1)B(2,5)C(2，5)D(4，3)答案 B 解析 x242，y2(3)5，故选 B.(2)点(4,0)P关于直线54210 xy的对称点是 A.（6，8）B.(8，6)C.（6，8）D.（6，8）解：设点(4,0)P关于直线54210 xy的对称点为111(,)P x y，由轴对称概念1PP 的中点1140(,)22xyM在对称轴54210 xy上，且1PP 与对称轴垂直，则有 111145421 02244 5xyy

21、x 解得116,8,xy 1(6,8)P，故选 D 点评：对称问题可化为点关于点对称，点关于直线对称的问题 8.直线过定点问题 例 8.（1）求证：不论为什么实数，直线5)12()1(mymxm都通过一定点 证法一：取1，得直线方程；再取 21，得直线方程为 x9 从而得两条直线的交点为(9，），又当9，时，有 5)12)(4()1(9mymm 即点(9，）在直线5)12()1(mymxm上，故直线5)12()1(mymxm都通过定点(9，）证法二：5)12()1(mymxm，（x21）（x5）0，则直线5)12()1(mymxm都通过直线210 与50 的交点.由方程组05012yxyx，解

22、得9，即过点(9，）所以直线5)12()1(mymxm经过定点(9，).证法三：（5)12()1(mymxm，（21）5 由为任意实数，知关于的一元一次方程（21）5 的解集为 R，05012yxyx，解得9，所以直线5)12()1(mymxm都通过定点(9，）（2）若0cba，求证直线0cbyax必经过一个定点.证明：由0cba，且ba,不同时为 0，设b 0，则)(cba 代入直线方程0cbyax，得(）bc（1）0.此方程可视为过直线0 与10 的交点的直线系方程 解方程组010 xyx得1，1 即两直线交点为(1，1），故直线0cbyax过定点(1，1).点评：以上例题是直线系的应用问题.