（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编 解直角三角形（三角函数应用）.doc

1、解直角三角形（三角函数应用）1、（绵阳市 2013 年）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高 15 米，从 A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角 C 点，且俯角为 60，又从 A 点测得 D 点的俯角为 30，若旗杆底点 G 为 BC 的中点，则矮建筑物的高 CD为（A ）A20 米 B10 3 米 C15 3 米 D5 6 米 解析GE/AB/CD，BC=2GC，GE=15 米，AB=2GE=30 米，AF=BC=ABcotACB=30cot60=103 米，DF=AFtan30=103 33 =10 米，CD=AB-DF=30-10=20 米。2、（2013 杭州）在 RtABC 中，C=

2、90，若 AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）A B C D 考点：解直角三角形 专题：计算题 分析：在直角三角形 ABC 中，由 AB 与 sinA 的值，求出 BC 的长，根据勾股定理求出 AC 的长，根据面积法求出 CD 的长，即为斜边上的高 解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在 RtABC 中，AB=4，sinA=，BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC=3.2，SABC=ACBC=ABCD，CD=故选 B 点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键 3、（2013绥化）如图，在AB

3、C 中，ADBC 于点 D，AB=8，ABD=30，CAD=45，求BC 的长 考点：解直角三角形 分析：首先解 RtABD，求出 AD、BD 的长度，再解 RtADC，求出 DC 的长度，然后由 BC=BD+DC即可求解 解答：解：ADBC 于点 D，ADB=ADC=90 在 RtABD 中，AB=8，ABD=30，AD=AB=4，BD=AD=4 在 RtADC 中，CAD=45，ADC=90，DC=AD=4，BC=BD+DC=4+4 点评：本题考查了解直角三角形的知识，属于基础题，解答本题的关键是在直角三角形中利用解直角三角形的知识求出 BD、DC 的长度 4、（2013鄂州）著名画家达芬

4、奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端 A、B 能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点 P 处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来若 AB=20cm，则画出的圆的半径为 10 cm 考点：直角三角形斜边上的中线 分析：连接 OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OP 的长，画出的圆的半径就是 OP 长 解答：解：连接 OP，AOB 是直角三角形，P 为斜边 AB 的中点，OP=AB，AB=20cm，OP=10cm，故答案为：10 点评：此题主要考查了直角三角形的性质，关键是

5、掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5、（2013 安顺）在 RtABC 中，C=90，BC=8，则ABC 的面积为 考点：解直角三角形 专题：计算题 分析：根据 tanA 的值及 BC 的长度可求出 AC 的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可 解答：解：tanA=，AC=6，ABC 的面积为68=24 故答案为：24 点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积 6、（11-4 解直角三角形的实际应用2013 东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图在教学楼一楼 C 处测得

6、旗杆顶部的仰角为 60，在教学楼三楼 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为 3 米，则旗杆 AB 的高度为 米.15.9.解析：过 B 作 BECD 于点 E，设旗杆 AB 的高度为 x，在 Rt ABC中，tanABACBAC，所以3tantan 6033ABxxACxACB，在 Rt BDE中，33BEACx，60BOE，tanBEBDEDE，所以331tan33xBEDExBDE，因为 CE=AB=x，所以163DCCEDExx，所以 x=9，故旗杆的高度为 9 米.7、（2013常德）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE

7、 是 BC 边上的中线，C=45，sinB=，AD=1（1）求 BC 的长；（2）求 tanDAE 的值 考点：解直角三角形 分析：（1）先由三角形的高的定义得出ADB=ADC=90，再解 RtADC，得出 DC=1；解RtADB，得出 AB=3，根据勾股定理求出 BD=2，然后根据 BC=BD+DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出 CE 的值，则 DE=CECD，然后在 RtADE 中根据正切函数的定义即可求解 解答：解：（1）在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，ADB=ADC=90 在ADC 中，ADC=90，C=45，AD=1，DC=AD=1 在ADB 中，ADB=90，

8、sinB=，AD=1，AB=3，BD=2，BC=BD+DC=2+1；（2）AE 是 BC 边上的中线，CE=BC=+，DE=CECD=，tanDAE=点评：本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解RtADC 与 RtADB，得出 DC=1，AB=3 是解题的关键 8、（13 年山东青岛、20）如图，马路的两边 CF、DE 互相平行，线段 CD 为人行横道，马路两侧的 A、B 两点分别表示车站和超市。CD 与 AB 所在直线互相平行，且都与马路两边垂直，马路宽 20 米，A，B 相距 62 米，A=67，B=37（1）求 CD 与 AB 之间的距离；（2）某人从

9、车站 A 出发，沿折线 ADCB 去超市 B，求他沿折线 ADCB 到达超市比直接横穿马路多走多少米（参考数据：131267sin，13567cos，51267tan，5337sin，5437sin，4337tan）解析：9、（2013益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道 AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥 PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0 米，PAB=38.5，PBA=26.5请帮助小张求出小桥 PD 的长并确定小桥在小道上的位置（以A，B 为参照点，结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin38.5=0.62，cos38.5=0.78，t

10、an38.5=0.80，sin26.5=0.45，cos26.5=0.89，tan26.5=0.50）考点：解直角三角形的应用 专题：应用题 分析：设 PD=x 米，在 RtPAD 中表示出 AD，在 RtPDB 中表示出 BD，再由 AB=80.0 米，可得出方程，解出即可得出 PD 的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置 解答：解：设 PD=x 米，PDAB，ADP=BDP=90，在 RtPAD 中，tanPAD=，AD=x，在 RtPBD 中，tanPBD=，DB=2x，又AB=80.0 米，x+2x=80.0，解得：x24.6，即 PD24.6 米，DB=2x=49.2 答：小桥 PD

11、 的长度约为 24.6 米，位于 AB 之间距 B 点约 49.2 米 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般 10、（2013娄底）2013 年 3 月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面 A、B 两个探测点探测到 C 处有生命迹象已知 A、B 两点相距4 米，探测线与地面的夹角分别是 30和 45，试确定生命所在点 C 的深度（精确到 0.1米，参考数据：）考点：解直角三角形的应用 分析：过点 C 作 CDAB 于点 D，设 CD=x，在 RtACD 中表示出 AD，在 Rt

12、BCD 中表示出 BD，再由 AB=4 米，即可得出关于 x 的方程，解出即可 解答：解：过点 C 作 CDAB 于点 D，设 CD=x，在 RtACD 中，CAD=30，则 AD=CD=x，在 RtBCD 中，CBD=45，则 BD=CD=x，由题意得，xx=4，解得：x=2（+1）5.5 答：生命所在点 C 的深度为 5.5 米 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用 11、（2013包头）如图，一根长 6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（ABO）为 60当木棒 A

13、 端沿墙下滑至点 A时，B 端沿地面向右滑行至点 B（1）求 OB 的长；（2）当 AA=1 米时，求 BB的长 考点：勾股定理的应用；解直角三角形的应用 分析：（1）由已知数据解直角三角形 AOB 即可；（2）首先求出 OA 的长和 OA的长，再根据勾股定理求出 OB的长即可 解答：解：（1）根据题意可知：AB=6，ABO=60，AOB=90，在 RtAOB 中，cosABO=，OB=ABcosABO=6cos60=3米，OB 的长为 3米；（2）根据题意可知 AB=AB=6米，在 RtAOB 中，sinABO=，OA=ABsinABO=6sin60=9 米，OA=OAAA，AA=1 米，O

14、A=8 米，在 RtAOB中，OB=2米，BB=OBOB=（23）米 点评：本题考查了勾股定理的应用和特殊角的锐角三角函数，是中考常见题型 12、（2013呼和浩特）如图，A、B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地经过 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶已知 AC=10 千米，A=30，B=45则隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用 分析：过 C 作 CDAB 于 D，在 RtACD 中，根据 AC=10，A=30，解直角三角形求出 AD、CD 的长度，然后在 RtBCD 中，求出 BD、

15、BC 的长度，用 AC+BC（AD+BD）即可求解 解答：解：过 C 作 CDAB 于 D，在 RtACD 中，AC=10，A=30，DC=ACsin30=5，AD=ACcos30=5，在 RtBCD 中，B=45，BD=CD=5，BC=5，则用 AC+BC（AD+BD）=10+5（5+5）=5+55（千米）答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走（5+55）千米 点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形 13、（2013巴中）2013 年 4 月 20 日，四川雅安发生里氏 7.0 级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟

16、下方探测到点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点 A、B 相距 4 米，探测线与地面的夹角分别为 30和 60，如图所示，试确定生命所在点 C 的深度（结果精确到 0.1 米，参考数据1.41，1.73）考点：解直角三角形的应用 分析：过点 C 作 CDAB 交 AB 于点 D，则CAD=30，CBD=60，在 RtBDC 中，CD=BD，在 RtADC 中，AD=CD，然后根据 AB=ADBD=4，即可得到 CD 的方程，解方程即可 解答：解：如图，过点 C 作 CDAB 交 AB 于点 D 探测线与地面的夹角为 30和 60，CAD=30，CBD=60，在 RtBDC 中，tan

17、60=，BD=，在 RtADC 中，tan30=，AD=，AB=ADBD=4，=4，CD=23.5（米）答：生命所在点 C 的深度大约为 3.5 米 点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形，也考查了把实际问题转化为数学问题的能力 14、（2013舟山）某学校的校门是伸缩门（如图 1），伸缩门中的每一行菱形有 20 个，每个菱形边长为 30 厘米校门关闭时，每个菱形的锐角度数为 60（如图 2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从 60缩小为 10（如图 3）问：校门打开了多少米？（结果精确到 1米，参考数据：sin50.0872，cos50.9

18、962，sin100.1736，cos100.9848）考点：解直角三角形的应用；菱形的性质 分析：先求出校门关闭时，20 个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20 个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可 解答：解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形 ABCD 根据题意，得BAD=60，AB=0.3 米 在菱形 ABCD 中，AB=AD，BAD 是等边三角形，BD=AB=0.3 米，大门的宽是：0.3206（米）；校门打开时，取其中一个菱形 A1B1C1D1 根据题意，得B1A1D1=10，A1B1=0.3 米 在菱形 A1B1C1D1中，A1C1B1D1，B1A1O1=5，在 RtA1

19、B1O1中，B1O1=sinB1A1O1A1B1=sin50.3=0.02616（米），B1D1=2B1O1=0.05232 米，伸缩门的宽是：0.0523220=1.0464 米；校门打开的宽度为：61.0464=4.95365（米）故校门打开了 5 米 点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，难度适中解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，一切将迎刃而解 15、（2013绍兴）如图，伞不论张开还是收紧，伞柄 AP 始终平分同一平面内两条伞架所成的角BAC，当伞收紧时，结点 D 与点 M 重合，且点 A、E、D 在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下

20、：单位：cm 伞架 DE DF AE AF AB AC 长度 36 36 36 36 86 86（1）求 AM 的长（2）当BAC=104时，求 AD 的长（精确到 1cm）备用数据：sin52=0.788，cos52=0.6157，tan52=1.2799 考点：解直角三角形的应用 分析：（1）根据 AM=AE+DE 求解即可；（2）先根据角平分线的定义得出EAD=BAC=52，再过点 E 作 EGAD 于 G，由等腰三角形的性质得出 AD=2AG，然后在AEG 中，利用余弦函数的定义求出 AG 的长，进而得到 AD 的长度 解答：解：（1）由题意，得 AM=AE+DE=36+36=72（c

21、m）故 AM 的长为 72cm；（2）AP 平分BAC，BAC=104，EAD=BAC=52 过点 E 作 EGAD 于 G，AE=DE=36，AG=DG，AD=2AG 在AEG 中，AGE=90，AG=AEcosEAG=36cos52=360.6157=22.1652，AD=2AG=222.165244（cm）故 AD 的长约为 44cm 点评：本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，其中涉及到角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角函数的定义，难度适中 16、(2013 年南京)已知不等臂跷跷板 AB 长 4m。如图，当 AB 的一端碰到地面时，AB 与地面的夹 角为；如图，当 AB 的另

22、一端 B 碰到地面时，AB 与地面的夹角为。求跷跷板 AB 的支撑点 O 到地面的高度 OH。(用含、的式子表示)解析：解：在 RtAHO 中，sin=OH OA，OA=OH sin。在 RtBHO 中，sin=OH OB，OB=OH sin。AB=4，OAOB=4，即 OH sin OH sin =4。OH=4sinsin sinsin (m)。(8 分)(2013 年江西省)如图 1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线 OAB，如图 2 所示，量得连杆 OA 长为 10cm，雨刮杆 AB 长为 48cm，OAB=120若启动一次刮雨器，雨刮杆 AB 正

23、好扫到水平线 CD 的位置，如图 3 所示 （1）求雨刮杆 AB 旋转的最大角度及 O、B 两点之间的距离；（结果精确到 0.01）（2）求雨刮杆 AB 扫过的最大面积（结果保留的整数倍）（参考数据：sin60=23，cos60=21，tan60=3，721 26.851，可使用科学计算器）OABABHOH【答案】解：（1）雨刮杆 AB 旋转的最大角度为 180 连接 OB，过 O 点作 AB 的垂线交 BA 的延长线于 EH，OAB=120，OAE=60 在 RtOAE 中，OAE=60，OA=10，sinOAE=OAOE=10OE，OE=5 3，AE=5.EB=AE+AB=53，在 RtO

24、EB 中，OE=5 3，EB=53，OB=22BEOE=2884=2721 53.70；（2）雨刮杆 AB 旋转 180得到 CD，即OCD 与OAB 关于点 O 中心对称，BAOOCD，SBAO=SOCD，雨刮杆 AB 扫过的最大面积 S=21(OB2OA2)=1392.【考点解剖】本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺乏生活经验，弄不懂题意（提供的实物图也不够清晰，人为造成一定的理解困难）【解题思路】将实际问题转化为数学问题，（1）AB 旋转的最大角度为 180；在OAB中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解

25、，由OAB=120想到作 AB 边上的高，得到一个含 60角的 RtOAE 和一个非特殊角的 RtOEB.在 RtOAE 中，已知OAE=60，斜边 OA=10，可求出 OE、AE 的长，进而求得 RtOEB 中 EB 的长，再由勾股定理求出斜边 OB 的长；（2）雨刮杆 AB 扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以 OB、OA 为半径的半圆面积之差）.【方法规律】将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中，已知两边或一边一角都可求出其余的量.【关键词】刮雨器 三角函数 解直角三角形 中心对称 扇形的面积 17、（2013 陕西）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯 D 的高度

26、，如图，当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立身高 AM 与其影子长 AE 正好相等，接着李明沿 AC方向继续向前走，走到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB=1.25m。已知李明直立时的身高为 1.75m，求路灯的高 CD 的长.（结果精确到 0.1m）考点：此题考查稳定，就是考查解直角三角形，或者考查的是相似三角形的应用测量高度，宽度等线段的长度的具体计算，将问题转换成方程（组）来求解，经常设置的具体的实际情景得到与测量相关的计算；解析：本题考查的是典型的测量问题之中心投影下的测量，而此问题设置基本上就是应用相似的性质来将实际问题转化成数学问题来解决，

27、解：如图，设 CD 长为 x m AMEC，CDEC，BNEC，EA=MA MACD，BNCD，EC=CD=x，ABNACD ACABCDBN 即75.125.175.1 xx 解得1.6125.6x 所以路灯高 CD 约为 6.1 米 18、（2013 年潍坊市）如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为1 的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形 ABEF.现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至DFCE,旋转角为.（1）当点D 恰好落在 EF 边上时，求旋转角 的值；（2）如图 2，G 为 BC 的中点，且 0 90，求证：DEGD；（3）小长方形

28、CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD与CBD能否全等？若能，直接写出旋转角 的值；若不能，说明理由.BAECDNM第 21 题图答案：(1)DC/EF,DCD=CDE=CDE=.sin=12CECECDCD,=30(2)G 为 BC 中点，GC=CE=CE=1，DCG=DCG+DCD=90+,DCE=DCE+DCD=90+,DCG=DCE又CD=CD,GCDECD,GD=ED(3)能.=135或=315 考点：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定 点评：本题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，通过操作、观察、计算、猜想等获得结论.此类问题综合性较强，要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力