（全国版）2021届高考数学二轮复习 专题检测（十五）圆锥曲线的方程与性质（文含解析）.doc

1、专题检测（十五）圆锥曲线的方程与性质 A 组“633”考点落实练一、选择题1.(2019全国卷)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x23py2p 1 的一个焦点，则 p()A.2 B.3C.4 D.8解析：选 D 抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23py2p 1 的焦点坐标为()2p，0.由题意得p2 2p，解得 p0(舍去)或 p8.故选 D.2.一个焦点为(26，0)且与双曲线y24x291 有相同渐近线的双曲线方程是()A.y218x281 B.x218y281C.x216y2101 D.y216x2101解析：选 B 设所求双曲线方程为y24x29t(t0)

2、，因为一个焦点为(26，0)，所以|13t|26.又焦点在 x 轴上，所以 t2，即双曲线方程为x218y281.3.已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆 M 在圆 C1 内部且与圆 C1 内切，与圆 C2 外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为()A.x224y2251 B.x225y2241C.x248y2641 D.x264y2481解析：选 D 设圆 M 的半径为 r，则|MC1|13r，|MC2|3r，|MC1|MC2|16|C1C2|，所以点 M 的轨迹是以点 C1(4，0)和 C2(4，0)为焦点的椭圆，且 2a16，a8，c4，则 b2a2c248，所

3、以点 M 的轨迹方程为x264y2481.4.(2019全国卷)已知 F 是双曲线 C：x24y251 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点.若|OP|OF|，则OPF 的面积为()A.32B.52C.72D.92解析：选 B 由 F 是双曲线x24y251 的一个焦点，知|OF|3，所以|OP|OF|3.不妨设点 P 在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00，则x20y203，x204y2051，解得x20569，y20259，所以 P2 143，53，所以 SOPF12|OF|y01235352.故选 B.5.(2019石家庄市模拟(一)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，

4、点 F 为左焦点，点 P 为下顶点，平行于 FP 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，且 AB 的中点为 M1，12，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.14D.32解析：选 B FP 的斜率为bc，FPl，直线 l 的斜率为bc.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x21a2y21b21，x22a2y22b21得y21b2y22b2x21a2x22a2，即y1y2x1x2b2（x1x2）a2（y1y2）.AB 的中点为 M1，12，bc2b2a2，a22bc，b2c22bc，bc，a 2c，椭圆的离心率为 22，故选 B.6.(2019全国卷)设 F 为双曲线 C：x2a2y2b2

5、1(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆 x2y2a2 交于 P，Q 两点.若|PQ|OF|，则 C 的离心率为()A.2 B.3C.2 D.5解析：选 A 设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F 的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ 是以 OF 为直径的圆的直径，且 PQOF.设垂足为 M，连接 OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|c2.由|OM|2|MP|2|OP|2 得 c22 c22a2，故ca 2，即 e 2.故选 A.二、填空题7.(2019北京通州区三模改编)抛物线 y22px(p0)的准线与双曲线 x2y

6、241 的两条渐近线所围成的三角形的面积为 2，则 p_，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为_.解析：抛物线 y22px(p0)的准线方程为 xp2，双曲线 x2y241 的两条渐近线方程分别为 y2x，y2x，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为 2p，三角形的高为p2，因此122pp22，解得 p2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线 y2x 和 y2x 的距离相等，均为|20|5 2 55.答案：2 2 558.设直线 l：2xy20 关于原点对称的直线为 l，若 l与椭圆 x2y241 的交点为 A，B，点 P 为椭圆上的动点，则使PAB 的面积为12的点 P 的个数为_.解析：直线

7、 l的方程为 2xy20，交点分别为椭圆顶点(1，0)和(0，2)，则|AB|5，由PAB 的面积为12，得点 P 到直线 AB 的距离为 55，而平面上到直线 2xy20 的距离为 55的点都在直线 2xy10 和 2xy30 上，而直线 2xy10 与椭圆相交，2xy30 与椭圆相离，满足题意的点 P 有 2 个.答案：29.已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x22y21 上的一点，F1，F2 是双曲线 C 的两个焦点.若MF1 MF20，则 y0 的取值范围是_.解析：由题意知 a 2，b1，c 3，设 F1(3，0)，F2(3，0)，则MF1(3x0，y0)，MF2(3x0，y0).

8、MF1 MF2 0，(3x0)(3x0)y200，即 x203y200.点 M(x0，y0)在双曲线 C 上，x202y201，即 x2022y20，22y203y200，33 y0 33.答案：33 y0b0)的中心是坐标原点 O，左、右焦点分别为 F1，F2，设 P 是椭圆 C 上一点，满足 PF2x 轴，|PF2|12，椭圆 C 的离心率为32.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过椭圆 C 左焦点且倾斜角为 45的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求AOB 的面积.解：(1)由题意知，离心率 eca 32，|PF2|b2a 12，得 a2，b1，所以椭圆 C 的标准方程为x2

9、4y21.(2)由条件可知 F1(3，0)，直线 l：yx 3，联立直线 l 和椭圆 C 的方程，得yx 3，x24y21，消去 y 得 5x28 3x80，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28 35，x1x285，所以|y1y2|x1x2|（x1x2）24x1x24 25，所以 SAOB12|y1y2|OF1|2 65.11.(2019全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P.(1)若|AF|BF|4，求 l 的方程；(2)若AP3PB，求|AB|.解：设直线 l：y32xt，A(x1，y1)，B

10、(x2，y2).(1)由题设得 F34，0，故|AF|BF|x1x232.又|AF|BF|4，所以 x1x252.由y32xt，y23x可得 9x212(t1)x4t20，则 x1x212（t1）9.从而12（t1）952，得 t78.所以 l 的方程为 y32x78.(2)由AP3PB可得 y13y2.由y32xt，y23x可得 y22y2t0.所以 y1y22，从而3y2y22，故 y21，y13.代入 C 的方程得 x13，x213.故|AB|4 133.12.(2019成都市第二次诊断性检测)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的短轴长为 4 2，离心率为13.(1)求椭圆 C

11、的标准方程；(2)设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，左、右顶点分别为 A，B，点 M，N 为椭圆 C上位于 x 轴上方的两点，且 F1MF2N，直线 F1M 的斜率为 2 6，记直线 AM，BN 的斜率分别为 k1，k2，求 3k12k2 的值.解：(1)由题意，得 2b4 2，ca13.又 a2c2b2，a3，b2 2，c1.椭圆 C 的标准方程为x29y281.(2)由(1)可知 A(3，0)，B(3，0)，F1(1，0).据题意，直线 F1M 的方程为 y2 6(x1).记直线 F1M 与椭圆 C 的另一个交点为 M.设 M(x1，y1)(y10)，M(x2，y2).F1MF2

12、N，根据对称性，得 N(x2，y2).联立得8x29y272，y2 6（x1），消去 y，得 14x227x90.由题意知 x1x2，x137，x232，k1 y1x132 6（x11）x134 69，k2 y2x232 6（x21）x232 63，3k12k234 69 22 630，即 3k12k2 的值为 0.B 组大题专攻强化练1.已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线 x24 3y 的焦点.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若过点 P(2，1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切于点 M，求直线 l 的方程和点 M 的坐标.解：(1)设椭

13、圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，由题意得 b 3，ca12，解得 a2，c1.故椭圆 C 的标准方程为x24y231.(2)因为过点 P(2，1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切，所以直线 l 的斜率存在，故可设直线 l 的方程为 yk(x2)1(k0).由x24y231，yk（x2）1 得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线 l 与椭圆 C 相切，所以 8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得 2k10，解得 k12.所以直线 l 的方程为 y12(x2)112x2.将 k12代入式，可以解得 M 点的横坐标为 1，故切点 M

14、 的坐标为1，32.2.在直角坐标系 xOy 中，长为 21 的线段的两端点 C，D 分别在 x 轴，y 轴上滑动，CP 2 PD.记点 P 的轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)经过点(0，1)作直线 l 与曲线 E 相交于 A，B 两点，OM OAOB，当点 M 在曲线 E上时，求直线 l 的方程.解：(1)设 C(m，0)，D(0，n)，P(x，y).由CP 2 PD，得(xm，y)2(x，ny)，所以xm 2x，y 2（ny），得m（21）x，n 212 y，由|CD|21，得 m2n2(21)2，所以(21)2x2（21）22y2(21)2，整理，得曲线 E 的方程为 x

15、2y221.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由OM OAOB，知点 M 的坐标为(x1x2，y1y2).易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx1，代入曲线 E 的方程，得(k22)x22kx10，则 x1x2 2kk22，所以 y1y2k(x1x2)24k22.由点 M 在曲线 E 上，知(x1x2)2（y1y2）221，即4k2（k22）28（k22）21，解得 k22.此时直线 l 的方程为 y 2x1.3.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率 e13，焦距为 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 Q(0，2)作斜率为 k(k0)的直线 l

16、与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 x 轴上的一点 E 满足|AE|BE|，试求出点 E 的横坐标的取值范围.解：(1)由已知得ca13，2c2，所以 c1，a3，b2a2c28.所以椭圆 C 的方程为x29y281.(2)根据题意可设直线 l 的方程为 ykx2，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 G(x0，y0).设点 E(m，0)，使得|AE|BE|，则 EGAB.由ykx2，x29y281 得(89k2)x236kx360，x1x2 36k9k28，所以 x018k9k28，y0kx02169k28，因为 EGAB，所以 kEG1k，即169k28018k9k28m

17、1k，所以 m 2k9k28 29k8k，当 k0 时，9k8k2 9812 2，所以 212m0；当 k0 时，9k8k12 2，所以 0b0)的右焦点为 F，右顶点、上顶点分别为点 A，B，且|AB|52|BF|.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若点 M1617，217 在椭圆 C 的内部，过点 M 的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，M 为线段 PQ 的中点，且 OPOQ，求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程.解：(1)由已知|AB|52|BF|，得a2b2 52 a，即 4a24b25a2，4a24(a2c2)5a2，所以 eca 32.(2)由(1)知 a24b2，所以椭圆

18、C 的方程可化为 x24b2y2b21.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 x214b2y21b21，x224b2y22b21，可得x21x224b2 y21y22b20，即（x1x2）（x1x2）4b2（y1y2）（y1y2）b20，即3217（x1x2）4 417(y1y2)0，从而 kPQy1y2x1x22，所以直线 l 的方程为 y 2172x1617，即 2xy20.联立2xy20，x24b2y2b21消去 y，得 17x232x164b20.则 3221617(b24)0b2 1717，x1x23217，x1x2164b217.因为 OPOQ，OPOQ0，即 x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40，从而5（164b2）1712817 40，解得 b1，所以椭圆 C 的方程为x24y21.综上，直线 l 的方程为 2xy20，椭圆 C 的方程为x24y21.