《高优指导》2017高三数学（理）北师大版一轮滚动测试卷5 WORD版含解析.docx

1、滚动测试卷五(第一十二章)(时间:120分钟满分:150分)滚动测试卷第17页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015南昌二模)已知集合A=x|x2-2x0,B=x|log2(x+1)0得x2或x0,由log2(x+1)1得0x+12,即-1x1,所以AB=(-1,0),故选D.2.(2015湖北,理2)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1 365石答案:B解析:由条件知254粒内夹谷28粒,可估计米内夹谷的

2、概率为28254=14127,所以1 534石米中夹谷约为141271 534169(石).3.(2015石家庄一模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.64B.72C.112D.80答案:B解析:由三视图可得该几何体是组合体,其下方是棱长为4的正方体,上方是底面为三边分别为4,25,25的三角形,高为3的三棱锥,则其体积为V=43+1312423=72,故选B.4.(2015石家庄一模)下列说法中,不正确的是()A.已知a,b,mR,命题“若am2bm2,则a0”的否定是“任意xR,x2-x0”C.“x3”是“x2”的充分不必要条件D.命题“p或q”为真命题,则命题p和q均

3、为真命题答案:D解析:若am20,则a3必有x2,但x2未必有x3,所以C正确;命题“p或q”为真命题,只需命题p,q有一个为真命题即可,所以D错误,故选D.5.设z=x+y,其中实数x,y满足x+2y0,x-y0,0yk,若z的最大值为6,则z的最小值为()A.-3B.-2C.-1D.0答案:A解析:作出实数x,y满足的平面区域如图中的阴影部分所示,由图可知当目标函数z=x+y经过点A(k,k)时,z取得最大值,即zmax=k+k=6,解得k=3.当目标函数z=x+y经过点B(-2k,k)时,z取得最小值,所以zmin=-23+3=-3,故选A.6.两名学生一起去一家单位应聘,面试前单位负责

4、人对他们说:“我们要从面试的人中招聘3人,你们俩同时被招聘进来的概率是170”,根据这位负责人的话,可以推断出参加面试的人数为()A.21B.35C.42D.70答案:A解析:设参加面试的人数为n,依题意有C22Cn-21Cn3=6(n-2)n(n-1)(n-2)=6n(n-1)=170,即n2-n-420=(n+20)(n-21)=0,解得n=21或n=-20(舍去).7.若O是ABC所在平面内一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则ABC一定是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形答案:B解析:根据题意有|OB-OC|=|OB-OA+OC-OA|,即

5、|AB+AC|=|AB-AC|,从而得到ABAC,所以三角形为直角三角形,故选B.8.(2015河北保定一模)已知函数f(x+2)是R上的偶函数,当x2时,f(x)=x2+1,则当x2时,f(x)=x2+1,则当x-2,4-x2,所以f(x)=f(4-x)=(4-x)2+1=x2-8x+17,所以当x2时,f(x)=x2-8x+17,故选D.9.(2016届河南偃师高中月考)设函数f(x)=ex-e-x-2x,下列结论正确的是()A.f(2x)min=f(0)B.f(2x)max=f(0)C.f(2x)在(-,+)上递减,无极值D.f(2x)在(-,+)上递增,无极值答案:D解析:因f(2x)

6、=2e2x+2e-2x-44exe-x-4=0,所以f(2x)在(-,+)上递增,无极值.10.(2015贵阳监测)若任取x,y0,1,则点P(x,y)满足yx12的概率为()A.22B.13C.12D.23答案:D解析:如图,阴影部分的面积S=01 x12dx=23x32|01=23,所求概率P=S11=23.11.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过点C,则以C为圆心,半径为5的圆的方程为()A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0答案:C解析:把直线方程化为(-x-y+1)+a(x+1)=0

7、,令-x-y+1=0,x+1=0,得x=-1,y=2,直线过定点C(-1,2).圆C的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,化为一般式为x2+y2+2x-4y=0.12.(2016届河南偃师高中月考)已知数列an为等差数列,若a11a100的n的最大值为()A.11B.19C.20D.21导学号92950990答案:B解析:由a11a10-1可得a11+a10a100,由它们的前n项和Sn有最大值,可得数列公差d0,a10+a110,a110,a1+a20=a10+a110的n的最大值为n=19.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015四川,理11)在(2x-1)5的

8、展开式中,含x2的项的系数是(用数字填写答案).答案:-40解析:(2x-1)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5-r(-1)r=(-1)rC5r25-rx5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)3C5325-3=-22C52=-40.14.函数f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)的最大值为.答案:1解析:f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)=sin(x+)+-2sin cos(x+)=sin(x+)cos +cos(x+)sin -2sin cos(x+)=sin(x+)cos -cos(x+)sin =sin(x+)-

9、=sin x.f(x)max=1.15.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,2)(0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为.答案:0.8解析:X服从正态分布N(1,2),X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同,均为0.4.X在(0,2)内取值的概率为0.4+0.4=0.8.16.在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2+4c2=8,sin B+2sin C=6bsin Asin C,则ABC的面积取最大值时,有a2=.导学号92950991答案:5-823解析:由sin B+2sin C=6bsin Asin C,得b+2c=

10、6bcsin A,即sin A=b+2c6bc,所以SABC=12bcsin A=b+2c122b2+4c212=13,当且仅当b=2c,即b=2,c=1时等号成立,此时sin A=13,则cos A=223,所以a2=b2+c2-2bccos A=5-4223=5-823.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知数列an中,a1=1,an+1=anan+3(nN+).(1)求证:数列1an+12是等比数列,并求数列an的通项公式an;(2)若数列bn满足bn=(3n-1)n2nan,数列bn的前n项和为Tn,若不等式(-1)nTn+n2n-1对一切nN+恒成立,求的取值范围

11、.(1)证明:由已知得1an+1+121an+12=an+3an+121an+12=3,所以数列1an+12是等比数列,an=23n-1.(2)解:bn=n2n-1,由错位相减得Tn=4-n+22n-1.代入得(-1)n4-22n-1,易证4-22n-1为单调递增,当n是偶数时4-1=3;当n是奇数时-2.所以-23.18.(12分)(2015山东,理19)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“

12、三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.解:(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为C93=84,随机变量X的取值为:0,-1,1,因此P(X=0)=C83C93=23,P(X=-1)=C42C93=114,P(X=1)=1-114-23=1142.所以X的分布列为X0-11P231141142则EX=023+(-1)114+11142

13、=421.19.(12分)(2015河北石家庄高三质检一)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PA底面ABCD,PA=AD=1,E,F分别为PD,AC的中点.(1)求证:EF平面PAB;(2)求直线EF与平面ABE所成角的大小.解:(1)证明:分别取PA和AB中点M,N,连接MN,ME,NF,则NF􀱀12AD,ME􀱀12AD,所以NF􀱀ME,所以四边形MEFN为平行四边形.所以EFMN,又EF平面PAB,MN平面PAB,所以EF平面PAB.(2)因为底面ABCD为正方形,侧棱PA底面ABCD,所以AP,AB,AD两两垂直

14、.如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系A-xyz,则P(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E0,12,12,F12,12,0,所以EF=12,0,-12,AE=0,12,12,AB=(1,0,0).设平面ABE的法向量为n=(a,b,c),则nAE=0,nAB=0,即12b+12c=0,a=0,令b=1,则c=-1.所以n=(0,1,-1)为平面ABE的一个法向量.设直线EF与平面ABE所成角为,于是sin =|cos|=EFn|EF|n|=12.所以直线EF与平面ABE所成角为6.导学号

15、9295099220.(12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.解:(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)=C21C32=23,P(B)=C42C53=35.事件A与B相互独立,

16、观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A B)=P(A)P(B)=P(A)1-P(B)=2325=415.或P(AB)=C21C43C32C53=415.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)=C42C53=35,X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P(A B C)=132525=475,P(X=1)=P(A B C)+P(AB C)+P(A BC)=232525+133525+132535=2075,P(X=2)=P(AB C)+P(A BC)+P(ABC)=233525+232535+133535=3375,P(X=3)=P(ABC

17、)=233535=1875,X的分布列为X0123P475207533751875X的数学期望EX=0475+12075+23375+31875=14075=2815.21.(12分)(2015河北保定二模)如图,已知M:(x-4)2+y2=1和抛物线C:y2=2px(p0,其焦点为F),且FM=154,0,过抛物线C上一点H(x0,y0)(y01)作两条直线分别与M相切于A,B两点.(1)求抛物线C的方程;(2)求直线AB在y轴上的截距的最小值.解:(1)由题意知M的圆心M的坐标为(4,0),抛物线C的焦点为p2,0.由FM=154,0,得圆心M到抛物线C的焦点的距离为154,即4-p2=1

18、54,解得p=12.从而抛物线C的方程为y2=x.(2)由(1)知,设点H(y02,y0),则HM的中点y02+42,y02.以HM为直径的圆为x-y02+422+y-y022=(y02-4)2+y024.M:(x-4)2+y2=1.-得:直线AB的方程为(4-y02)x-y0y+4y02-15=0.令x=0,得直线AB在y轴上的截距为d=4y02-15y0=4y0-15y0(y01).函数f(y0)=4y0-15y0在1,+)上单调递增,直线AB在y轴上的截距的最小值为41-151=-11.导学号9295099322.(12分)已知函数f(x)=ln x-x2+x.(1)求函数f(x)的单调

19、递减区间;(2)若对于任意的x0,不等式f(x)a2-1x2+ax-1的恒成立,求整数a的最小值.解:(1)f(x)=1x-2x+1=-2x2+x+1x(x0),由f(x)0,又x0,所以x1.所以f(x)的单调减区间为(1,+).(2)令g(x)=f(x)-a2-1x2+ax-1=ln x-12ax2+(1-a)x+1,所以g(x)=1x-ax+(1-a)=-ax2+(1-a)x+1x.当a0时,因为x0,所以g(x)0,g(x)在(0,+)上是递增函数,又因为g(1)=ln 1-12a12+(1-a)+1=-32a+20,所以关于x的不等式f(x)a2-1x2+ax-1不能恒成立.当a0时,g(x)=-ax2+(1-a)x+1x=-ax-1a(x+1)x,令g(x)=0,得x=1a.所以当x0,1a时,g(x)0;当x1a,+时,g(x)0,h(2)=14-ln 20,又因为h(a)在a(0,+)上是减函数.所以当a2时,h(a)0.所以整数a的最小值为2.导学号92950994