（全国统考）2022高考数学一轮复习 课时规范练40 空间图形的基本关系与公理（理含解析）北师大版.docx

1、课时规范练 40 空间图形的基本关系与公理 基础巩固组1.(2020 浙江丽水模拟)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是线段 BC,CD1 的中点,则直线 A1B与直线 EF 的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.垂直2.(2020 广东汕头模拟)a,b,c 是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是()A.若直线 a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 异面B.若直线 a,b 相交,b,c 相交,则 a,c 相交C.若 ab,则 a,b 与 c 所成的角相等D.若 ab,bc,则 ac3.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是长方体,O 是 B1D1 的中点,

2、直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则下列结论正确的是()A.A,M,O 三点共线B.A,M,O,A1 不共面C.A,M,C,O 不共面D.B,B1,O,M 共面4.(2020 海南三亚模拟)在空间四边形 ABCD 各边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 四点,如果EF,GH 相交于点 P,那么()A.点 P 必在直线 AC 上B.点 P 必在直线 BD 上C.点 P 必在平面 DBC 内D.点 P 必在平面 ABC 外5.(2020 山东临沂模拟)如图所示,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线 A1B 与

3、 AD1 所成角的余弦值为()A.B.C.D.6.(2020江西宜春模拟)已知AE是长方体ABCD-EFGH 的一条棱,则在这个长方体的十二条棱中,与 AE 异面且垂直的棱共有 条.7.(2020 江苏启东中学模拟)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证:(1)E,C,D1,F 四点共面;(2)CE,D1F,DA 三线共点.综合提升组8.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 1,点 M 在线段 BC 上(点 M 异于 B,C 两点),点 N 为线段CC1 的中点,若平面 AMN 截正方体 ABCD-A1B1C1D1 所得的截面为

4、五边形,则线段 BM 的取值范围是()A.(B.()C.)D.9.(2020 湖北孝感模拟)已知在四面体 ABCD 中,E,F 分别是 AC,BD 的中点.若 AB=2,CD=4,EFAB,则 EF 与 CD 所成角的度数为 .10.(2020 湖北武汉模拟)如图所示,在四面体 ABCD 中作截面 PQR,若 PQ 与 CB 的延长线交于点M,RQ 与 DB 的延长线交于点 N,RP 与 DC 的延长线交于点 K.给出以下结论:直线 MN平面 PQR;点 K 在直线 MN 上;M,N,K,A 四点共面.其中正确结论的序号为 .11.如图所示,平面 BCC1B1平面 ABC,ABC=120,四边

5、形 BCC1B1 为正方形,且 AB=BC=2,则异面直线 BC1 与 AC 所成角的余弦值为 .(第 10 题图)(第 11 题图)12.(2020 江苏盐城模拟)已知空间四边形 ABCD(如图所示),E,F 分别是 AB,AD 的中点,G,H 分别是 BC,CD 上的点,且 CG=BC,CH=DC.求证:(1)E,F,G,H 四点共面;(2)三直线 FH,EG,AC 共点.创新应用组13.如图,在正四面体 ABCD 中,E 是棱 AD 上靠近点 D 的一个三等分点,则异面直线 AB 和 CE 所成角的余弦值为 .参考答案 课时规范练 40 空间图形的基本关系与公理1.A 由 BCAD,AD

6、A1D1知,BCA1D1,从而四边形 A1BCD1是平行四边形,所以 A1BCD1,又 EF平面 A1BCD1,EFD1C=F,则 A1B 与 EF 相交.2.C 对于 A,B,D,a 与 c 可能相交、平行或异面,因此 A,B,D 不正确,根据异面直线所成角的定义知 C 正确.3.A 连接 A1C1,AC,图略,则 A1C1AC,所以 A1,C1,A,C 四点共面.所以 A1C平面 ACC1A1.因为 MA1C,所以 M平面 ACC1A1.又 M平面 AB1D1,所以 M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上.同理 A,O 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上,所

7、以 A,M,O 三点共线.4.A 如图,因为 EF平面 ABC,而 GH平面 ADC,且 EF 和 GH 相交于点 P,所以点 P 在两平面的交线上,因为 AC 是两平面的交线,所以点 P 必在直线 AC 上.5.D 连接 BC1,易证 BC1AD1,则A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角.连接 A1C1,由 AB=1,AA1=2,则 A1C1=,A1B=BC1=,在A1BC1 中,由余弦定理得 cosA1BC1=-6.4 作出长方体 ABCD-EFGH.在这个长方体的十二条棱中,与 AE 异面且垂直的棱有GH,GF,BC,CD.共 4 条.7.证明(1)如图,连接 EF,C

8、D1,A1B.E,F 分别是 AB,AA1 的中点,EFBA1.又A1BD1C,EFCD1,E,C,D1,F 四点共面.(2)EFCD1,EF 时,截面为五边形,如图,符合题意,即线段 BM 的取值范围为()故选 B.9.30 如图,设 G 为 AD 的中点,连接 GF,GE,则 GF,GE 分别为ABD,ACD 的中位线.由此可得 GFAB,且 GF=AB=1,GECD,且 GE=CD=2,FEG 或其补角即为 EF 与 CD 所成的角.EFAB,GFAB,EFGF.因此,在 RtEFG 中,sinGEF=,可得GEF=30,EF 与 CD 所成角的度数为 30.10.由题意知,MPQ,NR

9、Q,KRP,从而点 M,N,K平面 PQR.所以直线 MN平面PQR,故正确.同理可得点 M,N,K平面 BCD.从而点 M,N,K 在平面 PQR 与平面 BCD 的交线上,即点 K在直线 MN 上,故正确.因为 A直线 MN,从而点 M,N,K,A 四点共面,故正确.11.由题目中的位置关系,可将原图补为如图所示的直四棱柱,BC1AD,异面直线 BC1 与 AC 所成角即为直线 AD 与 AC 所成角DAC,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+4-8cos120=12,AC=2,又 AD=CD=2,cosDAC=-12.证明(1)连接 EF,GH,因为 E,F

10、 分别是 AB,AD 的中点,所以 EFBD.又因为 CG=BC,CH=DC,所以 GHBD,所以 EFGH,所以 E,F,G,H 四点共面.(2)易知直线 FH 与直线 AC 共面,不平行,所以设 FHAC=M,所以 M平面 EFHG,M平面 ABC.又因为平面 EFHG平面 ABC=EG,所以 MEG,所以FH,EG,AC 共点.13.如图,取棱 BD 上靠近点 D 的一个三等分点 F,又因为 E 是棱 AD 上靠近点 D 的一个三等分点,所以 EFAB,所以CEF 是异面直线 AB和 CE 所成的角,不妨设正四面体 ABCD 的棱长为 3,则 DE=AD=1,EF=AB=1,DF=BD=1,在CDE 中,由余弦定理得 CE2=DE2+CD2-2DECDcosCDE=12+32-213 =7,所以 CE=,同理,在CDF 中,由余弦定理得 CF=,在CEF 中,由余弦定理,得 cosCEF=-