江苏省苏州市2021-2022学年高三上学期期末学业质量阳光指标调研 数学 WORD版含解析.doc

1、苏州市2021-2022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学注意事项：1答题前，学生务必将自己的学校、班级、姓名、调研序列号填写在答题卡上.2做答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4学生必须保持答题卡的整洁.调研结束后，将调研卷和答题卡一并收回.一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

2、四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为ABCD【答案】A【解析】为纯虚数，选A.2设集合，则集合的元素个数为ABCD【答案】B【解析】，个元素.3已知圆锥的高为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为ABCD【答案】A【解析】设底面半径为，母线长为，侧面展开是一个半圆，即，选A.4在中，点在边上，则“”是“为中点”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“”，不妨设，则，则满足条件有两个，一个是中点，一个是点，不充分.为中点，则，必要.“”是“是中点”的必要不充分条件，选B.5记为等差数列的前项和，若，

3、则ABCD【答案】C【解析】，选C.6北京时间年月日时分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注.为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定矩形以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动.现有两队报名参加，两队均由两名高一学生和两名高二学生组成，比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不会来自同一年级的概率是ABCD【答案】C【解析】四个学生来自同一年级的概率为，四个学生不全来自同一年级的概率为，选C.7已知，则下列不等式一定成立的是ABCD【答案

4、】C【解析】，A错.，B错.，C对.选C.8若斜率为的直线与抛物线和圆分别交于和两点，且，则当面积最大时的值为ABCD【答案】D【解析】法一：，则的中点与的中点重合，设此点为，当时，取最大值，令，选D.法二：，当且仅当时取“”，设直线方程为，中点，选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9折纸发源于中国.世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，

5、将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图，则ABCD【答案】BCD【解析】如图，则与不平行，A错.设，B对.，C对，D对，选BCD.10下列命题正确的是A若为复数，则B若为向量，则C若为复数，且，则D若为向量，且，则【答案】AD【解析】令，A对.，B错.，C错.选AD.11已知函数，则A，函数在上均有极值B，使得函数在上无极值C，函数在上有且仅有一个零点D，使得函数在上有两个零点【答案】BC【解析】，时，无极值，A错，B对.时，在上，在有且仅有一个零点.时，在恒成立，在时，在有且仅有一个零点.时，或0，在，.时，有且仅有一个零点.，有且仅有一个零点

6、，C对，D错.12甲同学投掷骰子次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差.由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为，方差在区间内，则这五个点数A众数可能为B中位数可能为C一定不会出现D出现的次数不会超过两次【答案】ACD【解析】法一：，众数为，平均数为，方差，A对.若中位数为，设五次数据为，即，矛盾，B错.若出现了，则其它四次和为，即数据为，矛盾，C对.若出现次，则其它2次和为4，这2次为，D对.法二：设向上的点数分别为，不妨取，则，A正确.对于B，不妨设，都中位数为3，则，不可能为，B错.对于C，若出现，则，与矛盾，故不可能出现，C正确.对于6，假设出现2的次数超过2次，

7、则至少有次.不妨设，这与矛盾，故D正确.选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13记数列的前项积为，写出一个同时满足的数列的通项公式：_.是递增的等比数列；.【答案】（答案不唯一）【解析】，.不妨设，则，.14设点是曲线上的任意一点，则到直线的最小距离是_.【答案】【解析】的斜率为，设，切点，切点到的距离.15已知分别为双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线的渐近线的对称点在上，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】法一：设的中点为，为中点.为中位线，则.，则，.法二：秒杀令，则，如图，由网课解几公式“12”知，关于对称点为即也在上，而，则，.16已知直三棱柱中，分别为棱，的

8、中点，过点作平面将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为，则_；平面截此三棱柱的外接球的截面面积为_.（本小题第一空2分，第二空3分）【答案】；【解析】法一：取中点，取中点，连，平面为平面，三棱锥外接球半径，如下图建系，设平面的法向量，不妨设，则，球心到平面距离，.法二：秒杀一图（1）图（2）图（3）由几公式秒杀课程知：截面过四等分点，由体积公式“”知，而，.由课程推论“”知，棱柱外接球球心在中点，其中为中点，如图知，外接球半径，如图（3）知，截面半径，.法三：秒杀二由网课几秒杀公式与推论知，截面过四等分点，由“公式”知：由网课公式“12”知：，建立空间坐标系，.法四：设为上靠近的四等分点，则，平

9、面即为平面，.取中点，则三棱柱外接球球心为中点，外接球半径，到平面的距离即为到的距离，截面面积.故应填：；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在；这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）的横线上，并解答下列题目.在中，已知角的对边分别为，且，.（1）求；（2）若为边上一点，且，_，求的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）【解析】（1）由，得，由正弦定理得.因为，所以，所以，即.（2）选，设，.因为，所以.由余弦定理得，解得.所以，所以的面积.选，因为，所以.由正弦定理得，解得，由余弦定理得，解得.所以，所以的面积.

10、选，因为，所以.由，解得，所以.由余弦定理得，解得.所以，所以的面积.18（12分）若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”.已知在数列中，.（1）求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；（2）若数列满足，求的前项和.【解析】（1）法一：由，相减得，所以周期为，周期公差为的“类周期等差数列”，由，得，所以.法二：由，相减得，所以是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”，从而的奇数项和偶数项分别是公差为的等差数列，所以所以.（2）法一：由，得，当为偶数时，；当为奇数时，.综上所述，法二：当为偶数时，；当为奇数时，.所以当为偶数时，；当为奇数时

11、，.综上所述，19（12分）年月国务院印发全民健身计划，计划中提出了各方面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等.在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动.某瑜伽馆在月份随机采访了名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查.愿意不愿意合计男性女性合计（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关？附：（2）为了推广全民健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，在全市范围内开设一期公益瑜伽课，先

12、从上述参与调查的人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出人，再从人中随机抽取人免费参加.市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴，补贴方案为：男性每人元，女性每人元.求补贴金额的分布列及数学期望（四舍五入精确到元）【解析】（1）由已知得.所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关.（2）调查的人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出人，其中男性人数为，女性人数为.记补贴金额为，则可能为，.，则的分布列为数学期望（元）.20（12分）如图，在四面体中，已知是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，为线段的中点，为线段的中点，为线段上的点.（1）若平面，求线段的长；（

13、2）若二面角的大小为，求与平面所成角的大小.【解析】（1）因为面，面，面面，所以.又因为为线段的中点，所以为线段的中点，因为为线段的中点，且，所以.因为是以点为直角顶点的等腰直角三角形，所以.在直角中，.（2）法一：连接，因为在等边中，为的中点，所以.又因为是以点为直角顶点的等腰直角三角形，为线段的中点，所以，所以为二面角的平面角，所以.过点作，垂足为，连接.因为，面，所以面.又因为面，所以.又因为，面，所以面，所以为与面所成的角.因为，所以，因为，所以为线段的的中点.所以，且，所以，所以与面所成角的大小为.法二：连接.因为在等边中，为的中点，所以.又因为是以点为直角顶点的等腰直角三角形，为线

14、段的中点.所以，所以为二面角的平面角，所以.以点为原点，所在的直线分别为轴，轴，过点且垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图），则，.因为，所以，所以，所以，.设平面的法向量为，则即解得，取其中一个法向量为.因为，所以，设与平面所成的角为，则.又，所以，即与面所成角的大小为.21（12分）在平面直角坐标系中，已知点，直线与直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点为曲线上的任意一点（不含短轴端点），点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.【解析】（1）法一：设，曲线的方程为.法二：设动点，由题意可得，所以曲线的方程为.（2

15、）法一：设点设，直线方程为直线方程为：，方程为：在方程中令，联立，为定值.法二：设线设直线方程为，方程：，方程：令，为定值.法三：设的直线方程为，联立方程组得，由，得，代入直线方程得，所以，所以的直线方程为，所以.联立方程组解得.所以，所以为定值.法四：设，则直线的方程为，联立方程组解得.由直线的方程为，得，所以.又因为，所以为定值.22（12分）已知函数.（1）判断的单调性，并说明理由；（2）若数列满足，求证：对任意，.【解析】法一：巧妙推理（1）令，在上，在上单调递增.（2）由要证，只需证即证：，先证左边：令证，即证令，在上，得证.再证右边：，即证，令，在上，也得证.综上：对，.法二：（1）显然定义域为.当时，记，故在时为增.（2）令，只需证明恒成立和恒成立.因为若，则有先证明，记记，恒成立，故，故成立.记，简记为，恒成立，故命题得证！（不想多取几个名字，就用二阶，三阶导数了.）法三：（1）的定义域是，.令，.因为，所以，所以在上单调递增，所以.又，从而，所以在上单调递增.（2）设，.当时，所以在上单调递增，所以，即，所以.由（1）可知，即，所以，即，从而.设，则.当时，所以，所以在上单调递增.故当时，即，从而，即，即.因为，所以.综上，.22高考资源网（） 您身边的高考专家- 23 - 版权所有高考资源网